《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第4課 函數(shù)

第4課函數(shù)課題函數(shù)課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．理解函數(shù)、初等函數(shù)的概念，使學(xué)生能夠計算函數(shù)的定義域、判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)2．掌握函數(shù)四種性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性）的分析與判斷3．熟練掌握基本初等函數(shù)的解析式、性質(zhì)及一些重要的函數(shù)圖形4．掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程和分解過程5．使學(xué)生能夠畫一些簡單分段函數(shù)的圖形思政育人目標(biāo)：使學(xué)生了解函數(shù)在實際中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點教學(xué)重點：函數(shù)概念的理解教學(xué)難點：基本初等函數(shù)的作圖教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→知識講解（20min）→課堂測驗（10min）→課堂指導(dǎo)（13min）第二節(jié)課：知識講解（20min）→課堂測驗（12min）→互助指導(dǎo)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：什么是映射？什么是函數(shù)？函數(shù)具有哪些性質(zhì)？如何區(qū)分初等函數(shù)和分段函數(shù)？【學(xué)生】提前上網(wǎng)搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解（20min）【教師】引入課題——函數(shù)的概念16世紀(jì)以來，科學(xué)家們致力于運動的研究例如，計算天【教師】通過引例講解函數(shù)的定義函數(shù)反映了事物運動變化過程中變量之間的依賴關(guān)系．考察如下幾個案例引例1在自由落體運動中，物體下落的距離s隨下落時間t的變化而變化，下落距離s與時間引例1引例2某兒童玩具的銷售價格是每套20元，假設(shè)銷售量是q套，那么銷售收入R與銷售量之間的引例2當(dāng)銷售量q取一定的數(shù)值時，銷售收入R就有一個確定的數(shù)值與之對應(yīng)定義1設(shè)有兩個變量x和y，D是一個非空數(shù)集，若當(dāng)變量x在集合D內(nèi)任取一個值，變量y依照一定法則f，總有確定的值與之對應(yīng)，則稱變量y是x的函數(shù)，記為，其中，D稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量對于確定的，與之對應(yīng)的稱為函數(shù)在處的函數(shù)值，記作當(dāng)x取遍D中的一切數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值y的集合稱為函數(shù)的值域，記作M，即例1設(shè)函數(shù)，求，及例1解；；【教師】講解函數(shù)的兩要素，并通過例題介紹其應(yīng)用方法由函數(shù)的定義可知，定義域與對應(yīng)法則一旦確定，函數(shù)也就隨之唯一確定．因此我們把函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩要素．例2判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)例2（1），； （2），．解（1）函數(shù)的定義域為，而函數(shù)的定義域為，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)．（2）函數(shù)和函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．例3求下列函數(shù)的定義域例3（1）； （2）．解（1）因為，解得且，所以函數(shù)的定義域為．（2）因為解得，所以函數(shù)的定義域為．【教師】講解函數(shù)的表示法函數(shù)通常有三種不同的表示法：解析法、表格法和圖示法．解析法：用數(shù)學(xué)式子來表示函數(shù)的方法，也稱公式法．由于表達(dá)簡單，便于理論推導(dǎo)和運算，因此它在高等數(shù)學(xué)中是最常見的函數(shù)表示法．表格法：用表格來表示函數(shù)的方法．例如，表1-1以列表的形式給出了國內(nèi)生產(chǎn)總值與年份之間的函數(shù)關(guān)系．表1-1單位：億元圖示法：用圖形來表示函數(shù)的方法．其優(yōu)點是形象直觀，可以看到函數(shù)的變化趨勢，如某地一天的氣溫變化曲線圖、上證指數(shù)K線圖等．【教師】通過例題講解函數(shù)的性質(zhì)1）單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)有定義，若對區(qū)間I內(nèi)的任意兩點：當(dāng)時，有，則稱在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)增加，區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，有，則稱在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)減少，區(qū)間I稱為單調(diào)減區(qū)間．單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間．例如，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)增加的．2）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱（即若，則）．若對于任意的，都有，則稱為偶函數(shù)；若對于任意的，都有，則稱為奇函數(shù)．不滿足以上兩種情況的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)．例如，在定義區(qū)間上是偶函數(shù)；和在定義區(qū)間上都是奇函數(shù)；在定義區(qū)間上是非奇非偶函數(shù)．3）有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若存在一個正數(shù)，使得與任意所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則稱函數(shù)在I內(nèi)有界．若這樣的M不存在，則稱函數(shù)在I內(nèi)無界．例如，函數(shù)在內(nèi)是有界的，這是因為無論x取何值，都成立；函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是無界的，而在開區(qū)間內(nèi)是有界的．由此可見，籠統(tǒng)地說某個函數(shù)是有界函數(shù)或無界函數(shù)是不確切的，必須指明其所討論的區(qū)間．4）周期性設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上有定義，若存在常數(shù)，對于任意的，恒有，則稱是以為周期的周期函數(shù)．通常所說周期函數(shù)的周期是指它們的最小正周期．例如，的周期是，的周期是．另外，函數(shù)是周期函數(shù)，但不存在最小正周期．【學(xué)生】掌握函數(shù)的概念與四種性質(zhì)學(xué)習(xí)、鞏固函數(shù)的概念與性質(zhì)的相關(guān)知識，理解函數(shù)概念的產(chǎn)生是人類。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂指導(dǎo)（13min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學(xué)上臺解答，為同學(xué)們做示范。如果題目比較難，無人答對則老師示范【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點第二節(jié)課知識講解（20min）【教師】講解基本初等函數(shù)的解析式、性質(zhì)，列舉一些重要的函數(shù)圖形圖1-12常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這6類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)圖1-121．常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)

的定義域為，對應(yīng)法則是對于任何，所對應(yīng)的函數(shù)值恒等于常數(shù)C．其函數(shù)圖像為平行于軸的直線，如圖1-12所示．2．冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域和值域由a而定，在內(nèi)都有定義，且其圖像都經(jīng)過點．如圖1-13所示給出了幾個常見冪函數(shù)的圖像．（a）（b）圖1-133．指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域為，值域為，圖像都經(jīng)過點．當(dāng)時，單調(diào)增加；當(dāng)時，單調(diào)減少．指數(shù)函數(shù)的圖像均在x軸上方，如圖1-14所示．4．對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的定義域為，值域為，圖像都經(jīng)過點．當(dāng)時，單調(diào)增加；當(dāng)時，單調(diào)減少．對數(shù)函數(shù)的圖像在y軸的右方，如圖1-15所示．圖1-14圖1-15當(dāng)時，簡記為，它是常見的對數(shù)函數(shù)，稱為自然對數(shù)．5．三角函數(shù)三角函數(shù)包括如下幾類：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)；正切函數(shù)，余切函數(shù)；正割函數(shù)，余割函數(shù)．（1）和的定義域為，值域為，都以為周期．是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，如圖1-16所示．圖1-16（2）的定義域是，的定義域是，它們都以為周期，且都是奇函數(shù)，分別如圖1-17（a）和（b）所示．（a）（b）圖1-176．反三角函數(shù)反三角函數(shù)是各三角函數(shù)在其特定單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)．（1）反正弦函數(shù)是正弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，其定義域為，值域為，如圖1-18（a）所示．（2）反余弦函數(shù)是余弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，其定義域為，值域為，如圖1-18（b）所示．（a）（b）圖1-18（3）值域為，如圖1-19（a）所示．（4）反余切函數(shù)是余切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，其定義域為，值域為，如圖1-19（b）所示．（a）（b）圖1-19【教師】講解復(fù)合函數(shù)的定義，并通過例題介紹其復(fù)合過程和分解過程定義2設(shè)y是u的函數(shù)，u是x的函數(shù)．若的值域與的定義域的交集不是空集，則y通過u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量．例如，，，它們復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)為．利用復(fù)合函數(shù)的概念，可以把一個較復(fù)雜的函數(shù)分解成若干個簡單的函數(shù)．分解函數(shù)的原則是：由外向里，逐層分解．分解函數(shù)的結(jié)果是：分解成的每個簡單函數(shù)都是基本初等函數(shù)，或由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算后形成的函數(shù)．例4寫出下列函數(shù)的復(fù)合過程例4（1）； （2）．解（1）是由，復(fù)合而成的．（2）是由復(fù)合而成的．【教師】講解初等行數(shù)和分段函數(shù)的定義，列舉一些簡單分段函數(shù)的圖形的畫法，為學(xué)習(xí)極限做好準(zhǔn)備1．初等函數(shù)定義3由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的，并且用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)．例如，函數(shù)，等均是初等函數(shù)．2．分段函數(shù)引例3自2018年8月1日起，北京巡游出租車（不含電動車）白天的基本收費標(biāo)準(zhǔn)是：行駛里程若不超過3公里，則收費13元；若超過3公里，則超出的部分按每公里2.3元收費．另外，每運次加收1元燃油附加費．那么，每運次的行駛里程數(shù)公里與費用元之間的關(guān)系為引例3以上的函數(shù)關(guān)系不是用一個式子表示的，而是在自變量不同范圍內(nèi)用不同的表達(dá)式來表示的．這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．圖1-20例5圖1-20例5（1）求，，；（2）求其定義域，并畫出其圖像．解（1），，．（2）分段函數(shù)的定義域為，其圖像如圖1-20所示．常用的分段函數(shù)有絕對值函數(shù)和符號函數(shù)兩種．1）絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)的圖像如圖1-21所示．2）符號函數(shù)符號函數(shù)的圖像如圖1-22所示．圖1-21圖1-22【學(xué)生】掌握基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的相關(guān)知識學(xué)習(xí)、鞏固基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的相關(guān)知識。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（12min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象互助指導(dǎo)（10min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對同學(xué)掌握答題知識，實現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點本節(jié)課上大家理解了函數(shù)、初等函數(shù)的概念，掌握函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)，能夠計算函數(shù)的定義域、判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，掌握復(fù)