第er次課微分方程模型第一講

微分方程模型第一講引言在很多實際問題的研究中，經(jīng)常要涉及各變量的變化律問題。

1.尸體冷卻模型受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體溫度為32.6℃；一小時后，當(dāng)尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為31.4℃，室溫在幾個小時內(nèi)始終保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5:00時打完電話后就離開了辦公室”。從張某到受害者家（兇案現(xiàn)場）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問題是，張某不在兇案現(xiàn)場的證言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。首先應(yīng)確定兇案的發(fā)生時間，若死亡時間在下午5點5分之前，則張某就不是嫌疑犯，否則不能將張某排除。設(shè)T(t)表示t時刻尸體的溫度，并記晚上8:20為t=0，則T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假設(shè)受害者死亡時體溫是正常的，即T=37℃是要確定受害者死亡的時間，也就是求T(t)=37℃的時刻，進(jìn)而確定張某是否是嫌疑犯。人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)。人死亡后體溫調(diào)節(jié)的功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響。假設(shè)尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化律與他同周圍的溫度差成正比。即

k是常數(shù)，分離變量兩邊同時積分得T(0)=21.1+a=32.6得a=11.5T(1)=21.1+ae-k=31.4得e-k＝115/103，即k=0.11所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t.當(dāng)T=37℃時，有t=-2.95小時＝-2小時57分Td＝8小時20分－2小時57分＝5小時23分。即死亡時間大約在下午5:23，因此張某不能被排除在嫌疑犯之外。問題若張某的律師發(fā)現(xiàn)受害者在死亡的當(dāng)天下午去醫(yī)院看過病。病例記錄：發(fā)燒38.3℃。假設(shè)受害者死亡時的體溫為38.3℃，試問張某能夠被排除在嫌疑犯之外嗎？注：死者體內(nèi)沒有發(fā)現(xiàn)服用阿司匹林或類似藥物的跡象。此時解得死亡時間大約在下午4:40分，這時張某正在上班，因此可以排除在嫌疑犯之外。馬王堆一號墓年代的確定1949年美國芝加哥大學(xué)利比建立了碳-14測定年代的方法是考古工作者重要的斷代手段之一。其原理如下：從星際空間射到地球的射線稱為宇宙線。宇宙線中子穿過大氣層時撞擊空氣中的氮核引起核反應(yīng)而生成具有放射性的碳-14。宇宙線的強度可以認(rèn)為是不變化的，它經(jīng)年不息地射到地球上來，不斷地產(chǎn)生著碳-14，而碳-14本身又不斷地放出β射線裂變?yōu)榈?。這種不斷產(chǎn)生、不斷裂變的過程從古到今一直進(jìn)行著，因此大氣中的碳-14實際上處于動態(tài)平衡，大氣中碳-14的含量（指物體標(biāo)本中碳-14的原子個數(shù)與非放射性碳原子個數(shù)之比）。可認(rèn)為是常值（實測約為1.2×10-12)碳-14和其他碳原子在化學(xué)性質(zhì)上毫無區(qū)別。它與氧化合生成放射性二氧化碳，通過光合作用而進(jìn)入植物體內(nèi)。動物吃植物，碳-14又進(jìn)入動物體內(nèi)。因而在活的動植物體中碳-14的含量大致相同。動植物一死，體內(nèi)碳-14得不到補充，只是不斷地裂變?yōu)榈鴾p少。已經(jīng)知道放射性元素的裂變規(guī)律遵循：裂變速率與剩余量成正比。對碳-14來說，其半衰期為5730年。這樣，從動植物死亡體內(nèi)碳-14的含量就可以約略推算它的死亡年代。1972年發(fā)掘長沙馬王堆一號漢墓時，對其棺槨外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-14的量約為大氣中的0.7757倍，據(jù)此便可推算出木炭的年代，它也就可以當(dāng)作女尸下葬的年代。以t表示時間（年），t=0對應(yīng)于木炭燒制的時刻，以y=y(t)表示木炭經(jīng)過t年后碳-14的含量，則是碳-14的增長速率，而碳-14的裂變速率便是，故按裂變規(guī)律，我們有其中k>0為比例系數(shù)。木炭在t=0時的碳-14含量與大氣中的含量α＝1.2×10-12大致相同，而經(jīng)過5730年后衰減了一半，故函數(shù)y=y(t)還應(yīng)滿足如下條件為了求滿足方程的函數(shù)，將方程變形為積分得其中C和C1為任意常數(shù)。由第二個條件有假設(shè)木炭是T年前燒制的，經(jīng)過T年，其碳-14的含量已減少為大氣中含量的0.7757倍，故應(yīng)有由此算出這表明長沙漢墓的女尸大約是在公元前128年下葬的。注：對碳-14的半衰期說法不一，有人測定為5568年，也有人測定為5580和5730。范·梅格倫的藝術(shù)偽造品在第二次世界大戰(zhàn)時，當(dāng)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安部開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫家楊·弗米爾的油畫“捉奸”賣給納粹德國戈林的中間人。可是，范·梅格倫在同年7月在牢里宣布：他從未把這幅畫賣給戈林。而且他還說，這幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的信徒們”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品。這件事震驚了全世界。為了證明他自己是一個偽造者，在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在學(xué)者們中間”，當(dāng)這項工作接近完成時，獲悉他的通敵罪可能被偽造罪所取代。因此，他拒絕將這幅畫變陳，希望不被發(fā)現(xiàn)使畫老化的秘密，以免留下罪證。為了審理這個案件，法庭組織了一個由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究此事。他們利用x射線檢驗畫布上是否曾經(jīng)畫過別的畫。此外，他們分析了油畫中的拌料（色粉），檢驗了油畫中有沒有經(jīng)歷歲月的跡象。科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡。此外，他們還在幾幅畫中檢驗出20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告?zhèn)卧熳?，判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。然而事情到此并未結(jié)束，許多人還不肯相信著名的“在埃牟斯的信徒們”是范·梅格倫偽造的。事實上，在此之前這幅畫已經(jīng)被鑒定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布特學(xué)會買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他決心繪制這幅畫來證明它的水平。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作以后，他的志氣消退了。而且當(dāng)他看到這幅畫這么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽造品時就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意。他們要求完全科學(xué)地、確定地來證明“在埃牟斯的信徒們”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，卡內(nèi)基－梅隆大學(xué)的科學(xué)家們才基本上解決了這個問題?？▋?nèi)基－梅隆大學(xué)的解決方案由馬王堆一號墓年代問題我們已經(jīng)知道放射性物質(zhì)的衰變模型為其解為顯然，當(dāng)時，，即若無補充機制，該放射性物質(zhì)將消失。當(dāng)時，可得半衰期為。即，大多數(shù)情況下，衰變常數(shù)是已知的或能夠算出，并且易算出N的值。這樣若知道，就可以確定該物質(zhì)的年代了。在某些情況下，我們可以間接的確定，如上題的碳-14斷代法，或確定的某個適當(dāng)范圍范·梅格倫的偽造品就屬于后一種情形。我們從下面的初等化學(xué)的事實開始，地殼中的所有巖石都會有少量的鈾。巖石中鈾衰變成一種其它元素，而這種元素也進(jìn)一步衰變成另一種元素。如此衰變下去，形成一個元素序列直到鉛,就不再衰變?nèi)缦聢D所示。鈾不斷地補充序列中的后續(xù)元素，所以這些后面的元素衰變量與產(chǎn)生量就形成一個動態(tài)平衡。圖1鈾系列下面讓我們了解一下顏料方面的知識。用白鉛作顏料已有2000多年了，而白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦石中提取出來的，在這個過程中，礦石中的鉛-210隨著鉛金屬被提取出來，不過有90％-95％的鐳以及其他派生物都隨著爐渣作為廢棄物被排出了。所以大多數(shù)鉛-210的提供物都被排掉了，而其自身開始迅速衰變，半衰期為22年。這個過程一直持續(xù)到白鉛中的鉛-210再次與現(xiàn)存的少量鐳達(dá)到放射平衡，即鉛－210的衰變恰好被鐳的衰變所平衡。由圖1可知，鐳的半衰期為1600年，而我們只對300年左右這一段時間感興趣，據(jù)此假設(shè)其每分鐘衰變數(shù)為常數(shù)r，設(shè)y(t)為t時刻每克白鉛中存在鉛-210的數(shù)量，y0為最初生產(chǎn)時（時刻t0)每克白鉛中存在的鉛-210的數(shù)量。記λ為鉛－210的衰變常數(shù)，考慮到鐳的衰變數(shù)，有如下模型

其解為y(t),r可通過實際測量得到，因此，只要知道y0，便可算出t-t0，從而確定畫的年齡，可對y0的變化區(qū)間進(jìn)行估算。鉛-210的初始量是與用來提取鉛金屬的礦石中的鐳-226處于放射性平衡狀態(tài)的。所以可通過對不同礦石樣品中鐳-226的衰變率的測定來得到白鉛中鉛-210的衰變數(shù)。通過測算可知，白鉛中的鉛-210的衰變數(shù)應(yīng)在0.18到140之間變動。因為鉛-210的衰變數(shù)是與當(dāng)時的量成比例的，這意味著y0的變化區(qū)間太大了。由于我們的任務(wù)是區(qū)分17世紀(jì)的畫與現(xiàn)在的偽造品，為此若一幅畫與鉛-210的半衰期22年相比非常舊，那么在該幅畫的顏料樣品中，鉛-210的放射量就近似等于同一樣品中鐳-226的放射量。另一方面，若一幅畫是畫齡為20年左右的現(xiàn)代作品，則鉛-210的放射量比鐳-226的放射量要大得多。設(shè)，由模型的解可得因幾年之后釙-210的衰變率就等于鉛-210的衰變率而釙-210的衰變率容易測得，所以用釙-210的值代替鉛-210的相應(yīng)值。又鉛-210的半衰期為22年故，實測得r=0.8。人們測定了“Emmaus的信徒們”以及其他幾種已確認(rèn)的偽造品的釙-210和鐳-226的衰變率，結(jié)果如下表所示畫名釙-210的衰變鐳-226的衰變Emmaus的信徒洗足讀樂譜的婦人彈曼陀林的婦人做花邊的人歡笑的女孩8.512.610.38.21.55.20.80.260.30.171.46利用其中數(shù)據(jù)得此值大得不合實際。因此，這幅畫一定是現(xiàn)代的偽造品。完全類似的可以證明“洗足”“讀樂譜的婦人”“彈曼陀林的婦人”都是偽造品。而“做花邊的女孩”和“歡笑的女孩”就不可能是最近的偽造品，因為這兩幅畫的釙-210與鐳-226幾乎接近到放射平衡，而且在任何19世紀(jì)或20世紀(jì)的繪畫中都沒有觀察到這樣的平衡。小鴨吃魚問題

設(shè)河邊點O處有條小魚，O的正對岸點為A，河寬OA＝h，鴨子從A出發(fā)游向點O，設(shè)鴨子在靜水中的速度為a，水流速度為b（a>b），且鴨子游動方向始終朝著點O。求鴨子游過的軌跡方程。OA（h,o）xy順?biāo)较騊(x,y)abv首先建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)鴨子游動的軌跡為y(t)且時刻t時鴨子所在的位置為P(x,y)。由于鴨子在任意時刻游動的的實際方向是曲線的切線方向，而切線的斜率為，因此應(yīng)建立一個微分方程。由可得這是一個齊次方程，解得

餓狼追兔問題現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米處。假設(shè)兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問題是兔子能否安全回到巢穴。首先建立坐標(biāo)系，兔子在O處，狼在A處。由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點處的切線。設(shè)狼的行走軌跡是y=f(x)，則有又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時間內(nèi)狼走的距離為兔子走的距離的兩倍。假設(shè)在某一時刻，兔子跑到(0,h)處，而狼在(x,y)處，則有即有兩邊求導(dǎo)并整理，得到下述模型這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行走軌跡因>60，所以狼追不上兔子。某些類型的導(dǎo)彈對目標(biāo)追擊的數(shù)學(xué)模型于此模型類似。

4微分方程模型與實驗

4.1豬的最佳銷售與單擺運動問題

4.1.1問題及其分析

豬的最佳銷售時機問題：對于豬的商業(yè)性飼養(yǎng)和銷售，人們總是希望獲得最大的利潤，在市場需求不變的情況下，如果我們不考慮豬的飼養(yǎng)技術(shù)、水平，豬的類型等因素的影響，那么影響銷售利潤的主要因素，就是銷售時機問題，由于隨著豬的生長，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用逐漸增多，而豬的體重增長卻逐漸變慢，因此對豬的飼養(yǎng)時間過長是不合算的。

假定一頭豬在開始飼養(yǎng)時的重量為x0，在飼養(yǎng)后任意時刻t的重量為x(t)，對于某一品種的豬，它的最大重量假定為X0，豬的最小出售體重為xs，相應(yīng)的飼養(yǎng)時間為ts。一頭豬從開始飼養(yǎng)到時刻t所需的費用為y(t)，同時我們假定反映豬體重變化速度的參數(shù)為α，豬在達(dá)到最大體重后，單位時間的飼養(yǎng)費為γ，反映飼養(yǎng)費用變化大小的參數(shù)為λ，請根據(jù)上面的假設(shè)，建立起豬的最佳銷售時機的數(shù)學(xué)模型，并用下面所給的數(shù)據(jù)驗證你的模型。

假設(shè)X0=200（kg），xs=75（kg），α=0.5（kg/天），豬的市場銷售價設(shè)為c=6元/kg，γ=1.5（元/天），λ=1（元/天），x0=5kg。

問題分析：由于豬在進(jìn)行飼養(yǎng)時已具有一定的體重，而其體重的增加隨飼養(yǎng)時間的延長逐漸減慢，因此由Logistic模型可得；

又由于豬的體重增加，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用就越多，達(dá)到最大體重后，飼養(yǎng)費用為常數(shù)γ，所以有

因此，得到微分方程：

（1）

對上式求解可得：

養(yǎng)豬能否獲利，主要看豬從出生到ts時，如果出售是否可以獲利，因此，獲利的充要條件為：

（2）

其中c0為仔豬的價格。

由（1）式可得：

解之可得：

將（1），（2）式代入可得：

(3)

所以只要（3）式成立，飼養(yǎng)就會獲利。

設(shè)豬的最佳出售時機為t*，由（1）式求導(dǎo)可得：

(4)

由盈虧平衡原理：即單位時間內(nèi)由豬增加體重所獲得的利潤與消耗的飼養(yǎng)費用相等，可得:

由（4）式可得：

解之可得：

若