《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第1冊(cè)）（第2版）》（史旭東）教案 第四章教案 4.6 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

課題三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)；（2）理解用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖的方法；（3）了解余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)；（4）識(shí)周期現(xiàn)象，以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)為載體，理解周期函數(shù)；（5）會(huì)用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（6）通過對(duì)照學(xué)習(xí)研究，使學(xué)生體驗(yàn)類比的方法，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力．思政育人目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生豐富知識(shí)和精湛技能的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“愛崗敬業(yè)、尊重平等、誠(chéng)信嚴(yán)謹(jǐn)、友善關(guān)愛、團(tuán)隊(duì)協(xié)作”的職業(yè)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)在課堂教學(xué)主渠道中全方位、全過程、全員立體化育人．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)；用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=sinx在上的簡(jiǎn)圖．教學(xué)難點(diǎn)：周期性的理解．教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)理念（1）結(jié)合生活實(shí)例，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象，介紹周期函數(shù)；（2）利用誘導(dǎo)公式，認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)的周期；（3）利用“描點(diǎn)法”及“周期性”作出正弦函數(shù)圖像；（4）觀察圖像認(rèn)識(shí)有界函數(shù)，認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)的性質(zhì)；（5）觀察類比得到余弦函數(shù)的性質(zhì)．教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：→→問題→傳授新知（15min）→→第2節(jié)課：→傳授新知（20min）→課堂練習(xí)（5min）→糾錯(cuò)記憶（5min）→課堂小結(jié)（3min）→作業(yè)布置（2min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家掃碼觀看“小實(shí)驗(yàn)：利用單擺運(yùn)動(dòng)畫出正弦曲線”視頻以，并預(yù)習(xí)有關(guān)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的知識(shí)。小實(shí)驗(yàn)：利用單擺運(yùn)動(dòng)畫出正弦曲線【學(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)本節(jié)課的大概內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（10min）【教師】提出以下問題：觀察如圖4-19所示的鐘表，當(dāng)前顯示的時(shí)間為10點(diǎn)10分整，那么12

h之后，鐘表顯示的時(shí)間會(huì)是多少？再過12

h呢？鐘表每隔12

h顯示的時(shí)間有什么規(guī)律？這樣的規(guī)律若反映在正弦函數(shù)上，表現(xiàn)的是正弦函數(shù)的什么性質(zhì)？圖4-19【學(xué)生】聆聽、思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（15min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解正弦的圖像和性質(zhì)【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問題講解正弦函數(shù)的圖像正弦函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．這里先用描點(diǎn)法作出它在區(qū)間上的圖像．將區(qū)間分成8等份，分別求出函數(shù)在各分點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后列表，如表4-6所示．以表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后用光滑的曲線依次連接這些點(diǎn)，即可得到函數(shù)在上的圖像，如圖4-20所示．圖4-20觀察發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)在上的圖像有五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為，，，，．在平面直角坐標(biāo)系中，描出這五個(gè)點(diǎn)后，正弦函數(shù)在上的圖像形狀就基本確定了．因此，當(dāng)繪圖精度要求不高時(shí)，經(jīng)常先描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線將這些點(diǎn)依次連接起來，從而得到正弦函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖．這種作圖方法稱為“五點(diǎn)法”．根據(jù)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即，可知，正弦函數(shù)在區(qū)間，，，，，，上的圖像，都與它在區(qū)間上的圖像形狀完全相同，只是位置不同而已．我們將正弦函數(shù)在上的圖像向左或向右平移2π，4π，6π，個(gè)單位，就得到了在R上的圖像，如圖4-21所示．正弦函數(shù)的圖像稱為正弦曲線．圖4-21由正弦曲線可知，正弦函數(shù)主要具有以下性質(zhì)．（1）定義域．正弦函數(shù)的定義域?yàn)镽，即．（2）值域．正弦函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值1；當(dāng)時(shí)，取得最小值．（3）周期性．一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域D內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，并且成立，那么函數(shù)稱為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．由于正弦函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的，都有，并且成立，因此正弦函數(shù)是周期函數(shù)，以及都是它的周期．在周期函數(shù)的所有周期中，如果存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么就將它稱為最小正周期（習(xí)慣上直接簡(jiǎn)稱為周期）．故正弦函數(shù)的周期為．（4）奇偶性．正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，因此正弦函數(shù)是奇函數(shù)．（5）單調(diào)性．當(dāng)x由增大到時(shí)，正弦曲線逐漸上升，的值由增大到1；當(dāng)x由增大到時(shí)，正弦曲線逐漸下降，的值由1減小到．根據(jù)周期性可知，正弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)，其函數(shù)值由增大到1；在每一個(gè)區(qū)間上都是減函數(shù)，其函數(shù)值由1減小到．【學(xué)生】記筆記、思考、聆聽【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例1利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在上的圖像．例1表4-7x012表4-7x012101以表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后用光滑的曲線依次連接這些點(diǎn)，即可得到函數(shù)在上的圖像，如圖4-22所示．圖4-22例2已知，求a的取值范圍．例2解已知，可得的取值范圍為，解不等式得．因此，a的取值范圍為．例3求使函數(shù)取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．例3解設(shè)，則使函數(shù)取得最大值1的集合是．由，可得．故所求集合為的最大值為1．【學(xué)生】聆聽、思考、練習(xí)【頭腦風(fēng)暴】【教師】提出問題為什么在正弦函數(shù)取最小值時(shí)我們用，而不是，盡管我們研究的區(qū)間是？【學(xué)生】聆聽、思考、討論、回答【教師】總結(jié)學(xué)生的回答【學(xué)生】聆聽、討論、理解、回答通過教師講解、課堂討論、舉例說明等教學(xué)方式，使學(xué)生了解正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解相應(yīng)的例題，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)換元數(shù)學(xué)方法思想課堂練習(xí)（10min）【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行同桌互助自測(cè)（學(xué)困生上黑板驗(yàn)算）：1．用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在上的圖像．2．已知，求a的取值范圍．3．求使函數(shù)取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握情況討論歸納（8min）【教師】提出問題在上根據(jù)正弦函數(shù)圖像分象限總結(jié)函數(shù)的增減性，正負(fù)性【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論【教師】與學(xué)生一起討論，并進(jìn)行歸納出“一四增，二三減’“一二正，三四負(fù)”通過課堂討論，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)第二節(jié)課課前任務(wù)（5min）【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家回憶正弦函數(shù)的六條性質(zhì)，對(duì)比余弦函數(shù)進(jìn)行總結(jié)，并預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容。【學(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解上節(jié)課的內(nèi)容，為下一節(jié)課做鋪墊問題導(dǎo)入（5min）【教師】提出問題：我們知道鐘表每隔12h顯示的時(shí)間都是相同的，有周期性規(guī)律，而這一規(guī)律恰好也是正弦函數(shù)的性質(zhì)之一，那么余弦函數(shù)是否有與正弦函數(shù)相似的規(guī)律呢？【學(xué)生】聆聽、思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（20min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)【知識(shí)精講】【教師】舉例講解余弦函數(shù)圖像首先用描點(diǎn)法作出余弦函數(shù)在區(qū)間上的圖像．將區(qū)間分成8等份，分別求出函數(shù)在各分點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后列出表格，如表4-8所示．表4-8以表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后用光滑的曲線依次連接這些點(diǎn)，即可得到函數(shù)在上的圖像，如圖4-23所示．圖4-23觀察發(fā)現(xiàn)，余弦函數(shù)在上的圖像有五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為，，，，．在直角坐標(biāo)系中，描出這五個(gè)點(diǎn)后，余弦函數(shù)在上的圖像形狀就基本確定了．因此，當(dāng)繪圖精度要求不高時(shí)，可用“五點(diǎn)法”作出余弦函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖．根據(jù)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，我們將余弦函數(shù)在上的圖像向左或向右平移個(gè)單位，就得到了在R上的圖像，如圖4-24所示．余弦函數(shù)的圖像稱為余弦曲線．圖4-24觀察圖4-25所示的正弦曲線與余弦曲線，它們之間存在什么聯(lián)系？圖4-25通過對(duì)比和在R上的圖像可以發(fā)現(xiàn)，的圖像可由的圖像平移得到，即將的圖像向左平移個(gè)單位便可得出的圖像．綜上可知，余弦函數(shù)主要具有如下性質(zhì)．（1）定義域．余弦函數(shù)的定義域?yàn)镽，即．（2）值域．余弦函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值1；當(dāng)時(shí)，取得最小值．（3）周期性．余弦函數(shù)是周期為的函數(shù)．（4）奇偶性．余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，因此余弦函數(shù)是偶函數(shù)．（5）單調(diào)性．當(dāng)x由0增大到時(shí)，余弦曲線逐漸下降，的值由1減小到；當(dāng)x由增大到時(shí)，余弦曲線逐漸上升，的值由增大到1．根據(jù)周期性可知，余弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)，其函數(shù)值由增大到1；在每一個(gè)區(qū)間上都是減函數(shù)，其函數(shù)值由1減小到．【學(xué)生】聆聽、思考、記憶【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例4利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在上的圖像．例4解按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列出表格，如表4-9所示．以表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后用光滑的曲線依次連接這些點(diǎn)，即可得到函數(shù)在上的圖像，如圖4-26所示．圖4-26例5例5解設(shè)，則使函數(shù)取得最大值1的集合是，由 ，可得 ．故所求集合為的最大值為1．【學(xué)生】聆聽、討論、理解、回答通過教師講解、課堂討論、舉例說明等教學(xué)方式，使學(xué)生掌握余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解相應(yīng)的例題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固和理解培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)中的換元思想課堂練習(xí)（5min）【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行同桌互助自測(cè)（學(xué)困生上黑板驗(yàn)算）：【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，充分了解學(xué)情糾錯(cuò)記憶（5min）【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行同桌互助糾錯(cuò)（學(xué)困生回答）：糾錯(cuò)問題一：在，正弦函數(shù)同正同增的象限，同負(fù)同減的象限．糾錯(cuò)問題一：在，余弦函數(shù)同正同增的象限，同負(fù)同減的象限．【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯(cuò)【教師】與學(xué)生一起糾錯(cuò)，并進(jìn)行總結(jié)通過課堂討論，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？本節(jié)課學(xué)習(xí)了正余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，重點(diǎn)內(nèi)容是五點(diǎn)法做函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像總結(jié)性質(zhì)。*自我反思目標(biāo)檢測(cè)本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？你的學(xué)習(xí)效果如何？【學(xué)