外微分及微積分基本定理

PAGEPAGE1目錄中文摘要： 1英文摘要……………1引言 21外微分的基本概念 21.1外微分的定義 21.2外微分的性質 31.3各階外微分式的外微分運算 52外微分在高等數(shù)學中的應用 72.1重積分的坐標變換 72.2第二類曲面積分的歸一化計算方法 82.3全微分條件 82.4積分定理 93外微分在熱力學中的應用……………………..104參考文獻………………………12外微分與微積分基本定理摘要：本文對外微分性質及運算進行了介紹,以外微分法對微積分的知識框架進行統(tǒng)一整合，并介紹了外微分在高等數(shù)學及熱力學中的應用，包括重積分的坐標變換,第二類曲面積分的歸一化計算方法,全微分條件,積分定理等.這些使得外微分形式是近代數(shù)學中必不可少的工具與方法.關鍵詞：外微分；積分定理；全微分條件.TheDiscussionofAnalysisPropertyofDeterminantFunctionAbstract:Thisforeigndifferentialpropertieswereintroduced,andthecomputationmethodofdifferentialcalculusoutsidetheintellectualframeworkforunification,Anddescribestheexteriordifferentialinthehighermathematicsandapplicationsofthermodynamics,includingintegralcoordinatestransformation,normalizationcalculationofthesurfaceintegralofthesecondkind,conditionoftotaldifferential,integraltheorems.theexteriordifferentialformsisessentialinthemodernmathematicaltoolsandmethods.Keywords:exteriordifferential;integraltheorem,full-differentialconditions.引言本文先從外微分的基本概念開始,依次介紹了它的定義,性質及運算,而后又談到了它的應用,主要用于高等數(shù)學,最后介紹了它在物理上的應用.而我們可以通過外微分形式來定義微分流形，，微分流形是一個十分廣泛的概念.微分流形不但可以對已有的分析理論有更深刻的理解，而且由此產生了很多不同分支的優(yōu)美的理論，使得數(shù)學翻開了嶄新的一頁.1外微分的基本概念1.1外微分的定義設是定義在的某開集上的全體-函數(shù)所構成的環(huán).再設中的坐標是，系數(shù)屬于上的-函數(shù)環(huán)K，以為基底的模為，然后作上的模，其中，，.（）中的元素可以表示成，它們稱為上的次外形式.特別地，中的元素的具體表達式是，它們稱為上的1次形式，又稱為上的普拉夫形式.現(xiàn)在我們在外形式模中引進一種微分運算，稱為外微分.引進外微分以后，模的元素稱為上的外微分形式，中的元素稱為次外微分形式.定義外微分是一映射，它的定義如下：設，，我們規(guī)定=，顯然，從此定義可以直接看出：如果，則外微分就是普通微分；如果，因為.我們再把以上外微分運算擴充到整個上.定義設，并且，，規(guī)定.1.2外微分的性質性質1設為-形式,為-形式,則證明根據(jù)外微分的定義，只須考慮和是單項式的情形，設，，則性質2對任意,有(3)證明由于的線性性,只要證明這種情形即可.這時,由于具有二階連續(xù)偏導數(shù),因此.所以.因此再由性質1可得.1.3各階外微分式的外微分運算設都是三維空間的函數(shù)，則分別稱（4）~（7）式為零階、一階、二階和三階外微分式（4）（5）（6）（7）在三維空間中，對于系數(shù)是可微函數(shù)的各階外微分式（4）~（7），定義其外微分：注1對基本外微分式的外微分，規(guī)定在這個規(guī)定下，外微分算子的作用類似與普通微分算子，即對每一項進行運算，在每一項中又分別對每個因子進行運算，其余因子不動.所不同的是外微分算子在運算后進行外積運算，而普通微分算子在運算后進行普通乘積.例如注2零階外微分式的外微分就是普通的微分.性質：階外微分式的外微分是階外微分式，三階外微分式的外微分等于0，且它們與場論中的三度（梯度，旋度，散度）有如下聯(lián)系：（1）（2）（3）證（1）顯然成立.（2）（3）2外微分在高等數(shù)學中的應用2.1重積分的坐標變換二重積分計算中坐標變換：設為由到的一對一的可微映像，則這里稱為變換的Jacobi行列式.在二重積分中，，表示面積，從而.類似地，對三重積分中，作變換時，有，其中.2.2第二類曲面積分的歸一化計算方法在第二類曲面積分計算中，若的方程為，則從而.這樣，只要將向平面投影來計算這個曲面積分了.2.3全微分條件的條件為.即有，，.事實上，=從而得到了要求的結論.的條件為由，得出條件為2.4積分定理設是中意維區(qū)域（），是的邊緣，具有誘導的定向，是上的（）-形式，則下列公式成立這個公式通常稱為斯托克斯（stokes）公式時，其中是在上的一個原函數(shù).若記，則，則牛頓-萊布尼茲公式可寫為時，設，是平面上一區(qū)域，是它的邊緣閉曲線，再設是1-形式.這時斯托克斯公式為，這就是我們所熟悉的平面上的格林（Green）公式.時，設，是平面中的曲面域，是它的邊緣（空間）閉曲線，再設是1-形式.這時，斯托克斯公式為這就是我們在微積分教程中所見到的斯托克斯公式.如果，則是平面中一區(qū)域，是它的邊緣閉曲線，是2-形式.這時，斯托克斯公式為這就是微積分教程中的高斯公式.3外微分在熱力學中的應用在流體力學中,特別是氣體熱力學,借助統(tǒng)計學可以對氣體的狀態(tài)進行描述,理想氣體的狀態(tài)參數(shù)通常有5個,但只有2個是相互獨立的,故氣體熱力學系統(tǒng)相當于一個二維流形.設、、、和分別為系統(tǒng)的內能、溫度、熵、壓強和體積,則熱力學第二定理可以表示為:（20）對熱力學系統(tǒng)而言,它相當于一個二維流形,故可采用外微分來描述,由外微分的性質,知其中,代入式(20)可得:(21)外積與外微分應用在可微流形上,允許進行坐標變換,分別取坐標系、、和,則很容易構造出系統(tǒng)的自由能、吉布斯函數(shù)、焓和內能.(1)取流形系統(tǒng)的坐標系為,令,,(22)由式(3)知必為某個函數(shù)的一次微分形式,不妨令,物理學上稱為封閉系統(tǒng)的自由能.(2)取流形系統(tǒng)的坐標系為,令,,(23)由式(3)知必為某個函數(shù)的一次微分形式,不妨令,物理學上稱為系統(tǒng)的吉布斯函數(shù).(3)取流形系統(tǒng)的坐標系為,令,,(24)由式(3)知必為某個函數(shù)的一次微分形式,不妨令,物理學上稱為封閉系統(tǒng)的焓.(4)取流形系統(tǒng)的坐標系為,令,,(25)由式(3)知必為某