2024版高考數(shù)學一輪總復(fù)習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第6節(jié)離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征教師用書

第六節(jié)離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征考試要求：1．掌握離散型隨機變量分布列的性質(zhì)．2．會利用隨機變量的期望方差解決實際問題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．隨機變量的有關(guān)概念(1)隨機變量：對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量．(2)離散型隨機變量：可能取值為有限個或可以一一列出的隨機變量．(1)離散型隨機變量X的每一個可能取值為實數(shù)，其實質(zhì)代表的是“事件”，即事件是用一個反映結(jié)果的實數(shù)表示的．(2)若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱分布列．(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1．判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗．3．離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝i為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望．它反映了隨機變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝i為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱DX為隨機變量X的標準差，記為σ(X)隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(2)E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．4．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b為常數(shù))(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù))5．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．1．若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X2．均值與方差的關(guān)系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)離散型隨機變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1． (×)(2)對于某個試驗，離散型隨機變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實際意義． (×)(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它服從兩點分布． (×)(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越?。?(√)(5)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事． (×)2．隨機變量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m則P(X≤2)＝()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4C解析：由分布列的性質(zhì)可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3．3．若隨機變量X～B3，13，則下列說法錯誤的是A．E(X)＝1 B．D(X)＝2C．E(2X)＝2 D．D(2X)＝4D解析：因為隨機變量X～B3，對于A，E(X)＝3×13＝1．故選項A正確對于B，D(X)＝3×13×1-13＝對于C，E(2X)＝2E(X)＝2×1＝2．故選項C正確．對于D，D(2X)＝4D(X)＝4×23＝83．故選項D4．隨機變量X的分布列如表，則E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16B．11C．2.2D．2.3A解析：由表格可得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16．5．已知隨機變量X的分布如表，則D(X)＝________．X01Pa2a29解析：由隨機變量X的分布列得：0≤a≤1所以E(X)＝0×13＋1×23＝D(X)＝0-232×13考點1離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)——基礎(chǔ)性已知隨機變量X的分布列如下：X123P0.20.5m若隨機變量η＝3X－1，則E(η)為()A．4.2B．18.9C．5.3D．隨m變化而變化C解析：因為0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1．又η＝3X－1，所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3．故選C．離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值．(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．1．已知隨機變量ξ的分布列如下，則E(ξ)的最大值是()ξ－10aP112＋14－A．－58B．－1564C．－14B解析：由題意可知：14＋12＋a＋14－b即a－b＝0，E(ξ)＝－14＋a14-b＝－14＋14b－b2＝－b-182．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列下表：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝8.9，則y的值為()A．0.2B．0.5C．0.4D．0.3C解析：因為ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝8.9，所以由射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，得x+0.1+0.3+y=1，故選C．考點2離散型隨機變量的均值與方差——基礎(chǔ)性某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．解：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，則P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．理由如下：由(1)可知小明先回答A類問題累計得分的期望為E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，則Y的期望為E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因為E(Y)＞E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．求離散型隨機變量的均值、方差的步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值．(2)求X的每個值的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值定義求出E(X)，D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2·D(X)的應(yīng)用．為推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為14，16；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為12，2(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ)、方差D(ξ)．解：(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0元、40元、80元．兩人都付0元的概率為p1＝14×16＝兩人都付40元的概率為p2＝12×23＝兩人都付80元的概率為p3＝1-14-12×所以，兩人所付費用相同的概率p＝p1＋p2＋p3＝124＋13＋124(2)ξ的可能取值為0，40，80，120，160，且P(ξ＝0)＝14×16＝P(ξ＝40)＝14×23＋12×1P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16P(ξ＝120)＝12×16＋14×2P(ξ＝160)＝14×16＝所以ξ的分布列為ξ04080120160P11511E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×考點3均值與方差在實際問題中的應(yīng)用——綜合性為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的，若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測．現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)；②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為111，定義隨機變量X為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望E(X)(2)若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)Y的期望為E(Y)，試比較E(X)和E(Y)的大?。?直接寫出結(jié)果)解：(1)①若采用“10合1檢測法”，每組檢查一次，共10次；又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，因此一共需要檢查20次．②由題意可得X＝20，30．P(X＝20)＝111，P(X＝30)＝10可得分布列：X2030P110E(X)＝20×111＋30×1011＝(2)由題意可得：Y＝25，30．P(Y＝25)＝20×C22C983C1005＝499可得分布列：Y2530P495所以E(Y)＝25×499＋30×9599＝因為295099＞288099＝所以E(X)＜E(Y)．利用期望與方差進行決策的方法(1)若我們比較兩個隨機變量的差別時，可先求隨機變量ξ1，ξ2的期望，當E(ξ1)＝E(ξ2)時，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來進一步比較這兩個隨機變量的偏離程度，從平均水平和離散程度兩個方面進行比較．(2)若我們希望比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．(2022·揭陽模擬)小田開小汽車上班的道路A要經(jīng)過5個紅綠燈路口，若小田到達每一個路口是相互獨立的，到達每一個路口遇到紅燈的概率都為25，遇到綠燈的概率都為3(1)若小田從出門到第一個路口和最后一個路口到辦公室各需要5分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時間為1分鐘，每兩個路口之間的行駛時間為2分鐘，求小田從出門到辦公室的時間的平均值；(2)小田騎電動車上班的道路B只要經(jīng)過3個紅綠燈路口(只有紅燈或綠燈)，隨機到達第一個路口遇到紅燈、綠燈的概率都為12，一個路口遇到紅燈時下一個路口遇到紅燈和一個路口遇到綠燈時下一個路口遇到綠燈的概率都為2(3)若小田騎電動車走道路B，從出門到第一個路口和最后一個路口到辦公室各需要4分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時間為1分鐘，每兩個路口之間的行駛時間為5分鐘．從時間來考慮，請問小田上班是開小汽車好，還是騎電動車好？解：(1)設(shè)小田開車遇到紅燈的個數(shù)為ξ，則ξ～B5，25，設(shè)小田開車從出門到辦公室的時間為X，則X＝5＋2×4＋1×ξ＋5，平均值E(X)＝18＋E(ξ)＝18＋5×2(2)設(shè)小田騎車遇到紅燈的個數(shù)為η，則η可能為0，1，2，3，P(η＝0)＝P(綠綠綠)＝12×23×23P(η＝1)＝12×13×23＋12×13×13＋12P(η＝2)＝12×23×13＋12×13×13＋12P(η＝3)＝12×23×23所以E(η)＝0×29＋1×518＋2×518＋3×29＝(3)設(shè)小田騎車從出門到辦公室的時間為Y，則Y＝4＋2×5＋1×η＋4，平均值E(Y)＝18＋E(η)＝19.5＜E(X)，所以小田上班騎電動車較好．課時質(zhì)量評價(六十一)A組全考點鞏固練1．(2023·聊城模擬)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)C解析：選項A，B表述的都是隨機事件，選項D是確定的值2，并不隨機；選項C是隨機變量，可能取值為0，1，2．2．已知某一隨機變量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξa79Pb0.10.4A．4B．5C．6D．7A解析：因為b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5．所以E(ξ)＝0.5a＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4．3．(2022·東陽模擬)已知隨機變量X，Y滿足：X～B(2，p)，Y＝2X＋1，且P(X≥1)＝59，則D(Y)＝(A．49B．73C．169C解析：隨機變量X滿足：X～B(2，p)，且P(X≥1)＝59所以P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝C20(1－p)2＝解得p＝13，所以X～B2所以D(X)＝2×13×1因為Y＝2X＋1，D(Y)＝22D(X)＝169．故選C4．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球個數(shù)為X．已知E(X)＝3，則D(X)＝()A．85B．65C．45B解析：由題意可得，X～B5，又E(X)＝5×3m+3＝3，所以m則X～B5，35，故D(X)＝5×35．(多選題)隨機變量ξ的分布列是：ξ123Pab1若E(ξ)＝53，隨機變量ξ的方差為D(ξ)，則下列結(jié)論正確的有(A．a(chǎn)＝12，b＝13 B．a(chǎn)＝13，C．D(ξ)＝59 D．D(ξ)＝AC解析：由題意得a+b+16=1，53=a+2b+3×16，所以a=12，b=136．簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支．設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學期望為()A．5B．5.25C．5.8D．4.6B解析：由題意可知，X可以為3，4，5，6，P(X＝3)＝1C63＝120，P(X＝4)＝C32C63＝320，P(X＝5)＝C42C63＝310，P(X＝6)＝C52C63＝12．由數(shù)學期望的定義可求得E7．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝________．0.6解析：由題意，使用移動支付的人數(shù)X服從二項分布，則D(X)＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)＜P(X＝6)，即C104p4·1-p化簡得(1－p)2＜p2，解得p＞12，所以p＝0.68．某同學在上學路上要經(jīng)過兩個紅綠燈十字路口，已知他在第一個十字路口遇到紅燈的概率為12．若他在第一個十字路口遇到紅燈，則在第二個十字路口遇到紅燈的概率為13；若他在第一個十字路口遇到綠燈，則在第二個十字路口遇到紅燈的概率為23．記他在上學路上遇到紅燈的次數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________，ξ161解析：由題意可知，P(ξ＝0)＝1-12×1-ξ的可能取值為0，1，2，所以P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝12×23+1-12×23＝23，P(所以ξ的數(shù)學期望為E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×169．某中學有4位學生申請A，B，C三所大學的自主招生．若每位學生只能申請其中一所大學，且申請其中任何一所大學是等可能的．(1)求恰有2人申請A大學的概率；(2)求被申請大學的個數(shù)X的概率分布列與數(shù)學期望E(X)．解：(1)所有可能的方式有34種，恰有2人申請A大學的情況有C42×22從而恰有2人申請A大學的概率為C42×(2)由題意可知，隨機變量的可能取值為1，2，3，則P(X＝1)＝334＝P(X＝2)＝C43·P(X＝3)＝C42A所以隨機變量X的分布列為X123P1144E(X)＝1×127＋2×1427＋3×4910．從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12，13，(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝1-12P(X＝1)＝12×1-13×P(X＝2)＝1-12×13×14＋12×1-P(X＝3)＝12×13×14所以隨機變量X的分布列為X0123P11111隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×1(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×1所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148B組新高考培優(yōu)練11．(2022·重慶模擬)某企業(yè)計劃加大技改力度，需更換一臺設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，A品牌設(shè)備需投入60萬元，B品牌設(shè)備需投入90萬元，企業(yè)對兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進行了抽樣調(diào)查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更換設(shè)備技改后，每年估計可增加效益100萬元，從年均收益的角度分析()A．不更換設(shè)備B．更換為A設(shè)備C．更換為B設(shè)備D．更換為A或B設(shè)備均可C解析：設(shè)更換為A品牌設(shè)備使用年限為X，則E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3年，更換為A品牌設(shè)備年均收益為3×100－60＝240萬元；設(shè)更換為B品牌設(shè)備使用年限為Y，則E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7年，更換為B品牌設(shè)備年均收益為3.7×100－90＝280萬元．所以更換為B品牌設(shè)備．12．一盒中有10個羽毛球，其中8個新的，2個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球的個數(shù)X是一個隨機變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()A．715B．815C．730A解析：因為從盒子中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X＝4，即舊球的個數(shù)增加了2個，所以取出的3個球中必有2個新球，即取出的3個球必為1個舊球2個新球，所以P(X＝4)＝C21C13．(2022·寧波二模)設(shè)0＜a＜1，隨機變量X的分布列是：X01－a1＋a2P1bc1則當b在0，12內(nèi)增大時，A．D(X)增大B．D(X)減小C．D(X)先減小再增大D．D(X)先增大再減小D解：0＜a＜1，由隨機變量X的分布列，知：14＋b＋c＋14＝所以b＋c＝12E(X)＝0×14＋(1－a)·b＋(1＋a)·c＋2×14＝b－ab＋(1＋a)12-b＋12＝1－E(X2)＝0×14＋(1－a)2·b＋(1＋a)2·c＋4×14＝(1－a)2·b＋(1＋a)2·12-b＋1＝1＋1所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－4a2b2＋2a2b＋14a2＋12＝－a22b-122＋1所以當b在0，12內(nèi)增大時，D(X14．某商場舉行抽獎活動，只要顧客一次性購物滿180元就有一次抽獎機會．抽獎方法如下：一個抽獎箱中裝有6個形狀、大小完全相同的小球(4個紅球和2個黃球)．顧客從中隨機抽取2個，若2個都是黃球則獎勵10元；若只有1個黃球則獎勵3元，其余情況都無獎勵．則每次抽獎所得獎勵的數(shù)學期望是________元．3415解析：設(shè)一次抽獎所得獎勵是X元，隨機變量X的可能取值為0，3，10則P(X＝0)＝C42CP(X＝3)＝C41CP(X＝10)＝C22C所以E(X)＝0×615＋3×815＋10×11515．在1，2，3，…，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)，其中恰有1個偶數(shù)的概率是________(用數(shù)字作答)，記ξ為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時ξ的值是2)，則E(2ξ＋1)＝________．102173解析：(1)記“這3個數(shù)恰有一個是偶數(shù)”為事件A，則P(A)＝C4(2)隨機變量ξ的取值為0，1，2，ξ＝2的情況：123、234、345、456、567、678、789，共7種可能，ξ＝1的情況：12(4～9)，89(1～6)，有6×2＝12種；23(5～9)，34(1，6～9)，…，78(1～5)，有5×6＝30種；總共42種，ξ＝0的情況：C93－7－42＝35故P(ξ＝0)＝35C93＝512，P(ξ＝1)＝42C93＝12，P(所以ξ的分布列為ξ012P511所以ξ的數(shù)學期望為E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112所以E(2ξ＋1)＝2×23＋1＝716．甲、乙兩個袋子中，各放有大小和形狀相同的小球若干．每個袋子中標號為0的小球為1個，標號為1的2個，標號為2的n個．從一個袋子中任取兩個球，取到的標號都是2的概率是110(1)求n的值；(2)從甲袋中任取兩個球，已知其中一個的標號是1，求另一個標號也是1的概率；