2022-2023學年江蘇省南通市如皋市高二下學期教學質量調研(二)數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2022-2023學年高二下學期教學質量調研(二)數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，若，則實數的值可能為（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗因為當時，，當時，，所以因為，所以，所以，得，所以AB錯誤，對于C，若，則，此時，所以C正確，對于D，若，則，此時，不合題意，所以D錯誤，故選：C.2.已知冪函數，下列能成為“是上奇函數”充分條件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗對于A，，的定義域為，又，是定義在上的奇函數，充分性不成立，A錯誤；對于B，，的定義域為，為非奇非偶函數，充分性不成立，B錯誤；對于C，，的定義域為，又，是定義在上的偶函數，充分性不成立，C錯誤；對于D，，的定義域為，又，是定義在上的奇函數，充分性成立，D正確.故選：D.3.函數的零點個數為（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗定義域為R，，又，故為奇函數，當時，由于恒成立，故恒成立，無零點，故時，也不存在零點，當時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也時最大值，，顯然，，故由零點存在性定理知，在上存在一零點，結合函數為奇函數，在上存在一零點，綜上，一共有3個零點.故選：B.4.云計算是一種全新的網絡應用概念，其核心概念是以互聯網為中心，在網站上提供快速且安全的云計算服務與數據存儲.近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.某科技公司云計算市場規(guī)模與年份代碼的關系可以用模型擬合，設，2018年至2022年數據統(tǒng)計表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼12345云計算市場規(guī)模720712005100.851.31.852.32.7若根據上表得到回歸方程，則該科技公司2025年云計算市場規(guī)模約為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，將代入回歸方程，可得，即，所以關于的回歸方程為，2025年即當時，，此時.故：B.5.若，，，則下列關系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為指數函數為R上的單調遞減函數,故可得，，故，故選：A.6.已知函數，存在最小值，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,令得且時，時，時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又，又時,或或，所以其圖象如下：由圖像，時存在最小值，必有，故選：7.已知當時，.根據以上信息，若對任意，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，，同理得，因為，有，所以.故選：B.8.已知函數，，（其中為自然對數的底數）.若存在實數，使得，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為存在實數，使得，所以，即，令，則，函數在R上單調遞增，，即的最小值，令，，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，時，函數取得極小值即最小值，，.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有項選錯得0分.9.若函數的單調遞增區(qū)間為，則可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗A選項，的定義域為，故單調遞增區(qū)間不可能為，A錯誤；B選項，定義域為，，令，解得，所以單調遞增區(qū)間為，B正確；C選項，定義域為，，令，解得或，所以單調遞增區(qū)間為，，C錯誤；D選項，定義域為，，令，解得，故單獨遞增區(qū)間為，D正確.故選：BD.10.某同學在高二年級所有檢測中語文和數學成績均服從正態(tài)分布，記語文成績?yōu)?，數學成績?yōu)?，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，，所以，所以D正確，故選：ACD.11.若展開式中二項式系數和為64，下列結論正確的是（）A. B.展開式中第3項為C.展開式中常數項為60 D.展開式中各項系數之和為729〖答案〗AD〖解析〗對于A，因為展開式中二項式系數和為64，所以，得，所以A正確，對于B，由選項A可知二項式為，則其展開式的通項公式為，所以展開式中第3項為，所以B錯誤，對于C，令，得，所以展開式中常數項為，所以C錯誤，對于D，令，則，所以展開式中各項系數之和為729，所以D正確，故選：AD.12.在長方體中，，，為棱上任意一點，則下列結論正確的是（）A.長方體表面積的最大值為6B.長方體外接球表面積的最小值為C.到平面的距離的最大值為D.三棱錐體積的最大值為〖答案〗AD〖解析〗對于A，設，（），則該長方體表面積為，所以當時，S取得最大值6，即長方體表面積的最大值為6，所以A正確，對于B，設，（），設長方體外接球半徑為，則，所以當時，上式取得最小值3，此時的最小值為，所以長方體外接球表面積的最小值為，所以B錯誤，對于C，設點到平面的距離為，即點到平面的距離為，因為，所以，，所以，設，（），則所以，因為，所以，所以到平面的距離無最大值，所以C錯誤，對于D，，當且僅當，即時取等號，所以三棱錐體積的最大值為，所以D正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應位置上.13.已知，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，直三棱柱所有棱長均為2，M為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗取的中點，連接；因為分別為的中點，所以且，或其補角是異面直線與所成角；因為直三棱柱所有棱長均為2，所以，，；在中，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.某同學連續(xù)兩天在學校信息圖文中心2樓和3樓進行拓展閱讀，第一天等可能地從信息圖文中心2樓和3樓中選擇一層樓進行閱讀.如果第一天去2樓的條件下第二天還在2樓閱讀的概率為0.7；第一天去3樓的條件下第二天去2樓閱讀的概率為0.8，該同學第二天去3樓閱讀的概率為______.〖答案〗〖解析〗設事件“第天去2樓閱讀”，事件“第天去3樓閱讀”，則，，；所以.故〖答案〗為：.16.已知定義在上的函數滿足，且為偶函數，則______.〖答案〗〖解析〗為偶函數，，令，則，，；又，，即，，是周期為的周期函數，，由得：，即，又，，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數且.（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）若，當時，求的值域.解：（1）為奇函數，理由如下：由得：，的定義域為；，為定義在上的奇函數.（2），，；方法一：當時，，，，，即的值域為；方法二：令，在上單調遞減，，，，，即的值域為.18.如圖，三棱錐中，平面，線段的中點為，，且.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.（1）證明：法一：在中，，線段的中點為，所以,因為平面，平面，所以．因為平面，平面，，所以平面．法二：如圖，以為基底建立空間直角坐標系．因為，，線段的中點為，所以，所以．設平面的一個法向量為，由，得到，解得．令，則，所以．易知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則由，得到，取，所以．又因為，所以，所以平面（2）解：在中，過點A作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以,又因為，平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以．又因為，平面，平面，，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，設二面角的平面角為，則為銳角，則，所以二面角的余弦值．19.一盒子中放有個大小相同的小球，其中個紅球，個白球.現從中抽取兩次，一次抽取兩個球，若第一次抽出后不放回.（1）求第一次抽到兩個紅球的條件下，第二次抽到兩個白球的概率；（2）若一次抽出的兩個球同色即中獎，求中獎次數的概率分布和數學期望.解：（1）記“第一次抽到兩個紅球”為事件A，“第二次抽到兩個白球”為事件，則，，.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；的概率分布為：數學期望.20.已知函數，其中.（1）當時，求函數的極小值；（2）若在處的切線與圖象也相切，求實數的值.解：（1）當時，，其中所以，令，解得．列表如下：極小值所以函數的極小值為．（2）因為，所以，所以．因為，所以在處的切線方程為．因為與圖像相切，所以有兩個相等的實根，所以，解得，所以實數的值為或．21.直播帶貨業(yè)務是當前行業(yè)電商的主要業(yè)務構成之一.某公司通過抖音，快手，淘寶等直播平臺與網紅，明星等進行帶貨合作，甲公司和乙公司所售商品存在競爭關系，兩公司在某購物平臺上同時開啟直播帶貨促銷活動.（1）現對某時段21-40歲年齡段100名用戶觀看直播后選擇甲公司和乙公司所售商品選購情況進行調查，統(tǒng)計數據如下表：用戶年齡段選購甲公司選購乙公司合計21-30歲156031-40歲1540合計100請完成上述列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶年齡有關?（2）五一期間，甲公司購物平臺直播間進行“搶購”活動，假設直播間每人下單的概率均為，直播間每人下單成功與否互不影響.若從直播間隨機抽取5人，記5人中恰有3人下單成功的概率為，求的最大值，并求出取得最大值時的值.參考公式：，其中.臨界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可得列聯表：用戶年齡段選購甲公司選購乙公司合計21—30歲15456031—40歲251540合計4060100提出假設：選擇哪家直播間購物與用戶年齡無關．因為，所以，即假設不成立，所以有99.9%的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶年齡有關．（2）設5人中下單成功的人數為，因為直播間每人下單成功與否互不影響，所以，所以．所以，令，解得．列表如下：p0遞增極大值遞減所以當時，取得極大值，即最大值．22.已知函數，其中為自然對數的底數.（1）討論函數的單調性，并說明理由；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）的定義域為，由，得，當時，，所以在上遞減，當時，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，綜上，當時，在上遞減；時，在上遞減，在上遞增，（2）由，得，即，令，則，令，則，①當時，，，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，符合題意，②當時，，，所以在上遞增，，若，則，使，所以當時，，所以在上遞減，所以時，，不合題意，舍去，若，則在上恒小于零，所以在上遞減，所以時，，不合題意，舍去，③當時，，，所以在上遞減，所以，所以在上遞減，所以，不合題意，舍去，綜上，，即實數的取值范圍為.江蘇省南通市如皋市2022-2023學年高二下學期教學質量調研(二)數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，若，則實數的值可能為（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗因為當時，，當時，，所以因為，所以，所以，得，所以AB錯誤，對于C，若，則，此時，所以C正確，對于D，若，則，此時，不合題意，所以D錯誤，故選：C.2.已知冪函數，下列能成為“是上奇函數”充分條件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗對于A，，的定義域為，又，是定義在上的奇函數，充分性不成立，A錯誤；對于B，，的定義域為，為非奇非偶函數，充分性不成立，B錯誤；對于C，，的定義域為，又，是定義在上的偶函數，充分性不成立，C錯誤；對于D，，的定義域為，又，是定義在上的奇函數，充分性成立，D正確.故選：D.3.函數的零點個數為（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗定義域為R，，又，故為奇函數，當時，由于恒成立，故恒成立，無零點，故時，也不存在零點，當時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也時最大值，，顯然，，故由零點存在性定理知，在上存在一零點，結合函數為奇函數，在上存在一零點，綜上，一共有3個零點.故選：B.4.云計算是一種全新的網絡應用概念，其核心概念是以互聯網為中心，在網站上提供快速且安全的云計算服務與數據存儲.近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.某科技公司云計算市場規(guī)模與年份代碼的關系可以用模型擬合，設，2018年至2022年數據統(tǒng)計表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼12345云計算市場規(guī)模720712005100.851.31.852.32.7若根據上表得到回歸方程，則該科技公司2025年云計算市場規(guī)模約為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，將代入回歸方程，可得，即，所以關于的回歸方程為，2025年即當時，，此時.故：B.5.若，，，則下列關系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為指數函數為R上的單調遞減函數,故可得，，故，故選：A.6.已知函數，存在最小值，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,令得且時，時，時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又，又時,或或，所以其圖象如下：由圖像，時存在最小值，必有，故選：7.已知當時，.根據以上信息，若對任意，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，，同理得，因為，有，所以.故選：B.8.已知函數，，（其中為自然對數的底數）.若存在實數，使得，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為存在實數，使得，所以，即，令，則，函數在R上單調遞增，，即的最小值，令，，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，時，函數取得極小值即最小值，，.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有項選錯得0分.9.若函數的單調遞增區(qū)間為，則可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗A選項，的定義域為，故單調遞增區(qū)間不可能為，A錯誤；B選項，定義域為，，令，解得，所以單調遞增區(qū)間為，B正確；C選項，定義域為，，令，解得或，所以單調遞增區(qū)間為，，C錯誤；D選項，定義域為，，令，解得，故單獨遞增區(qū)間為，D正確.故選：BD.10.某同學在高二年級所有檢測中語文和數學成績均服從正態(tài)分布，記語文成績?yōu)椋瑪祵W成績?yōu)?，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，，所以，所以D正確，故選：ACD.11.若展開式中二項式系數和為64，下列結論正確的是（）A. B.展開式中第3項為C.展開式中常數項為60 D.展開式中各項系數之和為729〖答案〗AD〖解析〗對于A，因為展開式中二項式系數和為64，所以，得，所以A正確，對于B，由選項A可知二項式為，則其展開式的通項公式為，所以展開式中第3項為，所以B錯誤，對于C，令，得，所以展開式中常數項為，所以C錯誤，對于D，令，則，所以展開式中各項系數之和為729，所以D正確，故選：AD.12.在長方體中，，，為棱上任意一點，則下列結論正確的是（）A.長方體表面積的最大值為6B.長方體外接球表面積的最小值為C.到平面的距離的最大值為D.三棱錐體積的最大值為〖答案〗AD〖解析〗對于A，設，（），則該長方體表面積為，所以當時，S取得最大值6，即長方體表面積的最大值為6，所以A正確，對于B，設，（），設長方體外接球半徑為，則，所以當時，上式取得最小值3，此時的最小值為，所以長方體外接球表面積的最小值為，所以B錯誤，對于C，設點到平面的距離為，即點到平面的距離為，因為，所以，，所以，設，（），則所以，因為，所以，所以到平面的距離無最大值，所以C錯誤，對于D，，當且僅當，即時取等號，所以三棱錐體積的最大值為，所以D正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應位置上.13.已知，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，直三棱柱所有棱長均為2，M為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗取的中點，連接；因為分別為的中點，所以且，或其補角是異面直線與所成角；因為直三棱柱所有棱長均為2，所以，，；在中，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.某同學連續(xù)兩天在學校信息圖文中心2樓和3樓進行拓展閱讀，第一天等可能地從信息圖文中心2樓和3樓中選擇一層樓進行閱讀.如果第一天去2樓的條件下第二天還在2樓閱讀的概率為0.7；第一天去3樓的條件下第二天去2樓閱讀的概率為0.8，該同學第二天去3樓閱讀的概率為______.〖答案〗〖解析〗設事件“第天去2樓閱讀”，事件“第天去3樓閱讀”，則，，；所以.故〖答案〗為：.16.已知定義在上的函數滿足，且為偶函數，則______.〖答案〗〖解析〗為偶函數，，令，則，，；又，，即，，是周期為的周期函數，，由得：，即，又，，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數且.（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）若，當時，求的值域.解：（1）為奇函數，理由如下：由得：，的定義域為；，為定義在上的奇函數.（2），，；方法一：當時，，，，，即的值域為；方法二：令，在上單調遞減，，，，，即的值域為.18.如圖，三棱錐中，平面，線段的中點為，，且.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.（1）證明：法一：在中，，線段的中點為，所以,因為平面，平面，所以．因為平面，平面，，所以平面．法二：如圖，以為基底建立空間直角坐標系．因為，，線段的中點為，所以，所以．設平面的一個法向量為，由，得到，解得．令，則，所以．易知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則由，得到，取，所以．又因為，所以，所以平面（2）解：在中，過點A作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以,又因為，平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以．又因為，平面，平面，，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，設二面角的平面角為，則為銳角，則，所以二面角的余弦值．19.一盒子中放有個大小相同的小球，其中個紅球，個白球.現從中抽取兩次，一次抽取兩個球，若第一次抽出后不放回.（1）求第一次抽到兩個紅球的條件下，第二次抽到兩個白球的概率；（2）若一次抽出的兩個球同色即中獎，求中獎次數的概率分布和數學期望.解：（1）記“第一次抽到兩個紅球”為事件A，“第二次抽到兩個白球”為事件，則，，.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；的概率分布為：數學期望.20.已知函數，其中.（1）當時，求函數的極小值；（2）若在處的切線與圖象也相切，求實數的值.解：（1）當時，，其中所以，令，解得．列表如下：極小值所以函數的極小值為．（2）因為，所以，所以．因為，所以在處的切線方程為．因為與圖像相切，所以有兩個相等的實根，所以