垂徑定理與圓心角

9.垂徑定理與圓心角垂徑定理知識點梳理【知識點一】垂徑定理1.圓的軸對稱：圓是軸對稱圖形，每一條過圓心的直線都是它的對稱軸。2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。3.弧的中點：分一條弦成相等的兩條弧的點，叫做這條弧的中點。4.弦心距：圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距?！局R點二】垂徑定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。2.定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦。典例分析【題型一】運用垂徑定理進行計算【例1】如圖,在⊙O中,AB,AC為互相垂直且相等的兩條弦,OD丄AB,0E丄AC,垂足分別為D,E.若AC=AB=2cm,求⊙O的半徑.【變式1】如圖⊙O的直徑AB=16cm,P是0B的中點,∠APD=30°,求CD的長.【題型二】在直角坐標系中運用垂徑定理求點的坐標【例1】如圖,以點P為圓心的圓弧與x軸交于A,B兩點,點P的坐標為(4,2),點A的坐標為(2,0),則點B的坐標為_______【變式1】如圖在平面直角坐標系中，點O為坐標原點,點P在第一象限，⊙P與x軸交于O,A兩點,點A的坐標為(6,0),⊙P的半徑為,則點P的坐標為_________【題型三】應用垂徑定理等分弧【例1】如圖為一自行車內(nèi)胎的一部分，如何運用所學知識將它平均分給四個小朋友做玩具？【變式1】小云出黑板報時碰到了一種難題,在版面設(shè)計過程中需要將一種半圓面三等分.如圖,請幫她設(shè)計一種合理的等分方案,規(guī)定尺規(guī)作圖,保存作圖痕跡?！绢}型四】垂徑定理的實際應用【例1】某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂,修理人員準備更換一段新管道.如圖,污水水面寬度為60cm,水面至管道頂部距離為10cm,問:修理人員應準備內(nèi)徑多大的管道?【變式1】如圖是一條水平鋪設(shè)的直徑為2m的通水管道橫截面,其水面寬1.6m,則這條管道中此時最深為__________m【題型五】運用垂徑定理求最值【例1】如圖3-3-15,⊙O的半徑為5,弦AB的長為8,M是弦価上的一種動點,則線段0M長的最小值為().A.2B.3C.4D.5【變式1】如圖,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,=8cm,==,M是AB上一動點,CM十DM的最小值為______cm【題型六】與垂徑定理有關(guān)的分類討論問題【例1】已知點A,B,C都在⊙O上,且AB=AC,圓心O到BC的距離為6cm,圓的半徑為l4cm,求AB的長.【變式1】已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB丄CD,垂足為點M,則AC的長為().A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm【變式2】已知,⊙O的半徑是5,AB,CD為⊙O的兩條弦,且AB∥CD,AB=6,CD=8,求AB,CD間的距離?！绢}型六】與圓的性質(zhì)有關(guān)的定值問題【例1】已知⊙O的直徑AB=15cm,有一條長為9cm的動弦CD在弧AMB上滑動(點C與點A,點D與點B均不重疊),且EC丄CD與AB交E點,FD丄CD與AB交子點F.（1）求證:AE=BF（2）在動弦CD滑動的過程中,四邊形CDFE的面積與否為定值?若是,請給出證明,并求出這個定值；若不是,請闡明理由【變式1】如圖,AB是半徑為R的平圓O的直徑,四邊形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上,F,N在半圓上。求證:兩個正方形的面積之和為一定值.圓心角知識點梳理【知識點一】圓心角定理1.圓的中心對稱性：圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心2.圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角3.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等?！局R點二】圓心角與它所對弧的度數(shù)關(guān)系1.1o圓心角所對的弧叫做1o的弧，no圓心角所對的弧叫做no的弧2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等3.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對兩條弦的弦心距相等?！局R點三】圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其它各對量都相等典例分析【題型一】運用圓心角的關(guān)系闡明弧的關(guān)系【例1】如圖,在⊙O中,D,E分別是半徑OA,OB上的點,且AD=BE,C為上的一點,且CD=CE,那么=嗎?為什么?【變式1】如圖,在⊙O中,AB為直徑，CO⊥AB，D為CO的中點，DE∥AB，求證：【題型二】運用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系進行證明【例1】如圖,⊙O的弦AB,CD相交于點P,P0平分∠APD.求證:AB=CD【變式1】小林根據(jù)在一種圓中圓心角、弦、弧三個量之間的關(guān)系認為在圖中，若∠AOB=2∠COD，則，AB=2CD，你同意嗎？闡明理由?！绢}型三】與圓心角有關(guān)的實際問題【例1】已知來莊、李莊分別位于直徑為300m的半圓弧上的三等分點的位置,現(xiàn)在要在河(半圓弧所在圓的直徑所在的直線)修建水泵站，分別向兩個村莊供水，求最少需要多少米水管?！咀兪?】某村想在村口建如圖形狀的門,已知的度數(shù)為120°,立柱AC高2m.若要使高3m，寬2m的集裝箱貨車能通過該門.問：的半徑應不不大于于多少？【題型四】弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理的綜合應用【例1】如圖，已知AB為⊙O的弦，從圓上任一