5.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器

——線性相位FIR數(shù)字濾波器有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)內(nèi)容綱目1.線性相位FIR濾波器的條件線性相位FIR數(shù)字濾波器SHUZILVBOQIJICHUYUDIANXINGMONILVBOQISHEJI2.線性相位FIR濾波器的幅度特性3.線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布無失真?zhèn)鬏敃r域條件頻域條件幅頻特性相頻特性

上述條件是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號時，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。無失真?zhèn)鬏敆l件：相位特性為什么與頻率成正比關(guān)系？只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延遲時間

是相位特性的斜率：群時延或稱群延時在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時延特性應(yīng)為常數(shù)。線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件第一類線性相位第二類線性相位

滿足線性相位的FIR濾波器能避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真。線性相位：相位響應(yīng)是的線性函數(shù)。

線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件FIRIIR如

FIR濾波器在保證幅度特性滿足要求的條件下，容易得到線性相位特性。

線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件若FIR濾波器的單位取樣響應(yīng)為：則當(dāng)h(n)

為實(shí)數(shù)，且滿足：時，該濾波器具有線性相位特性?；蚺紝ΨQ奇對稱7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器線性相位FIR濾波器的時域約束條件1）第一類線性相位對h(n)的約束條件第一類線性相位FIRDF的相位函數(shù)

，由和

得

進(jìn)一步可得

關(guān)于中點(diǎn)奇對稱2)第二類線性相位對h(n)的約束條件第二類線性相位FIRDF的相位函數(shù)經(jīng)過同樣的推導(dǎo)過程可得到：若h(n)偶對稱，只能等于0，與假設(shè)矛盾；若h(n)奇對稱，sin只能偶對稱，此時，則

關(guān)于中點(diǎn)奇對稱

令m=N-n-1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件

線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件偶函數(shù)

令m=N-n-1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件

第二類線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件奇函數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器第一類線性相位第二類線性相位N為奇數(shù)N為偶數(shù)偶對稱奇對稱線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件四種情況情況1:偶對稱，N為奇數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性利用求和函數(shù)的對稱性將求和項(xiàng)兩兩合并情況1:偶對稱N為奇數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性令線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性情況1:偶對稱，N為奇數(shù)由于關(guān)于偶對稱，所以幅度函數(shù)關(guān)于偶對稱。全通

情況2:偶對稱，N為偶數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性合并令線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性情況2:偶對稱，N為偶數(shù)關(guān)于奇對稱，關(guān)于偶對稱，低通、帶通；零點(diǎn)Z=﹣1

幅度函數(shù)關(guān)于偶對稱，關(guān)于奇對稱。情況3:奇對稱，N為奇數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性求和中相同項(xiàng)兩兩合并

關(guān)于中點(diǎn)處奇對稱線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性情況3:奇對稱，N為奇數(shù)令線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性情況3:奇對稱，N為奇數(shù)關(guān)于奇對稱關(guān)于奇對稱，帶通；零點(diǎn)：Z=±1線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性情況4:奇對稱，N為偶數(shù)令合并線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性關(guān)于奇對稱，關(guān)于偶對稱

關(guān)于奇對稱，關(guān)于偶對稱高通、帶通；零點(diǎn)Z=1情況4:奇對稱，N為偶數(shù)

N為奇數(shù)偶對稱奇對稱關(guān)于奇對稱，關(guān)于偶對稱關(guān)于奇對稱關(guān)于奇對稱，關(guān)于偶對稱關(guān)于

偶對稱N為偶數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性N為奇數(shù)N為偶數(shù)偶對稱奇對稱線性相位FIR數(shù)字濾波器四種情況線性相位FIR數(shù)字濾波器使用最廣N為偶數(shù)N為奇數(shù)N為奇數(shù)N為偶數(shù)線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性類型IIIIIIIV階數(shù)N奇偶奇偶h[n]的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱H(

)關(guān)于

=0的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱H(

)關(guān)于

=p的對稱性偶對稱奇對稱奇對稱偶對稱H(

)的周期2p4p2p4pb000.5p0.5pH(0)任意任意00H(p)任意00任意可適用的濾波器類型LP,HP,BP,BSLP,BPHP，BP幅度函數(shù)的特點(diǎn)BP

零點(diǎn)無Z=﹣1Z=±1Z=1四、零點(diǎn)位置FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)

h

(n)是有限長實(shí)序列系統(tǒng)函數(shù)FIR系統(tǒng)只有零點(diǎn)和零極點(diǎn)（z=0）對于線性相位FIR濾波器，有線性相位FIR系統(tǒng)零點(diǎn)是互為倒數(shù)的共軛對和全通系統(tǒng)的區(qū)別？？全通系統(tǒng)全通濾波器零極點(diǎn)位置關(guān)系10全通系統(tǒng)零極點(diǎn)的共軛倒數(shù)對稱關(guān)系四、零點(diǎn)位置Re(z)Im(z)是不在單位圓上的復(fù)零點(diǎn)1、h(n)長度為54個零點(diǎn)四、零點(diǎn)位置Re(z)Im(z)是單位圓上的復(fù)零點(diǎn)2、h(n)長度為3四、零點(diǎn)位置Re(z)Im(z)是不在單位圓上的實(shí)零點(diǎn)3、h(n)長度為3四、零點(diǎn)位置Re(z)Im(z)

任意線性相位系統(tǒng)是上述四種子系統(tǒng)的組合是單位圓上的實(shí)零點(diǎn)4、h(n)長度為2四、零點(diǎn)位置

四種不同類型的線性相位系統(tǒng)在zi=

1的零點(diǎn)(1)I型FIR濾波器(N為奇)

zi=1和zi=-1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個零點(diǎn)。(2)II型FIR濾波器(N為偶)

zi=-1有奇數(shù)個零點(diǎn)，zi=1無零點(diǎn)或有偶數(shù)個零點(diǎn)。(3)III型FIR濾波器(N為奇)

zi=1和zi=-1有奇數(shù)個零點(diǎn)。(4)IV型FIR濾波器(N為偶)

zi=1有奇數(shù)個零點(diǎn)，zi=-1無零點(diǎn)或有偶數(shù)個零點(diǎn)。[例1]某FIR線性相位濾波器的單位沖激響應(yīng)是實(shí)序列，且

n

<

0

和

n

>

6

時

h

(n)

=

0。已知

h

(0)

=

1，且系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

在

z

=

0.5

ej

/3

和

z

=

3

各有一個零點(diǎn)。試寫出

H

(z)

的表達(dá)式。[解]由于

n

<

0

和

n

>

6

時

h

(n)

=

0，故

N

=

7，系統(tǒng)有六個零點(diǎn)；且由于

h

(n)

是實(shí)序列，因此系統(tǒng)的零點(diǎn)都是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。H

(z)

在

z

=

0.5

e

-j

/3也有一個零點(diǎn)。對于線性相位FIR濾波器，有已知

H

(z)

在

z

=

0.5

ej

/3、z

=

0.5

e

-j

/3

和

z

=

3

各有一個零點(diǎn)，則其余三個零點(diǎn)為對于因果序列x(n)，即x(n)=0,n<0,有證由于x(n)是因果序列，則有:初值定理則系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

的表達(dá)式為解：[例2]已知8階III型線性相位FIR濾波器部分零點(diǎn)為：

z1=﹣0.2，z2=j0.8(1)試確定該濾波器的其他零點(diǎn)。

(2)設(shè)h(0)=1,求出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(1)z3=1/

z1=﹣5;

z4=z2*=﹣j0