《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第19課 曲率

第19課曲率課題曲率課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．理解曲率，掌握其計(jì)算公式2．理解曲率圓和曲率半徑，掌握曲率圓和曲率半徑在實(shí)際問題中的應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過用曲率解決實(shí)際問題，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)概念是源于實(shí)際生活的，數(shù)學(xué)與我們的生活是息息相關(guān)的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：曲率及其計(jì)算公式、曲率圓與曲率半徑教學(xué)難點(diǎn)：曲率圓和曲率半徑在實(shí)際問題中的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（18min）→課堂測驗(yàn)（7min）→課堂指導(dǎo)（8min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測驗(yàn)（10min）→互助指導(dǎo)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）什么是曲率？如何計(jì)算曲率？（2）什么是曲率圓？什么是曲率半徑？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好上節(jié)課的復(fù)習(xí)題目，并針對學(xué)生存在的問題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（18min）【教師】引入課題——曲率的概念在實(shí)際中，有時(shí)需要研究曲線的彎曲程度．例如，為了保證列車行駛安全，在鐵路線路的轉(zhuǎn)彎處，往往需要接上一段逐漸改變方向的曲線線路，這種曲線稱為緩和線．本節(jié)將對曲線的彎曲程度做定量分析，給出曲率的概念．【教師】從直觀圖形的角度講解曲率，然后介紹曲率的計(jì)算公式，并通過例題介紹其應(yīng)用曲率研究的是曲線的彎曲程度，如何衡量曲線的彎曲程度呢？如圖4-11所示，設(shè)曲線是光滑的，在曲線上選定一點(diǎn)作為度量弧的基點(diǎn)，設(shè)在點(diǎn)處切線的傾斜角為，曲線上另外一點(diǎn)B處切線的傾斜角為．我們用比值（即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度大?。﹣肀磉_(dá)弧段的平均彎曲程度．記，稱為弧段的平均曲率．記，稱為曲線在點(diǎn)處的曲率．于是，在存在的條件下，有．此式說明曲線在點(diǎn)A處的曲率可表示為轉(zhuǎn)角微分與弧微分之商，其中弧微分為．例如，設(shè)圓的半徑為R（見圖4-12），則圓的平均曲率．圖4-11圖4-12因?yàn)榕c點(diǎn)A的位置無關(guān)，所以點(diǎn)處的曲率為，即圓上任意一點(diǎn)處的曲率都是相等的，等于．可見，半徑越小，彎曲程度越大，曲率越大，這與我們對圓的認(rèn)識是一樣的．設(shè)且具有二階導(dǎo)數(shù)（這時(shí)連續(xù)，從而曲線是光滑的）．因?yàn)?，所以，上式兩邊取微分得，于是．又知，從而得到曲率的?jì)算公式，即．例1計(jì)算直線上任意一點(diǎn)的曲率．例1解由題意知，，，因此．（例2、例3詳見教材）【學(xué)生】理解曲率，掌握其計(jì)算公式學(xué)習(xí)曲率，及其計(jì)算公式。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（7min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂指導(dǎo)（8min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學(xué)上臺解答，為同學(xué)們做示范。如果題目比較難，無人答對則老師示范【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識點(diǎn)第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解曲率圓與曲率半徑，利用與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的例題，讓學(xué)生感受到學(xué)有所用如圖4-13所示，設(shè)曲線在點(diǎn)處的曲率為()．在點(diǎn)處曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)，使．以為圓心，為半徑作圓，則這個(gè)圓稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心稱為曲線在點(diǎn)處的曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．曲線在點(diǎn)處的曲率()與曲線在點(diǎn)處的曲率半徑有如下關(guān)系：，．例4如圖4-14所示，設(shè)工件表面的截線為拋物線．現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問直徑為多大時(shí)砂輪才比較合適？例4解由題意可知，砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑，于是有，，從而，，將其代入曲率公式，得．拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為=125，因此選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長，即直徑不得超過2.50單位長．圖4-13圖4-14【學(xué)生】理解曲率圓與曲率半徑，掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)曲率圓和曲率半徑的相關(guān)知識。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象互助指導(dǎo)（12min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對同學(xué)掌握答題知識，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了曲率，掌握了其計(jì)算公式，還理解了曲率圓和曲率半徑，并掌握了曲率圓和曲率半徑在實(shí)際問題中的應(yīng)用，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題4-5總結(jié)知識點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺查看