第二章微分方程模型

第二章微分方程模型利用微分方程解決的問題通常可以分為兩類：（1）要求把未知變量直接表示為已知量的函數(shù)（2）只要求知道未知函數(shù)的某些性質(zhì)，或它的變化趨勢

在實(shí)際問題中，體現(xiàn)為“增長”、“衰變”、“邊際”等問題?！?-1微分方程的定解§2-2微分方程的建模步驟

§2-3微分方程建模實(shí)例第二章微分方程模型§2-1微分方程的定解問題

一、基本概念二、微分方程的定解問題三、微分方程的平衡解與穩(wěn)定性一般地，n階微分方程的形式是或若在區(qū)間I上存在具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足

則稱為微分方程的解。一、基本概念1、微分方程的解微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解就稱為微分方程的通解。

獨(dú)立任意常數(shù)：指不能合并而使任意常數(shù)的個數(shù)減少。微分方程的定解確定微分方程的通解中任意常數(shù)后的微分方程的解。一、基本概念2、微分方程的通解與定解1、一階微分方程的定解問題

求微分方程滿足初始條件的定解，稱為一階微分方程的定解問題。

記作3、n階微分方程的定解問題2、二階微分方程的定解問題

記作二、微分方程的定解問題

1、平衡解即微分方程不變化的解，也就是常數(shù)解。一般地，一階微分方程（2－1－1）

右端不顯含自變量t，代數(shù)方程的實(shí)根稱為微分方程的平衡解。例：的解y=a，y=b都是該方程的平衡解2、平衡解的穩(wěn)定性如果從任意可能的初始條件出發(fā)，微分方程（2-1-1）的解x（t）都滿足

則稱平衡解x=x0是穩(wěn)定的；否則稱x=x0是不穩(wěn)定的。三、微分方程的平衡解與穩(wěn)定性1、平衡解含義2、平衡解的穩(wěn)定性定義

（1）求（2-1-1）的解，利用定義判斷（2）不求（2-1-1）的解，利用f（x）在x=x0處的展式

通解為①當(dāng)時，，平衡解x=x0穩(wěn)定②當(dāng)時，，平衡解x=x0不穩(wěn)定例：捕魚問題、湖水污染問題等

三、微分方程的平衡解與穩(wěn)定性3、判斷方法

第二章微分方程模型§2-1微分方程的定解§2-2微分方程的建模步驟

§2-3微分方程建模實(shí)例

§2-2微分方程的建模步驟

一、引例二、微分方程的建模步驟

一、引例—人的體重變化問題1、提出問題2、分析問題1、提出問題（1）某人的攝入熱量是2500Ca/天，其中1200Ca用于基本的新陳代謝（2）健身訓(xùn)練中消耗是16Ca/天·kg

（3）以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效（4）1kg脂肪含熱量10000Ca

求此人的體重隨時間變化的規(guī)律2、分析問題（1）將體重看成時間的連續(xù)函數(shù)（2）體重的變化=輸入-輸出=扣除基本新陳代謝之外的凈吸收量-進(jìn)行健身訓(xùn)練時的消耗一、引例—人的體重變化問題

3、建模

4、求解3、建模設(shè)人的體重為W（kg）每天凈吸收量=2500-1200=1300（Ca）每天凈輸出=16W（Ca）每天體重變化4、求解設(shè)一天開始時的體重為W（0）=W0，解得人的體重隨時間變化規(guī)律為：二、微分方程的建模步驟1、翻譯或轉(zhuǎn)化根據(jù)實(shí)際問題給出的信息轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題。（1）速率、增長、衰變、邊際、改變、變化等都可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題（2）很多問題遵循模式“凈變化率=輸入率-輸出率”2、單位同一

微分方程模型中每一項都應(yīng)該有相同的物理單位。

3、給定條件

關(guān)于所研究問題在某一特定時刻的信息，利用其確定微分方程解中的有關(guān)常數(shù)。

4、建立模型尋找之間的關(guān)系，建立微分方程模型。第二章微分方程模型

§2-1微分方程的定解§2-2微分方程的建模步驟§2-3微分方程建模實(shí)例§2-3微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題三、捕魚問題四、飛機(jī)的降落曲線問題微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題

1、提出問題2、分析問題

1、提出問題

設(shè)一只惡狼與一只兔子相遇,兔子位于惡狼正西100m處。再假設(shè)它們同時互相發(fā)現(xiàn)了對方并同時起跑,兔子往正北方向60m處的巢穴逃竄,惡狼追捕兔子。如果兔子和惡狼都作勻速跑動,且狼的速度是兔子速度的2倍,那么問兔子能否逃脫惡狼的追捕?2、分析問題

建立坐標(biāo)系，如圖所示。

設(shè)兔子的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)0,狼在x軸上點(diǎn)

A處,兔子的巢穴在y軸上點(diǎn)B，則有（1）|OA|=100,|OB|=60（2）兔子的運(yùn)動軌跡為沿y軸做勻速直線運(yùn)動（3）狼的運(yùn)動軌跡則是一條連續(xù)曲線（4）在任意一個相同的時刻,曲線上狼的位置與y軸上兔子的位置的連線恰好是曲線上該點(diǎn)處的切線

設(shè)狼的運(yùn)動軌跡方程為y=f(x),則當(dāng)兔子跑到點(diǎn)N(0,h)時,狼在點(diǎn)M(x,y)處,由于狼的速度是兔子速度的2倍,所以在相同的時間內(nèi),狼跑的總路程也是兔子跑的總路程的2倍。因而有初始條件

（2－3－1）

（2－3－2）由直線的兩點(diǎn)式方程以及弧長公式可得

（2－3－3）（2－3－4）由式（2－3－3）得，代入到式（2－3－4）中,得微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題

3、建立模型

兩邊對x

求導(dǎo),并運(yùn)用公式得到惡狼捕食兔子的數(shù)學(xué)模型

（2－3－5）微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題

3、建立模型

（1）令

，則式（2－3－5）可以轉(zhuǎn)化為（2）運(yùn)用分離變量法求解得其中，

為常數(shù)。微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題

4、求解模型

（3）又由得4.求解模型（4）利用初始條件

得

（5）模型的解,即狼的運(yùn)動軌跡方程為5、解的討論

由于

,所以狼沒有追上兔子,或者說兔子能夠安全地逃進(jìn)它的巢穴中。

此模型還可以用來做描述導(dǎo)彈在追擊某個做直線運(yùn)動目標(biāo)時的數(shù)學(xué)模型。微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題

4、求解模型5、解的討論

§2-3微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題三、捕魚問題四、飛機(jī)的降落曲線問題在現(xiàn)代城市自動化交通管理中，各交通路口都施行信號燈光管制。具體方法是在交通路口處設(shè)置了紅、黃、綠燈，而在綠燈滅到紅燈亮的過渡階段，就要用黃燈來控制。黃燈點(diǎn)亮的時間少，會造成有些車輛因來不及停車而越過十字路口的停車線，但又由于紅燈亮了而過不了十字路口，勢必造成交通混亂；黃燈時間過長又會浪費(fèi)時間，從而降低道路利用率，甚至造成交通堵塞。

這就需要建立一個黃燈點(diǎn)亮最佳時間的數(shù)學(xué)模型。微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

1、問題的提出

正常行駛的車輛在十字路口附近突然看到前面黃燈亮了時，駕駛員首先要做出決定：是停車還是繼續(xù)行駛通過十字路口。1、當(dāng)決定停車時，必須有一定的剎車距離，以確保能使車輛來得及停在停車線以外。2、當(dāng)決定通過十字路口時，必須有足夠的時間使他能夠在紅燈亮之前完全通過十字路口。（1）駕駛員做出決定的時間(反應(yīng)時間)（2）車輛由剎車開始到停住車的時間（3）車輛以法定最快的速度通過一個典型車身和路口寬度(即十字路口處同一條路上兩條停車線之間的距離)所需的時間。微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

2、分析問題

3、量的分析車輛行駛的時間t、速度v、行駛距離x十字路口處同一條路上兩條停車線間距離I典型車輛車身長L、車輛全部重量(包括車身和載重)為W剎車時車輛與地面的摩擦系數(shù)μ每次黃燈亮的時間T4、模型假設(shè)在公路上車輛都能正常行駛且遵守交通規(guī)則在所考慮的街道上，車輛的法定最高行駛速度為v0車輛在十字路口附近行駛速度均為法定最高速度黃燈亮?xí)r車輛通過十字路口的速度保持為v0反應(yīng)時間均為t0，車輛以速度v0行駛距離I+L所需時間為t2車輛按速度v0行駛時，開始剎車到車輛停止行進(jìn)的時間為t1，同時所經(jīng)過的路程為x0微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

3、量的分析

4、模型假設(shè)微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

5、符號意義說明T——黃燈應(yīng)亮?xí)r間T1——駕駛員反應(yīng)時間T2——汽車通過十字路口時間T3——勻速駛過剎車距離的駕駛時間v0——法定行駛速度I——十字路口長度L——典型車身長度m——汽車質(zhì)量f——剎車摩擦系數(shù)x（t）——汽車行駛距離t1——剎車時間T＝T1+T2+T3（1）T1的計算可以根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)得到，一般可以取為1秒。（2）T2的計算注：汽車尾部必須通過路口微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

6、建模與求解求T1、T2由牛頓第二定律，車輛在剎車過程中滿足微分方程：（1）一次積分

(2-3-6)

（2）x=0條件下，再積分一次

(2-3-7)微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

6、建模與求解求T3

（3）在剎車的最后v=0，所經(jīng)過的時間t1由（2－3－6）得

(2-3-8)（4）x（t1）(2-3-8)代入(2-3-7)得（5）求T36、建模求解黃燈亮的最佳時間7、模型分析T關(guān)于v0的曲線圖如圖T*的求解：利用初等數(shù)學(xué)的公式，對于任意非負(fù)實(shí)數(shù)α和b，均有可求得T的極值T*為微分方程建模實(shí)例

二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題

6、建模與求解求T

7、模型分析

§2-3微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題三、捕魚問題

四、飛機(jī)的降落曲線問題（一）、提出問題

考察一個漁場：（1）魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長（2）捕魚越多，所獲得的經(jīng)濟(jì)效益越大（3）但捕撈的魚過多，會造成魚量的急劇下降而影響以后的捕魚數(shù)量。目標(biāo)：在魚的總量保持穩(wěn)定的條件下，控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益

最大。（二）、分析問題（1）存在阻滯增長（2）魚的總量保持穩(wěn)定，暗示著會用到平衡解穩(wěn)定性的討論。微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（一）、提出問題（二）、分析問題（1）量的分析x(t)——時刻t漁場中魚量x0——平衡解r

——魚量的自然增長率K——捕撈率xm——漁場資源條件所限制的

魚量最大值ym——最大捕撈量（2）無捕撈情況x(t)服從阻滯增長模型,則有微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（三）、建模與求解

1、目標(biāo)為魚量穩(wěn)定條件下捕撈量最大（3）有捕撈情況假設(shè)條件：單位時間捕魚量與漁場魚量成正比

（2－3－9）

（4）平衡解討論令得平衡解（2-3-10）對（2－3－9），令得

（4）平衡解討論①當(dāng)K<r時，x0是穩(wěn)定的平衡解,即K<r是漁業(yè)生產(chǎn)必須遵守的條件②當(dāng)K>r時，x0是不穩(wěn)定的平衡解，需要改變捕撈方法以保證魚量穩(wěn)定（5）捕撈系數(shù)K的選取圖解法討論在保持魚量穩(wěn)定的條件下，如何選取捕撈系數(shù)K使捕撈量最大。微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（三）、建模與求解

1、目標(biāo)為魚量穩(wěn)定條件下捕撈量最大（5）捕撈系數(shù)K的選取令①由于f1（x）在原點(diǎn)的切線為y=rx，從而當(dāng)K<r時，f1（x）與f2（x）必相交，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為x0，也就是當(dāng)漁場內(nèi)魚量保持穩(wěn)定時，曲線f1（x）與f2（x）必相交。②所有與拋物線f1（x）相交的直線中，過拋物線頂點(diǎn)的直線將得到最大捕撈量ym，此時穩(wěn)定的平衡解為代入

得微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（三）、建模與求解

1、目標(biāo)為魚量穩(wěn)定條件下捕撈量最大結(jié)論

控制捕撈率

,即控制捕撈率使?jié)O場內(nèi)的魚量保持在最大魚量的一半時，就可在保持魚量穩(wěn)定的條件下使捕撈量最大。

最大捕撈量為（1）量的分析P——魚的單價

L——捕撈利潤（2）假設(shè)條件捕撈成本與捕撈率成正比，比例系數(shù)為c封閉式捕撈，即只有一個壟斷者進(jìn)行捕撈（3）建模求解①在保持漁場魚量穩(wěn)定的條件下，單位時間捕撈利潤為

（2-3-11）

②由（2-3-10）表示k<r條件下漁場的穩(wěn)定魚量，解得微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（三）、建模與求解

2、目標(biāo)為魚量穩(wěn)定條件下利潤最大代入（2-3-11）

得令則使L（x0）最大的點(diǎn)：③捕撈量捕撈率為使經(jīng)濟(jì)利潤最大，最優(yōu)捕魚量比最大捕撈量

少捕的魚量

與成本的平方成正比，與魚價的平方成反比。微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（三）、建模與求解

2、目標(biāo)為魚量穩(wěn)定條件下利潤最大（1）假設(shè)條件開放性捕撈，即有眾多的經(jīng)營者，每個經(jīng)營者既不能控制價格，也不能控制捕魚總量，只要有微小的利潤，經(jīng)營者就會去捕撈。（2）建模求解將平衡解代入單位時間捕撈利潤（2-3-11）得

微分方程建模實(shí)例

三、捕魚問題

（三）、建模與求解

3、捕撈過度條件下的利潤分析令L（K）=0，解得①當(dāng)K<kα

時，利潤L（K）>0,經(jīng)營者會增加捕撈強(qiáng)度。

②若K>kα,L（K）<0,這時必定有經(jīng)營者退出經(jīng)營。③kα是盲目捕撈下的臨界強(qiáng)度，等于最大效益下捕撈率的兩倍。④盲目捕撈下,漁場穩(wěn)定魚量

完全由成本一價格比決定，所以當(dāng)捕撈成本下降或魚的價格上升時，魚量迅速減少，出現(xiàn)捕撈過度。

§2-3微分方程建模實(shí)例

一、惡狼捕食兔子問題二、自動化交通管理中黃燈運(yùn)行狀態(tài)問題