《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第23課 微積分基本公式與定積分性質(zhì)

第23課微積分基本公式與定積分性質(zhì)課題微積分基本公式與定積分性質(zhì)課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．通過實際例子，引入微積分基本公式2．理解定積分的6個性質(zhì)定理思政育人目標(biāo)：通過引例，引出牛頓-萊布尼茨公式，使學(xué)生體會科學(xué)理論的創(chuàng)新與發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生不畏艱難、勇往直前的科研精神；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力教學(xué)重難點教學(xué)重點：微積分基本公式教學(xué)難點：理解定積分的性質(zhì)定理教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（22min）→課堂測驗（10min）→互助指導(dǎo)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）微積分基本公式是什么？（2）定積分有哪些性質(zhì)定理？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計好上節(jié)課的復(fù)習(xí)題目，并針對學(xué)生存在的問題及時講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】通過引例，引出微積分基本公式設(shè)某物體做變速直線運動的速度函數(shù)為，根據(jù)定積分的概念，在時間間隔內(nèi)走過的路程可表示為．若已知該運動方程（位置函數(shù)）為，則在時間間隔內(nèi)走過的路程也可表示為，所以有．上式表明，速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的原函數(shù)在區(qū)間上的增量．我們通過以下例題進(jìn)行驗證．例1列車進(jìn)站后必須減速，若列車減速后的速度函數(shù)為（單位：km/min），問列車應(yīng)該在離站臺多遠(yuǎn)的地方開始減速？例1解列車從開始剎車到停下來所用的時間，也就是列車速度降為零所用的時間．令，得剎車時間為．根據(jù)定積分的概念，剎車的距離為．由于速度是路程的導(dǎo)數(shù)，即，根據(jù)不定積分的定義有．由題意可知，時，代入上式得，故列車剎車過程中的運動方程為．那么，剎車距離還可以表示為．綜上所述，，即列車應(yīng)在距站臺1.5km處開始減速．從這個特殊問題可以看出，求函數(shù)的定積分可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的不定積分．【教師】講解微積分基本公式，并通過列舉較易的例題介紹公式的應(yīng)用定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則有．此公式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓-萊布尼茨公式．公式表明計算定積分可分兩步：（1）先求的一個原函數(shù)，這就是求不定積分的問題；（2）求這個原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量．牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)一步指出了定積分和不定積分之間的關(guān)系，使我們可以借助于求原函數(shù)來計算定積分，這為計算定積分提供了一個簡單有效的方法．例2例2（1）； （2）．解（1）．（2）．【學(xué)生】理解、掌握微積分基本公式從實際案例引出微積分基本公式。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（22min）【教師】借助直觀幾何圖形講解定積分的性質(zhì)定理，降低教學(xué)的抽象性和難度，然后通過例題介紹其應(yīng)用由定積分的定義、定積分的幾何意義及微積分基本公式，可以得到定積分的如下性質(zhì)，假定涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積的．性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即(為常數(shù))．性質(zhì)2兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即．性質(zhì)2可以推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情形，性質(zhì)1和2是定積分的基本運算性質(zhì)．性質(zhì)3（區(qū)間可加性）函數(shù)在上的定積分等于在和上定積分的和，即．不論點在內(nèi)還是在外，上式都成立，如圖5-12所示．（a）（b）圖5-12性質(zhì)4若在區(qū)間上有，則．推論1若在區(qū)間上有，則．推論2．性質(zhì)5（估值定理）．性質(zhì)6（積分中值定理）若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點，使得下式成立，變形得．積分中值定理的幾何意義：由曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以區(qū)間為底，以為高的矩形的面積，如圖5-13所示．稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值．圖5-13例3比較下列各對定積分的大小例3（1）與； （2）與．解（1）由于在上有，因此由推論1得．（2）由于在上有，，因此由推論1得．（例4～例7詳見教材）【學(xué)生】理解、掌握定積分的性質(zhì)定理學(xué)習(xí)定積分的性質(zhì)定理。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象互助指導(dǎo)（10min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對同學(xué)掌握答題知識，實現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了微積分基本公式，及其應(yīng)用，理解了定積分的6個性質(zhì)定理，并掌握了其應(yīng)用，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題5-3總結(jié)知識點，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺查看相關(guān)知識鏈接，