D映射與函數(shù)管院

高等數(shù)學課程是大學所有專業(yè)的重要基礎課高等數(shù)學是通向近現(xiàn)代科學殿堂的必由之路通過本課程的學習，能使學生獲得微積分，級數(shù)和常微分方程的基本知識，基本理論和基本運算技能，逐步增強學生自學能力，比較熟練的運算能力，抽象思維和空間想象能力,分析問題和解決問題的能力。使學生在得到思維訓練和數(shù)學素養(yǎng)提高的同時，為后繼課程的學習和進一步擴大數(shù)學知識面打下必要的數(shù)學基礎。

考核評價課程考核30%平時表現(xiàn)與到課情況20%課后作業(yè)80%考核評價方法期末考試70%作業(yè)：(1)準備一個練習本，每次課撕下交上來；每班選出一位課代表(建議學習委員作為課代表，但是數(shù)學一定要學的好，否則換人)，負責作業(yè)的收發(fā)等工作。微積分上邢順來電話Q:2286253960高等數(shù)學討論群:258306385研究對象：

函數(shù)（關系）研究方法：

極限方法1.分析基礎:函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學:一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分本課程的特點：概念抽象、復雜邏輯推理嚴謹表達形式抽象、復雜理論體系強如何學好數(shù)學：1、樹立自信，親近數(shù)學；2、抓好四個環(huán)節(jié)；3、重視獨立思考，依靠自學取勝。4、不恥下問預習聽課,復習,小結(jié)整理筆記、完成作業(yè)、查閱參考書、使用工具書。預習環(huán)節(jié)聽講環(huán)節(jié)復習環(huán)節(jié)小結(jié)環(huán)節(jié)會作筆記(概要,重點,難點,疑點)、緊跟講解、擅于應答。了解大致內(nèi)容、熟悉基本結(jié)構(gòu)、找出難點、試圖解決之。寫總結(jié)（定義、定理、性質(zhì)、典型解題方法）；制表格(條件、性質(zhì)、結(jié)論、幾何意義)。

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百度百科邏輯符號對任意的，對所有的，(Any)存在一個，（Exist)充要條件A是B的充分條件，B是A的必要條件A是B的充要條件絕對值不等式或預備知識第一章分析基礎函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限第一章一、映射二、函數(shù)第一節(jié)映射與函數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間無限區(qū)間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:二、映射某校學生的集合學號的集合按一定規(guī)則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.引例2.引例3.(點集)(點集)向y

軸投影定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應法則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.引例2引例2,3引例2定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義5.設數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦函數(shù)定義域?qū)?guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域?qū)o實際背景的函數(shù),書寫時可以省略定義域.對實際問題,書寫函數(shù)時必須寫出定義域；例1.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子表示的函數(shù)非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當x>0當x=0當x<0取整函數(shù)當分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子表示2.函數(shù)的幾種特性設函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(見P6)函數(shù)有界與無界的幾何特點有界函數(shù)的圖形介于某兩條水平直線之間.無界函數(shù)的圖形不能介于任何兩條水平直線之間.M-Myxoy=f(x)XM-MyxoX研究函數(shù)在定義域上的有界性.函數(shù)f(x)在上無界(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關于直線對稱.指數(shù)函數(shù)(2)復合函數(shù)則設有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:可定義復合函數(shù)注：不是任何函數(shù)都可以復合成一個函數(shù)。如：與不能進行復合。把一個復合函數(shù)分成不同層次的函數(shù),叫做復合函數(shù)的分解.分解復合函數(shù)原則:

觀察各層函數(shù)是否為基本初等函數(shù)或多項式函數(shù).兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復合函數(shù).例如,可定義復合函數(shù):約定:為簡單計,書寫復合函數(shù)時不一定寫出其定義域,

默認對應的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復合函數(shù)的條件.4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).注：分段函數(shù)不一定就是非初等函數(shù)！分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子表示的函數(shù)例2解綜上所述

設函數(shù)

x

換為f(x)例3.解:內(nèi)容小結(jié)1.映射的概念定義域?qū)?guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)P1712(偶)；132.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)例3.

求的反函數(shù)及其定義域.解:當時,則當時,則當時,則反函數(shù)定義域為且備用題證明證:

令則由消去得時其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設

2.

設函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為(4)解：由0≤x+a≤1且0≤x?a≤1得:函數(shù)的定義域為[a,1?a],?

a≤x≤1?

a且a≤