北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題4.2 角的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題（壓軸題專項(xiàng)講練）（學(xué)生版）

專題4.2角的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【典例1】已知如圖1，∠AOB=40°(1)若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC=(2)如圖2，∠AOC=20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條射線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；(3)如圖3，∠AOC=20°，射線OM繞著O點(diǎn)從OB開(kāi)始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，當(dāng)t在某個(gè)范圍內(nèi)4∠AON+

∠BOM會(huì)為定值，請(qǐng)直接寫出定值，并指出對(duì)應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．【思路點(diǎn)撥】（1）分兩種情況討論：①OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部時(shí)，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=3（2）設(shè)∠CON=x°，根據(jù)題意用x表示有關(guān)角的度數(shù)，最終得4∠AON+∠COM的值；（3）按OM和ON的不同位置分五種情況分別討論，記OM轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α，第一種情況：當(dāng)0＜α≤60°，即0＜t≤12時(shí)；第二種情況：當(dāng)60°＜α≤180°時(shí)，即12＜t≤36時(shí)；第三種情況：當(dāng)180°＜α≤240°時(shí)，即36＜t≤48時(shí)；第四種情況：當(dāng)240°＜α≤340°，即48＜t≤68時(shí)；第五種情況：當(dāng)340°＜α≤360°，即68＜t≤72時(shí)．用t表示出有關(guān)角的度數(shù)，再求4∠AON+∠BOM的最后結(jié)果．【解題過(guò)程】解：（1）分兩種情況討論：①C在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如下圖，∵∠AOC=13∠BOC∴∠BOC=34∠AOB②OC在∠AOB外部時(shí)，如下圖，∠AOC=13∠BOC∴∠BOC=32∠AOB=3綜上所述：∠BOC=30°或60°；故答案為：30°或60°．（2）證明：設(shè)∠AON=x°，則∠CON=（20-x）°，∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，∠COM=(80-4x）°，所以4∠AON+∠COM=80°．（3）記OM的旋轉(zhuǎn)角度為α，分五種情況討論：第一種，當(dāng)0°＜α≤60°，即0＜t≤12時(shí)，如下圖，射線OM繞著O點(diǎn)從OB開(kāi)始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得∠MOB=5t°，∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，∴∠CON=14∠COM∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+5∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t∴0≤t≤12時(shí)，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．第二種情況：當(dāng)60°＜α＜180°，即12＜t＜36時(shí)，如下圖，∵∠MOB=5t°，∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，∵∠CON=14∠COM∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+5∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t∴12＜t＜36時(shí)，4∠AON+∠BOM不是定值．第三種情況：當(dāng)180°≤α≤240°，即36≤t≤48時(shí)，如下圖，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+5∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t∴當(dāng)36≤t≤48時(shí)，4∠AON+∠COM為定值380°；第四種情況：當(dāng)240°＜α＜340°時(shí)，即48＜t＜68，如下圖，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-5∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t∴48＜t＜68時(shí)，4∠AON+∠COM不是定值；第五種情況：當(dāng)340°≤α≤360°，即68≤t≤72時(shí)，如下圖，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（420°-5t°）=5∴4∠AON+∠BOM=4（54t°-85°）+360°-5t∴68≤t≤72時(shí)，4∠AON+∠COM為定值20°．綜上所述：當(dāng)36≤t≤48時(shí)，4∠AON+∠COM為定值380°；當(dāng)68≤t≤72時(shí)，4∠AON+∠COM=20°，為定值20°．1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．(1)三角板從圖1位置旋轉(zhuǎn)到圖2位置（OM落在射線OA上），ON旋轉(zhuǎn)的角度為

______；(2)在三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3位置的過(guò)程中，若三角板繞點(diǎn)O按每秒鐘15°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM所在直線恰好平分∠BOC時(shí)，求出三角板繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．2．（2022·陜西·西安輔輪中學(xué)七年級(jí)期末）已知：O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如圖1，當(dāng)∠AOC＝40°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；(2)如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；(3)如圖3，∠AOC=36°，此時(shí)∠COD繞點(diǎn)O以每秒6°沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)t秒（0≤t<60），請(qǐng)直接寫出∠AOC和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系3．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．(1)∠AOB的角平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC＝．【問(wèn)題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說(shuō)明理由．4．（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）如圖所示，是某一種旋轉(zhuǎn)燈光聚合裝置簡(jiǎn)易圖，光線的多少可由控制器控制，已知AO⊥BC，垂足為O．現(xiàn)從點(diǎn)O同時(shí)發(fā)出兩條旋轉(zhuǎn)光線，一條光線為OD，從OB開(kāi)始，繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒3°，另一條光線OE，從OC開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒2°；設(shè)兩條光線同時(shí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．(1)旋轉(zhuǎn)多少秒，兩條光線第一次重合？(2)當(dāng)0<t≤60時(shí)，若OD⊥OE，求t的值；(3)0<t≤240時(shí)，當(dāng)兩條光線在繞點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，t為何值時(shí)，∠DOE=60°？5．（2022·成都市龍泉驛區(qū)四川師范大學(xué)東區(qū)上東學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，OA,OB,OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OP,OQ分別與射線OF,OC重合，射線OP從OF處開(kāi)始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s，射線OQ從OC處開(kāi)始繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)（射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止），兩條射線同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t(1)當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．(2)當(dāng)射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s,t=21s(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3°/s①當(dāng)射線OQ和射線OP重合時(shí)，求∠COQ的值．②當(dāng)∠POQ=70°時(shí)，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．6．（2022·遼寧大連·七年級(jí)期末）已知O為直線AB上一點(diǎn)，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．(1)如圖1，當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，求∠EOB的度數(shù)；(2)點(diǎn)F在射線OB上，若射線OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．當(dāng)∠DOE在∠AOC內(nèi)部（圖2）和∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時(shí)，∠FOE和∠EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說(shuō)明理由，若不變，求出其關(guān)系．7．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．(1)一個(gè)角的平分線________這個(gè)角的奇妙線；（填“是”或“不是”）(2)如圖，∠MPN=60°．①若射線PQ是∠MPN的奇妙線，則∠QPN的度數(shù)為_(kāi)_______度；②射線PF從PN位置開(kāi)始，以每秒旋轉(zhuǎn)3°45′的速度繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)∠FPN首次等于180°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t(s)．當(dāng)t為何值時(shí)，射線PM是8．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線CD，EF相交于點(diǎn)O，射線OA在∠COF的內(nèi)部，∠DOF=13∠AO(1)如圖1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度數(shù)；(2)如圖2，若∠AOC=α（60°<α<180°），將射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到OB，①求∠EOB的度數(shù)（用含α的式子表示）；②觀察①中的結(jié)果，直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，0°<∠AOC<120°，將射線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到OB，請(qǐng)直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數(shù)量關(guān)系．9．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；(2)如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大?。?3)如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線OB重合后，再以每秒15°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線OD以每秒30°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤22），當(dāng)∠COD＝120°時(shí)，直接寫出t的值．10．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，O，B依次在直線MN上，將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?5°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0?t?48，單位秒）．(1)當(dāng)t=12時(shí)，∠AOB=°．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得射線OM是由射線OB、射線OA組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，求t的值．11．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB=100°，射線OC以2°/s的速度從OA位置出發(fā)，射線OD以10°/s的速度從OB位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(1)當(dāng)t=10時(shí)，求∠COD的度數(shù)；(2)若0≤t≤15．①當(dāng)三條射線OA、OC、OD構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于0°的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)t的值；②在射線OD，OC轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，射線OE始終在∠BOD內(nèi)部，且OF平分∠AOC，當(dāng)∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD12．（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）沿河縣某初中七年級(jí)的數(shù)學(xué)老師在課外活動(dòng)中組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探究，用一副三角尺（分別含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器180°刻度線重合，邊AP與量角器0°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點(diǎn)P以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與180°刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角尺ABP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t=5時(shí)，∠BPD=__________°；(2)若在三角尺ABP開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺PCD也繞點(diǎn)P以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時(shí)，邊PB平分∠CPD；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)O為直線l上一點(diǎn)，射線OA、OB均與直線l重合，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)O作射線OC和射線OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分線OM．(1)求∠AOC與∠MOD的度數(shù)；(2)作射線OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形，并求出∠COP的度數(shù)；(3)如圖3，將射線OB從圖1位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作∠COD的平分線ON，當(dāng)∠MON=20°時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．14．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC內(nèi)，ON在∠BOD內(nèi)，∠AOM=13∠AOC，∠BON=1(1)如圖2，當(dāng)∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC與OB重合時(shí)，則∠MON=°；(2)如圖3，當(dāng)∠COD從圖2中的位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°（即∠BOC=80°)時(shí)，求∠MON的度數(shù)；(3)當(dāng)∠COD從圖2中的位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（即∠BOC=n°，0<n<180且n≠60a，其中a為正整數(shù)）時(shí)，則∠MON=°．15．（2022·江蘇·七年級(jí)單元測(cè)試）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點(diǎn)P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運(yùn)用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點(diǎn)O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時(shí)，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時(shí)，求∠CON的度數(shù)．16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開(kāi)始出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開(kāi)始出發(fā)，繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)，OP、OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時(shí)間）(1)當(dāng)t＝秒，射線OP平分∠AOB時(shí)；(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時(shí)，請(qǐng)求出當(dāng)∠POQ=60°時(shí)，射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）多多對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和多多一起探究下面問(wèn)題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究∠EOF的大小，請(qǐng)直接寫出∠EOF的度數(shù)（不寫探究過(guò)程）．18．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=∠BOD=90°，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為每秒15°，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為每秒12°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<12，本題出現(xiàn)的角均不大于平角）．(1)當(dāng)t=2時(shí)，∠AOM的度數(shù)為_(kāi)_______度，∠NOM的度數(shù)為_(kāi)_______度．(2)t為何值時(shí)，∠AOM=∠AON．(3)當(dāng)射線OM在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，探究13∠DOM?