拓展專題2零點問題（學生版）

拓展專題2零點問題利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題大多數(shù)是高考壓軸題，是熱點問題，解決這類問題基本思路是：先求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值，然后根據(jù)函數(shù)性質畫出圖象，最后轉化為函數(shù)圖象與x軸交點問題。這里突出了導數(shù)的工具性，體現(xiàn)了等價轉化、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結合思想。研究零點問題利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題大多數(shù)是高考壓軸題，是熱點問題，解決這類問題基本思路是：先求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值，然后根據(jù)函數(shù)性質畫出圖象，最后轉化為函數(shù)圖象與x軸交點問題。這里突出了導數(shù)的工具性，體現(xiàn)了等價轉化、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結合思想。研究零點問題依據(jù)是零點存在性定理，它要求f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷曲線，且f(a)?f(b)<0.本專題主要從三個方面研究零點問題：（1）判斷零點個數(shù)；（2）根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)；（3）與零點有關的不等式問題（隱零點）。——江蘇省清江中學高級教師崔緒春探究1：判斷函數(shù)零點個數(shù)【典例剖析】例1.(2022·江蘇省四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=axex-(1)若f(-1)是f(x)的極大值，求a的取值范圍；(2)若1e<a<1，求f(x)選題意圖:選題意圖:函數(shù)的零點問題是函數(shù)的重要內容之一，解答題中考查判斷零點個數(shù)問題，通常需要判斷函數(shù)單調性，利用零點存在定理，逐個單調區(qū)間判斷是否存在零點，形成最終結論，考查邏輯推理能力.思維引導：第（2）問中，令fx=0，易得出0為函數(shù)的一個零點；構造函數(shù)gx=ae【變式訓練】練11(2022·湖南省湖湘名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2ln(2x)-x2+14練12(2022·湖北省高三質檢)已知函數(shù)fx=a1+(1)討論f(x)的單調性；(2)若a>0，討論f(x)的零點個數(shù)．【規(guī)律方法】函數(shù)零點個數(shù)的判定與證明主要通過三種方法進行處理：=1\*GB2⑴直接求解f(x)=0,該方程的解的個數(shù)即為零點的個數(shù)；=2\*GB2⑵圖像法,通過函數(shù)的圖像,觀察圖像與x軸交點的個數(shù)或是轉化為兩個函數(shù)圖像,觀察兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)；=3\*GB2⑶利用零點存在定理進行判定,也可結合最值、極值進行處理.探究2：已知零點個數(shù)求參【典例剖析】例2.(2021·湖南省常德市月考)已知函數(shù)f(x)=xlnx+(1)若a=3，求f(x)的單調性和極值；(2)若函數(shù)y=f(x)+1ex至少有1選題意圖：選題意圖：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，已知零點個數(shù)求參是一類重要的題型，常見的處理方法有分離參數(shù)法、隔離構造函數(shù)法、直接構造函數(shù)法，本題選用學生最易理解的分離參數(shù)法解決，幫助梳理解題思路.思維引導：第（2）問中，分離參數(shù)a，構造不含參函數(shù)gx=lnx+x+1xex，故a的【變式訓練】練21(2022·廣東省聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x2ex-ax存在兩個不同零點，則實數(shù)aA.(-∞?,?1e)練22(2022·廣東省東莞市模擬)已知函數(shù)fx=aex-1-(1)當a=1時，求fx(2)若fx只有一個零點，求a【規(guī)律方法】1.分離參數(shù)法：分離之后函數(shù)無參數(shù),則可得到函數(shù)的圖象,然后上下移動參數(shù)的值,觀察直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)即可.2.隔離構造函數(shù)法：將一個函數(shù)分成兩個函數(shù)，一個為容易求導的不含參函數(shù)，另一個為圖象是一條直線的含參函數(shù)，觀察它們圖象的變化趨勢,找到臨界的位置,易求得參數(shù)的取值范圍,使得運算簡化.如fx=x2+1ex-mx-1在[-1,+∞)3.直接構造法：若研究的函數(shù)f(x)均比較復雜,故直接研究函數(shù)f(x),對參數(shù)進行分類討論，判斷函數(shù)單調性，利用零點存在定理，判斷零點個數(shù)，從而求出參數(shù)的取值范圍.探究3：隱零點問題【典例剖析】例3.(2022·江蘇省揚州市模擬)已知函數(shù)f(x)=xemx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2)當m=1時，若f(x)≥lnx+ax+1恒成立，求實數(shù)a選題意圖選題意圖：導數(shù)結構復雜或含參數(shù)，其零點存在但不可求，思路調整為利用零點存在定理確定導函數(shù)零點所在區(qū)間，設出零點表示出函數(shù)的單調區(qū)間，再進行下一步推導.思維引導：第（2）問，恒成立問題先分離參數(shù)，構造不含參函數(shù)gx=ex-lnx+1x,g'x的零點存在但不可求，則設出零點x0表示單調區(qū)間，得到關于x0的等式【變式訓練】練31(2021·浙江省寧波市模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)．

(1)若f(x)存在極值，求a的取值范圍;

(2)當a=-1時，求證：f(x)≤xe練32(2021·吉林省長春市模擬)設函數(shù)f(x)=aex-x2-x-1，g(x)=(lnx)2-x2+x(a∈R)

(1)若a=1，記函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)和g(x)的零點個數(shù)分別為m，n，求m+n；【規(guī)律方法】在利用導數(shù)研究函數(shù)的性質時,對函數(shù)求導后,若f(x)=0是超越形式,我們利用高中知識無法求出函數(shù)的零點,但我們由零點存在性定理可判斷零點是存在的,我們稱之為隱零點.1.不含