單元形函數(shù)的討論

第5章單元形函數(shù)的討論

在有限單元的基本理論中，形函數(shù)不僅可以用作單元的內(nèi)插函數(shù)，把單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移用節(jié)點(diǎn)表示，還可以做為加權(quán)函數(shù)，將分布力等效為節(jié)點(diǎn)上的集中力和力矩。根據(jù)形函數(shù)的思想，首先將單元位移場函數(shù)表示為多項(xiàng)式形式，然后利用節(jié)點(diǎn)條件將多項(xiàng)式的待定參數(shù)表示成場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值和單元幾何參數(shù)的函數(shù)，從而將場函數(shù)表示成節(jié)點(diǎn)值差值形式的表達(dá)式。本章概述第5章單元形函數(shù)的討論本章重點(diǎn)討論幾種典型單元的形函數(shù)插值函數(shù)的構(gòu)造方式，然后以三角形單元為例，討論形函數(shù)的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上分析有限元的收斂準(zhǔn)則。5.1形函數(shù)構(gòu)造的一般原理

單元的類型和形狀決定于結(jié)構(gòu)總體求解域的幾何特點(diǎn)、問題類型和求解精度。根據(jù)單元形狀,可分為一維、二維、三維單元。單元插值形函數(shù)主要取決于單元的形狀、節(jié)點(diǎn)類型和單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。節(jié)點(diǎn)的類型可以是只包含場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值，也可能還包含場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。是否需要場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為節(jié)點(diǎn)變量一般取決于單元邊界上的連續(xù)性要求，如果邊界上只要求函數(shù)值保持連續(xù)，稱為C0型單元，若要求函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)值都保持連續(xù)，則是C1型單元。

5.1形函數(shù)構(gòu)造的一般原理

在有限元中，單元插值形函數(shù)均采用不同階次的冪函數(shù)多項(xiàng)式形式。對(duì)于C0型單元，單元內(nèi)的未知場函數(shù)的線性變化僅用角（端）節(jié)點(diǎn)的參數(shù)來表示。節(jié)點(diǎn)參數(shù)只包含場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。而對(duì)于C1型單元，節(jié)點(diǎn)參數(shù)中包含場函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。與此對(duì)應(yīng)，形函數(shù)可分為Lagrange型（不需要函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的斜率或曲率）和Hermite型（需要形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的斜率或曲率）兩大類，而形函數(shù)的冪次則是指所采用的多項(xiàng)式的具有一次、二次、三次、或更高次等。冪次，可能5.1形函數(shù)構(gòu)造的一般原理另外，有限元形函數(shù)N是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，而節(jié)點(diǎn)位移不是x、y、z的函數(shù)，因此靜力學(xué)中的位移對(duì)坐標(biāo)微分只對(duì)節(jié)點(diǎn)位移向量起作用。時(shí)，只對(duì)形函數(shù)N作用，而在動(dòng)力學(xué)中位移對(duì)時(shí)間t微分時(shí)，5.1.1常用單元的形函數(shù)1.一維一次兩節(jié)點(diǎn)單元（桿單元）圖5-1一維一次兩節(jié)點(diǎn)單元模型

如圖5-1所示，設(shè)位移函數(shù)u(x)沿x軸呈線性變化,即設(shè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為；兩節(jié)點(diǎn)的位移分別為，可以代入上式并解出，得寫成向量形式為：

(5.1)

(5.2)

(5.3)5.1.1常用單元的形函數(shù)(5.4)(5.5)借助于Matlab軟件，可以很方便的推導(dǎo)出上述單元形函數(shù)，具體代碼如下：位移函數(shù)u(x)記作形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)參數(shù)乘積的形式得到形函數(shù)1.一維一次兩節(jié)點(diǎn)單元（桿單元）5.1.1常用單元的形函數(shù)clearx1=sym('x1');x2=sym('x2');x=sym('x');j=0:1;v=x.^j;%v=[1x];m=[1,x1;1,x2]mm=inv(m)N=v*mmsimplify(factor(N))1.一維一次兩節(jié)點(diǎn)單元（桿單元）5.1.1常用單元的形函數(shù)2.二維一次三節(jié)點(diǎn)單元（平面三角形單元）在總體坐標(biāo)系統(tǒng)下，任一點(diǎn)的某一方向的位移是設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)是，為三個(gè)節(jié)點(diǎn)在某方向上的位移，具有如下關(guān)系

(5.6)

(5.7)5.1.1常用單元的形函數(shù)2.二維一次三節(jié)點(diǎn)單元（平面三角形單元）

上述推導(dǎo)可用如下MATLAB程序：Clearv=sym('[1,x,y]')m=sym('[1,x1,y1;1,x2,y2;1,x3,y3]')mm=inv(m)N=v*mmsimplify(factor(N))得到形函數(shù)矩陣如下式

(5.8)5.1.1常用單元的形函數(shù)在總體坐標(biāo)系統(tǒng)下，任一點(diǎn)的某一方向的位移是按相似的方法可以得到

(5.9)(5.10)3.三維一次四節(jié)點(diǎn)單元（三位四面體單元）5.1.1常用單元的形函數(shù)形函數(shù)矩陣如下式3.三維一次四節(jié)點(diǎn)單元（三位四面體單元）(5.11)5.1.1常用單元的形函數(shù)4.一維二次三節(jié)點(diǎn)單元（高次單元）圖5-2一維二次三節(jié)點(diǎn)單元模型(5.12)(5.13)如圖5-2設(shè)位移函數(shù)為用節(jié)點(diǎn)位移代入并求解5.1.1常用單元的形函數(shù)

(5.14)得到上式等號(hào)右端第一項(xiàng)矩陣即為形函數(shù)。4.一維二次三節(jié)點(diǎn)單元（高次單元）5.1.1常用單元的形函數(shù)

5.一維三次四節(jié)點(diǎn)單元（Lagrange型

)

(5.15)圖5-3一維三次四節(jié)點(diǎn)單元模型如圖5-3，位移函數(shù)為三次方程為需要四個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)才能唯一地確定其中的常系數(shù)。這四個(gè)節(jié)點(diǎn)可以分別取兩個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)三分點(diǎn)。類似地，可以得到如下形函數(shù)方程5.1.1常用單元的形函數(shù)

(5.16)(5.17)其中形函數(shù)中的各元素為5.1.1常用單元的形函數(shù)

(5.18)6.一維三次二節(jié)點(diǎn)單元（Hermite型

)

圖5-4一維三次二節(jié)點(diǎn)單元模型如圖5-4所示的一維三次兩節(jié)點(diǎn)單元，這類單元的位移插函數(shù)為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角方程為

(5.19)6.一維三次二節(jié)點(diǎn)單元（Hermite型

)

5.1.1常用單元的形函數(shù)用節(jié)點(diǎn)參數(shù)代入求解

(5.20)即5.1.1常用單元的形函數(shù)得到

(5.21)其中形函數(shù)矩陣中各元素為(5.22)5.1.1常用單元的形函數(shù)上述結(jié)果可用MATLAB程序進(jìn)行驗(yàn)證：Clearx=sym('x');j=0:3;v=x.^j%v=[1xx^2x^3];m=sym('[1,x1,x1^2,x1^3;1,x2,x2^2,x2^3;0,1,2*x1,3*x1^2;0,1,2*x2,3*x2^2mm=inv(m)N=v*mm;simplify(factor(N))]')5.1.1常用單元的形函數(shù)(5.23)7.二維一次四節(jié)點(diǎn)單元（平面四邊形單元或矩形單元）

用形函數(shù)表達(dá)的位移方程如下其中形函數(shù)矩陣的元素為i=i,j,k,l

(5.24)5.1.1常用單元的形函數(shù)

(5.25)8.三維一次八節(jié)點(diǎn)單元在三維一次單元形函數(shù)中，函數(shù)值沿三坐標(biāo)軸（x、y、z軸）呈線性變化。假設(shè)位移函數(shù)沿各坐標(biāo)軸的線性變化可寫成假設(shè)在i節(jié)點(diǎn)的位移值為ui，并將數(shù)值代入上式，其他各節(jié)點(diǎn)(j,k,l,m,n,p,q)亦類推，共有8個(gè)式子，其中第1式如下(5.26)5.1.1常用單元的形函數(shù)(5.27)可是以求得系數(shù)解則

(5.28)5.1.1常用單元的形函數(shù)5.1.1常用單元的形函數(shù)

(5.28)最后得到形函數(shù)的表達(dá)式為5.1.2形函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律——帕斯卡三角形上述位移函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律，可以根據(jù)帕斯卡三角形加以確定，同時(shí)，這樣制定的位移模式，還能夠滿足有限元的收斂性要求。以下是幾種典型情況。例如一維兩節(jié)點(diǎn)單元的情況，

如圖5-6：圖5-5一維二節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)組成圖5-6一維三節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)組成5.1.2形函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律——帕斯卡三角形圖5-8二維六節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)組成二維高階單元的情況，見圖5-7、8、9、10：圖5-7二維四節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)組成5.1.2形函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律——帕斯卡三角形圖5-10二維九節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)組成圖5-9二維八節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)組成5.1.2形函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律——帕斯卡三角形斯卡三角形上圈定相應(yīng)區(qū)域

（3）對(duì)應(yīng)寫出位移函數(shù)的插值公式，即形函數(shù)。可以看出，形函數(shù)時(shí)可以按照帕斯卡三角形構(gòu)造，具體方法（1）按照所研究問題的維數(shù)繪制坐標(biāo)軸，一維對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)軸，二維對(duì)應(yīng)兩個(gè)坐標(biāo)軸，三維對(duì)應(yīng)三個(gè)坐標(biāo)軸。（2）按照所選單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，用三角形、矩形或長方體在帕三維單元的情況，見圖5-11

圖5-11三維單元的形函數(shù)組成5.2形函數(shù)的性質(zhì)下面以平面三角形單元為例討論形函數(shù)的一些性質(zhì)（見圖5-12）。平面三角形單元的形函數(shù)為（i=1,2,3）

(5.30)圖5-12三角形單元其中，

為三角形單元的面積，

為與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的系數(shù)，它們分別等

于公式中的行列式的有關(guān)代數(shù)余子式前面已經(jīng)介紹了，這里不再詳述

5.2形函數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于任意一個(gè)行列式,其任一行（或列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。因此有：

第一，形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)，即在單元節(jié)點(diǎn)1上，滿足

(5.31)在節(jié)點(diǎn)2、3上，有(5.32)(5.33)5.2形函數(shù)的性質(zhì)類似地有(5.34)第二，在單元的任一節(jié)點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等于1，即(5.35)簡記為(5.36)這說明，三個(gè)形函數(shù)中只有二個(gè)是獨(dú)立的

5.2形函數(shù)的性質(zhì)第三，三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)、而與其它節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

無關(guān)。例如，在2-3

邊上有

(5.36)根據(jù)形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的。例如，單元1-2-3和1-2-4具有公共邊1-2。由上式可知，在1-2邊上兩個(gè)單元的第三個(gè)形函數(shù)都等于0，即(5.37)5.2

形函數(shù)的性質(zhì)不論按哪個(gè)單元來計(jì)算，公共邊1-2上的位移均由下式表示(5.38)可見，在公共邊上的位移u、v

將完全由公共邊上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)1、2的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續(xù)的為了能夠更好地理解形函數(shù)的概念，這里引入面積坐標(biāo)。在如圖5-13所示的三角形單元ijm中，任意一點(diǎn)P(x,y)的位置可以用以下三個(gè)比值來確定。5.3用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)圖5-13平面三角形單元的面積坐標(biāo)(5.40)式中，

——三角形單元ijm的面積，i

、j

、m

為三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。Li，Lj，Lm叫做P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。顯然，這三個(gè)面積坐標(biāo)不是完全獨(dú)立的，這是由于5.3用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)

i+

j+

m

=

(5.41)所以有Li+Lj+Lm=1

(5.42)對(duì)于三角形Pjm，其面積為(5.43)故有(5.44)類似地有(5.45)(5.46)5.3用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)可見，前面講述的平面三角形單元的形函數(shù)Ni

、Nj

、Nm等于面積坐標(biāo)Li

、Lj

、Lm。

容易看出，單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為節(jié)點(diǎn)i：Li=1Lj

=0Lm=0節(jié)點(diǎn)j：Li=0Lj

=1Lm=0節(jié)點(diǎn)m：Li=0Lj

=0Lm=1根據(jù)面積坐標(biāo)的定義，平行于jm邊的某一直線上的所有各點(diǎn)都有相同的坐標(biāo)Li，并且等于該直線至jm邊的距離與節(jié)點(diǎn)i至jm邊的距離之比，圖5-13中給出了Li的一些等值線。平行于其它邊的直線也有類似的情況。

5.3用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)(5.47)當(dāng)面積坐標(biāo)的函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)求導(dǎo)時(shí)，有下列公式

(5.48)不難驗(yàn)證，面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間還存在以下變換關(guān)系：5.3

用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)求面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形單元上的積分時(shí)，有(5.49)式中,

、

、

為整常數(shù)。求面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形某一邊上的積分值時(shí)，有(5.50)式中,l為該邊的長度。5.4有限元的收斂準(zhǔn)則對(duì)于一個(gè)數(shù)值計(jì)算方法，一般總希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分所得到的解答能夠收斂于問題的精確解。根據(jù)前面的分析，在有限元中，一旦確定了單元的形狀，位移模式的選擇將是非常關(guān)鍵的。由于載荷的移置、應(yīng)力矩陣和剛度矩陣的建立都依賴于單元的位移模式，所以，如果所選擇的位移模式與真實(shí)的位移分布有很大的差別，會(huì)將很難獲得良好的數(shù)值解。可以證明，對(duì)于一個(gè)給定的位移模式，其剛度系數(shù)的數(shù)值比精確值要大。所以，在給定的載荷之下，有限元計(jì)算模型的變形將比實(shí)際結(jié)構(gòu)的變形小。因此細(xì)分單元網(wǎng)格，位移近似解將由下方收斂于精確解，即得到真實(shí)解的下界。

5.4有限元的收斂準(zhǔn)則⑴位移模式必須包含單元的剛體位移。也就是，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移由某個(gè)剛體位移引起時(shí)，彈性體內(nèi)將不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變。所以，位移模式不但要具有描述單元本身形變的能力，而且還要具有描述由于其它單元形變而通過節(jié)點(diǎn)位移引起單元?jiǎng)傮w位移的能力。例如，平面三角形單元位移模式的常數(shù)項(xiàng)

1、4

就是用于提供剛體位移的。⑵位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變。每個(gè)單元的應(yīng)變一般包含兩個(gè)部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的坐標(biāo)位置有關(guān)的應(yīng)變，另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的應(yīng)變（即所謂的常應(yīng)變）。為了保證解答的收斂性，位移模式要滿足以下三個(gè)條件，即5.4有限元的收斂準(zhǔn)則⑶位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。當(dāng)選擇多項(xiàng)式來構(gòu)成位移模式時(shí)，單元內(nèi)的連續(xù)性要求總是得到滿足的，單元間的位移協(xié)調(diào)性，就是要求單元之間既不會(huì)出現(xiàn)開裂也不會(huì)出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。通常，當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上節(jié)點(diǎn)的位移時(shí)，就可以保證位移的協(xié)調(diào)性。從物理意義上看，當(dāng)單元尺寸無限縮小時(shí)，每個(gè)單元中的應(yīng)變單元中的常應(yīng)變的。應(yīng)趨于常量。因此，在位移模式中必須包否則就不可能使數(shù)值元的位移模式中，與

2、3、5、6

有關(guān)的線性項(xiàng)就是收斂于正確解。很顯然，在平面三角形含有這些常應(yīng)變，單解提供5.4

有限元的收斂準(zhǔn)則在有限單元法中，把能夠滿足條件1和2的單元，稱為完備單元；滿足條件3的單元，叫做協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元。前面討論過的三角形單元和矩形單元，都屬于完備的協(xié)調(diào)單元。在某些梁、板及殼體分析中，要使單元滿足條件3會(huì)比較困難，實(shí)踐中有時(shí)也出現(xiàn)一些只滿足條件1和2的單元，其收斂性往往也能夠令人滿意。放松條件3的單元，即完備而不協(xié)調(diào)的單元。不協(xié)調(diào)單元的缺點(diǎn)主要是不能事先確定其剛度與真實(shí)剛度之間的大小關(guān)系。但不協(xié)調(diào)單元一般不像協(xié)調(diào)單元那樣剛硬（即比較柔軟），因此有可能會(huì)比協(xié)調(diào)單元收斂得快。5.4有限元的收斂準(zhǔn)則在選擇多項(xiàng)式作為單元的位移模式時(shí)，其階次的確定要考慮解答的收斂性，即單元的完備性和協(xié)調(diào)性要求。實(shí)踐證明，雖然這兩項(xiàng)確實(shí)是所要考慮的重要因素，但并不是唯一的因素。選擇多項(xiàng)式位移模式階次時(shí)，需要考慮的另一個(gè)因素是，所選的模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。對(duì)于線性多項(xiàng)式，各向同性的要求通常就等價(jià)于位移模式必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。對(duì)于高次位移模式，就是不應(yīng)該有一個(gè)偏移的坐標(biāo)方向，也就是位移形式不應(yīng)該隨局部坐標(biāo)的更換而改變。經(jīng)驗(yàn)證明，實(shí)現(xiàn)幾何各向同性的一種有效方法是，可以根據(jù)巴斯卡三角形來選擇二維多項(xiàng)式的各項(xiàng)。在二維多項(xiàng)式中，如果包含有對(duì)稱軸一邊的某一項(xiàng)，就必須同時(shí)包含有另一邊的對(duì)稱項(xiàng)。5.4有限元的收斂準(zhǔn)則選擇多項(xiàng)式位移模式時(shí)，還應(yīng)考慮多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)。通常取項(xiàng)數(shù)與單元的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)相等，取過多的項(xiàng)數(shù)是不恰當(dāng)?shù)摹?.5等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣在結(jié)構(gòu)有限元整體分析時(shí)，結(jié)構(gòu)的載荷列陣R是由結(jié)構(gòu)的全部單元的等效節(jié)點(diǎn)力集合而成，而其中單元的等效節(jié)點(diǎn)力Re

則是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到節(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合成求得。本節(jié)以平面三角形單元為例，討論集中力、表面力和體積力的等效移置方法以及如何形成結(jié)構(gòu)等效載荷列陣，并與靜力等效進(jìn)行了對(duì)比

5.5.1單元載荷的移置根據(jù)虛位移原理，等效節(jié)點(diǎn)力所做的功與作用在單元上的集中力、表面力和體積力在任何虛位移上所做的功相等，由此確定等效節(jié)點(diǎn)力的大小。對(duì)于平面三角形單元，有

(5.51)等號(hào)左邊表示單元的等效節(jié)點(diǎn)力Re所做的虛功；等號(hào)右邊第一項(xiàng)是集中力G所做的虛功，等號(hào)右邊第二項(xiàng)是面力q所做的虛功，積分沿著單元的邊界進(jìn)行；等號(hào)右邊第三項(xiàng)表示體積力p所做的虛功，積分遍及整個(gè)單元；t為單元的厚度，假定為常量。5.5.1單元載荷的移置用形函數(shù)矩陣表示的單元位移模式方程為(5.52)代入式(5.51)，注意到節(jié)點(diǎn)虛位移列陣

*e可以提到積分號(hào)的外面，于是有(5.53)上式右端括號(hào)中的第一項(xiàng)與節(jié)點(diǎn)虛位移相乘等于集中力所虛功，它是單元上的集中力移置到節(jié)點(diǎn)上所得到的等效節(jié)點(diǎn)力做的5.5.1單元載荷的移置它是一個(gè)6×1階的列陣，記為Fe。同理，式(5.53)右端括號(hào)中的第二項(xiàng)是單元上的表面力移置到節(jié)點(diǎn)上所得到的等效節(jié)點(diǎn)力，記為Qe；第三項(xiàng)是單元上的體積力移置到節(jié)點(diǎn)上所得到的等效節(jié)點(diǎn)力，記為Pe。注意到(

*e)

T的任意性，上式化簡為Re=Fe+Qe+Pe

(5.54)

Fe=NTG

其中(5.55)(5.57)(5.56)5.5.2結(jié)構(gòu)整體載荷列陣的形成結(jié)構(gòu)載荷列陣由所有單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣疊加得到。注意到疊加過程中相互聯(lián)接的單元之間存在大小相等方向相反的作用力和反作用力，它們之間相互抵消，因此，結(jié)構(gòu)載荷列陣中只有與外載荷有關(guān)的節(jié)點(diǎn)有值。下面逐項(xiàng)進(jìn)行討論。（1）集中力的等效載荷列陣逐點(diǎn)合成各單元的等效節(jié)點(diǎn)力，并按節(jié)點(diǎn)號(hào)碼的順序進(jìn)行排列，組成結(jié)構(gòu)的集中力等效載荷列陣F，即(5.58)5.5.2結(jié)構(gòu)整體載荷列陣的形成式中(5.60)(Ni)c

、(Nj

)c

、(Nm)c

為形函數(shù)在集中力作用點(diǎn)處的值。（2）表面力的等效載荷列陣Q把作用在單元邊界上的表面力移置到節(jié)點(diǎn)上，得到各單元的表面力的等效節(jié)點(diǎn)力。按照節(jié)點(diǎn)號(hào)碼的順序進(jìn)行排列，逐個(gè)節(jié)點(diǎn)疊加合成后，組成結(jié)構(gòu)表面力的等效載荷列陣Q，即(5.61)上式中，單元e的集中力的等效節(jié)點(diǎn)力為(記單元節(jié)點(diǎn)局部編號(hào)為i,j,m)(5.59)5.5.2

結(jié)構(gòu)整體載荷列陣的形成式中，(5.62)由于作用在單元邊界上的內(nèi)力在合成過程中已相互抵消，上式中的節(jié)點(diǎn)力只由作用在結(jié)構(gòu)邊界上的表面力所引起。（3）體積力的等效載荷列陣P與表面力類似，體積力的等效載荷列陣也是由單元體積力的5.5.2

結(jié)構(gòu)整體載荷列陣的形成等效節(jié)點(diǎn)力按節(jié)點(diǎn)號(hào)碼順序排列，在各節(jié)點(diǎn)處合成得到(5.63)式中，單元e的體積力的等效節(jié)點(diǎn)力為(5.64)（4）結(jié)構(gòu)整體載荷列陣R根據(jù)式（5.58）（5.61）（5.63）求和得到R=F+Q+P(5.65)5.5.3

載荷移置與靜力等效關(guān)系上述基于形函數(shù)的載荷等效所得到的結(jié)果與按照靜力學(xué)的平行力分解原理得到的結(jié)果完全一致。

例如，如圖5-14所示的單元e，在ij邊上作用有表面力。假設(shè)ij邊的長度為l，其上任一點(diǎn)P距節(jié)點(diǎn)i的距離為s。根據(jù)面積坐標(biāo)的概念，有(5.66)代入式(5.57)，求得單元表面力的等效節(jié)點(diǎn)力5.5.3載荷移置與靜力等效關(guān)系可見，求得的結(jié)果與按照靜力等效原理將表面力q向節(jié)點(diǎn)i及j分解所得到的分力完全相同。圖5-14表面力等效示意圖再如，從圖5-15所示的單元e的A點(diǎn)處取體積微元tdxdy，作用在其上的體積力為ptdxdy，為便于分析，認(rèn)為力的作用方向與單元平面垂直。根據(jù)平行力分解原理，對(duì)jm邊取力矩，求得節(jié)點(diǎn)i處的分力為5.5.3載荷移置與靜力等效關(guān)系(5.67)整個(gè)單元e的體積力在節(jié)點(diǎn)i處的分力為

(5.68)類似地，分別對(duì)im及ij邊取力矩，可得到節(jié)點(diǎn)j和節(jié)點(diǎn)m處的分力(5.69)(5.70)圖5-15

體積力等效示意圖5.5.3載荷移置與靜力等效關(guān)系因此，對(duì)于平面三角形單元，按照靜力學(xué)中平行力的分解原理所得到的節(jié)點(diǎn)力與按照虛功原理求得的節(jié)點(diǎn)力完全一致，在實(shí)際計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力時(shí)，可以直接應(yīng)用靜力學(xué)中有關(guān)平行力分解的結(jié)果。例如，對(duì)均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，只要把1/3的重量直接加到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，對(duì)于作用在長度為l的ij邊上強(qiáng)度為q的均布表面力，可以直接把(qtl)/2移置到節(jié)點(diǎn)i和j上。5.6根據(jù)形函數(shù)基本原理進(jìn)行三維實(shí)體分析如圖5-16所示的一個(gè)長方體，長寬高分別為40cm，10cm，30cm，分成3個(gè)單元，每個(gè)單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn)且?guī)缀纬叽缦嗤?/p>

都為。長方體頂部及底部為固定約束，在節(jié)點(diǎn)。試對(duì)該6處沿z方向作用F=1000N的力

結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析。

圖5-16三維實(shí)體5.6根據(jù)形函數(shù)基本原理進(jìn)行三維實(shí)體分析（1）劃分單元，輸入坐標(biāo)值選擇3維一次8節(jié)點(diǎn)單元，將結(jié)構(gòu)分為3個(gè)單元。

（2）求單元的形函數(shù)該單元的位移模式為參照5.1.1節(jié)求形函數(shù)的方法，通過編制matlab程序，求得本實(shí)例的形函數(shù)，以單元1為例，形函數(shù)為5.6根據(jù)形函數(shù)基本原理進(jìn)行三維實(shí)體