2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專家點(diǎn)撥-開放探究型問題

2。就隼九隼氨數(shù)學(xué)

狀元必讀專家點(diǎn)撥

狀元必讀［明確考Q/注重難點(diǎn)］

一、考點(diǎn)突破

開放探究型問題就開放而言有：條件開放、結(jié)論開放與過程開放：就探究而言，可以歸

納為條件探究、結(jié)論存在與否探究，這些問題的解決，需要經(jīng)過探索確定結(jié)論或者補(bǔ)全條件,

將開放型問題轉(zhuǎn)化為封閉型問題，再選擇合適的解題途徑完成最后的解答。近幾年還出現(xiàn)了

一些其他形式的開放題，如綜合型開放題，主要特征是條件和結(jié)論都不確定，需要考生認(rèn)定

條件和結(jié)論，然后組成一個(gè)新命題，并加以證明，這種新穎的綜合型開放題，將成為中考的

又一亮點(diǎn)。

二、重難點(diǎn)提示

重點(diǎn)：條件、結(jié)論、過程開放型試題和條件、結(jié)論探究型問題的解決。

難點(diǎn)：通過觀察、分析、比較、概括等探索活動(dòng)確定所需要的條件，所得到的結(jié)論。

9伏元娛1丸1【限型例題剖析激:舌解題思維】

能力提升類

例1如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加7個(gè)條件：,可使它成為

矩形。

AD

o

BC

一點(diǎn)通：根據(jù)矩形的判定定理：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，②有一個(gè)角是直角

的平行四邊形是矩形，直接添加條件即可。

解：根據(jù)矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，

故添加條件：90。(或AC=BO等)

評(píng)析：此題主要考查了矩形的判定定理，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵。

例2有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，三位同學(xué)分別說出了它的一些特征：

甲：對(duì)稱軸是x=4；

乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；

丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為3。

請(qǐng)寫出滿足上述全部特征的一個(gè)二次函數(shù)的解析式。

一點(diǎn)通：根據(jù)題意畫出草圖，直接寫出圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)以這三個(gè)點(diǎn)為頂

點(diǎn)的三角形的面積為3,求出與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)其值為正數(shù)時(shí)即可。

解：如圖所示：令A(yù)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

?對(duì)稱軸是x=4,

AB點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)o

又..?△ABC的面積為3,

一xABxOC—3,

2

即」(5-3)OC=3,

2

故OC=3,

??.C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,是整數(shù)，符合題意。

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-3)(x-5),

把C(0,3)代入解析式得，3=a(0—3)(0—5),

解得a=1，

5

故函數(shù)解析式為y=g(x—3)(x—5),

化為一般式為y=1%+3。

故答案為：y=-x2x+y=--x2+—y=—x2-—x+1^4

555577

18,

y=——x2+—x-1o

77

評(píng)析：此題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。由于此題有一定的開放性，可根據(jù)面

積求出不同的與x軸、y軸相交的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到不同的解析式，故答案不唯一。

綜合運(yùn)用類

k

例3如圖，一次函數(shù)丫=2*+1)的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于M、N兩點(diǎn)。

V

(1)利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△MOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐

標(biāo)都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由。

一點(diǎn)通：(1)將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可求出k的值，將M和N的坐標(biāo)

代入一次函數(shù)解析式，聯(lián)立求解可得出一次函數(shù)的解析式。

(2)分兩種情況進(jìn)行尋找，①當(dāng)OM為腰時(shí)，②當(dāng)OM為底時(shí)，這樣即可尋找出符合條

件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：(1)?.,反比例函數(shù)y=七的圖象過點(diǎn)N(-1,-4),M(2,m),

x

k4

.,.k=(―1)x(-4)=4,m=—=—=2,

22

將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax+b中，

可得《[2a+b^2，

-a+b=-4

解得《a=2，

h=-2

4

???一次函數(shù)的解析式為y=2x—2,反比例函數(shù)的解析式為y=-

x

(2)0M=,22+2?=2&,0M與x軸的夾角為45。，

①當(dāng)0M為腰時(shí)，由OM=OP得P(2V2,0),P2(-2V2,0)；由OM=MP得P3(4,

0）；

②當(dāng)OM為底時(shí)，得P4(2,0)；

,符合條件的P點(diǎn)有4個(gè)，分別為：Pi(2V2,0),P2(-2V2,0),P3(4,0),P4

(2,0)。

評(píng)析：此題是考查反比例函數(shù)的綜合題，涉及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及等腰三角形

的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是正確確定兩函數(shù)的解析式，要求我們能根據(jù)函數(shù)圖

象判斷該函數(shù)值的大小。

例4矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,0)、

3

C(0,3),直線y尤與BC邊相交于點(diǎn)D。

(1)若拋物線y=o?+嬴(。工0)經(jīng)過D、A兩點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；

(2)若以點(diǎn)A為圓心的。A與直線OD相切，試求。A的半徑；

(3)設(shè)(1)中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M,在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,以Q、

0、M為頂點(diǎn)的三角形與40CD相似？若存在，試求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，

試說明理由。

一點(diǎn)通：(1)先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=辦2+法聯(lián)立求解即

可；

(2)過A作AHLOD于H,求出AH的長(zhǎng)即是。A的半徑；

(3)假設(shè)存在，當(dāng)OQ_LQM時(shí)存在Qi，當(dāng)OQLOM時(shí)存在Q2,通過計(jì)算驗(yàn)證判斷是否

存在。

y=3

解：(1)由《3得D點(diǎn)的坐標(biāo)為D(4,3)

9

3+X

拋物線y=aY+加:經(jīng)過D(4,3)、A(6,0),可得y=--X24-

(2)VCD=4,OC=3,OD=742+32=5,sinZCDO=j,過A作AH_LOD于H,

318

則AH=OAsinNDOA=6x—=—=3.6

55

當(dāng)直線OD與。A相切時(shí)，r=3.6

(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Qi，則點(diǎn)QI符合條件，

VCB//OA,

，ZQiOM=ZODC,

RtAQiOM^RtACDO,

對(duì)稱軸x—........=31

2a

；.Qi點(diǎn)的坐標(biāo)為Qi(3,0)o

又過O作OD的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q2,則點(diǎn)Q2也符合條件，

?.?對(duì)稱軸平行于y軸，

NQ2Mo=/DOC,

ARtAQ2MosRsDOC

在RSQ2Q1O和RSDCO中，QQ=CO=3,

ZQ2=ZODC,

ARtAQ2QiO^RtADCO,

，CD=QIQ2=4,

?.02位于第四象限，...Q2(3,-4)o

因此，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是Qi(3,0),Q2(3,-4)。

評(píng)析：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，綜合

性強(qiáng)，能力要求高。

思維拓展類

例5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)尸是x軸上一點(diǎn)，以線段AP

為一邊，在其一側(cè)作等邊三角形APQ。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)0處時(shí)，記Q的位置為瓦

(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與0重合)時(shí)，/A8Q為定值；

(3)是否存在點(diǎn)P,使得以A、0、8為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出P

點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

一點(diǎn)通：?jiǎn)栴}(1)利用等邊三角形的性質(zhì)求解。問題(2)在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持^PAO

絲△ABQ,利用SAS可以說明。問題（3）分情況討論。

解：（1）過點(diǎn)8作8C_Ly軸，垂足為點(diǎn)C。

「△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0,2）,

：.AB=BO=OA=2.在心△ABC中，AC=-OA=l,BC=6。

2

...點(diǎn)8的坐標(biāo)為（代,

（2）,:XAPQ、AAOB是等邊三角形，

：.AP=AQ,AO=AB,ZPAQ=ZBAO=60°,

：.ZPAO=ZBAQ.

.?.△以。絲△AB。。

，NA8Q=NAOP=90°

故當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上運(yùn)動(dòng)（尸不與。重合）時(shí).，N48。為定值。

（3）存在點(diǎn)P,使得以A、。、Q、8為頂點(diǎn)的四邊形是梯形。

?.2408=60。，ZOBQ=ZABQ-ZABO=30°,

.'.AO與BQ不可能平行。

①如果A8〃0Q,如圖所示，

則NBOQ=/A8O=60°,/0。8=90°,Z060=30°

VOB=O\=2,：.OQ=\,BQ=6

由^PAO^/XABQ可得OP=BQ=6

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(―6，0)

②如果AQ//OB,如圖所示,此時(shí)點(diǎn)A,B,P在同一條直線上,且NAPO=30。在RtAAOP

中，OA=2；.OP=2g,.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(2A/3,0)

因此，存在點(diǎn)P,使得以A、0、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一6,

0)或(273,0)

評(píng)析：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)。

例6已知拋物線曠=。爐+8%+3(。70)經(jīng)過A(3,0),B(4,1)兩點(diǎn)，且與y

軸交于點(diǎn)Co

(1)求拋物線y=a/+/?x+3(aN0)的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖①，連接A8,在題(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△以8是以AB為直

角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖②，連接AC,E為線段AC上任意一點(diǎn)(不與A、C重合)，經(jīng)過A、E、O

三點(diǎn)的圓交直線A3于點(diǎn)F,當(dāng)AO"的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

一點(diǎn)通：(1)直接用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；(2)很顯然存在點(diǎn)P,只要直接過點(diǎn)A

或點(diǎn)8作AB的垂線與拋物線相交，即為尸點(diǎn)，關(guān)鍵是如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)，考慮到A、B兩

點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，與x軸的夾角為45°,可通過構(gòu)造相似三角形先確定P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐

標(biāo)間的關(guān)系，再由點(diǎn)尸在拋物線上，從而求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：(3)利用前面的結(jié)論，能判斷

出AEOF的形狀，即可解決問題。

解：(1)將A(3,0),B(4,1)兩點(diǎn)代入卜=以2+反+3

后]0=9a+3b+3

]1=16〃+4Z?+3

1

a~-

解得2

b=——

2

?，.解析式為y=一《1x+3

令x=0,y—3,；.C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）

（2）若/以8=90。，分別過P、B作x軸的垂線，垂足分別為E、F（如下圖）。

易得△APES/\BAF,且△BAF為等腰直角三角形，

/.△APE為等腰直角三角形。

設(shè)PE=a,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,3—a）,代入解析式3—a='片+3,解得〃=0

22

或a=3（與A重合，舍去）

：.P（0,3）

若/PBA=90。，如圖，直線與x軸交于點(diǎn)。，分別過P、B作x軸的垂線，垂足分別為

E、F。

由圖可得△PE。、△為等腰直角三角形，設(shè)PE=a,BODE=a,AB=母,所以

AD=2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為（5—a,a）,代入解析式

11,5

a=-（5—a）?—二（5—a）+3

22

解得a=6,或a=l（與B重合，舍去）

所以P點(diǎn)坐標(biāo)（一1,6）

綜上所述P（0,3）或P（-1,6）

（3）由題意得，/C4O=/OAF=45°

利用同弧所對(duì)的圓周角相等，ZOEF=ZOAF=45°,ZEFO=ZEAO=45°

.?.△EOF為等腰直角三角形，S^EOF=-OE2.

2

...當(dāng)OE最小時(shí)，面積最小。即E為AC中點(diǎn)（』,2）。

22

評(píng)析：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的

綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型。數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)及難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握。

該題在求解時(shí)容易找到切入點(diǎn)，要求能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，注意思想方法的運(yùn)用。

狀元名i己【萬達(dá)妙招及叼總結(jié)】

1.開放探究型問題的內(nèi)容具有新穎性，條件復(fù)雜、結(jié)論不定、解法靈活、無現(xiàn)成模式可

套用?題材廣泛，貼近學(xué)生實(shí)際生活，不像封閉性題型那樣簡(jiǎn)單，靠記憶、套模式來解題。

2.開放探究型問題的形式具有多樣性、生動(dòng)性，有的追溯多種條件，有的探求多種結(jié)論,

有的尋找多種解法，有的由變求變，體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的氣息，不像封閉性題型般僅形式單一

的呈現(xiàn)和呆板的敘述。

3.開放探究型問題的解法具有發(fā)散性，由于答案不唯一，解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法,

通過多角度的觀察、想像、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法，同時(shí)探求多個(gè)解決

方案。

'學(xué)，高頻凝點(diǎn)［網(wǎng)員用Q問題透視］

Ix~—4X+4

問題：先化簡(jiǎn)(1--、)+；，然后從一2W爛2的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)

x—1x~—1

作為X的值代入求值。

一點(diǎn)通：首先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)(把除法轉(zhuǎn)化為乘法)，再進(jìn)行混合運(yùn)算(把分式轉(zhuǎn)化為

最簡(jiǎn)分式)，然后確定X的整數(shù)值，把合適的值代入求值，X的值不可使分式的分母為零。

解：原式=2二(x+l)(x-l)_X+1

X—1(x-2)2x-2

x滿足一2-2且為整數(shù)，若要使分式有意義，x只能取0,一2。

當(dāng)x=0時(shí)，原式=一工(或：當(dāng)x=-2時(shí)，原式=1)。

24

評(píng)析：熟練掌握分式運(yùn)算的法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵，并且要注意字母的取值要使

原分式有意義。

狀元試題【其族演練，可擊1大元】

(答題時(shí)間：60分鐘)

i.先化簡(jiǎn)-——,再任選一個(gè)適當(dāng)?shù)臒o值代入求值。

X22-1X-1

2.如圖1,拋物線、=祇2+法+3經(jīng)過A(-3,0),B(-1,0)兩點(diǎn)。

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為直線y=-2%+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)。。

現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線0。上。若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一

個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；

(3)如圖2,將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過Q(0,3)作不平行于x軸的直線

交拋物線于E,尸兩點(diǎn)。問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P,使△PEF的內(nèi)心在y軸上。若

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

3.已知直線y=gx+46與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，ZABC=60°,8c與x軸交

于點(diǎn)Co

（1）試確定直線BC的解析式。

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)

出發(fā)沿C8A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（不與C、A重合），動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)

Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度。設(shè)AAPQ的面積為S,P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，求S與

/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。

（3）在（2）的條件下，當(dāng)AAP。的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)平面內(nèi)是否存在

一點(diǎn)N,使以4、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由。

Q

4.平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。（其頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,

RSABC的直角邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,且8c=5,AC=3（如圖

2

1）

（1）求出該拋物線的解析式；

（2）將RSABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)A落在（1）中所求拋物線上時(shí)，RtAABC停

止移動(dòng)。D（0,4）為y軸上的一點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為m,△。48的面積為5。

①分別求出點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)、右側(cè)（含原點(diǎn)。）時(shí)，S與相之間的函數(shù)關(guān)系式，并

寫出相應(yīng)自變量機(jī)的取值范圍（可在圖1、圖2中畫圖探求）；

②當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)處使得△DAB為直角三角形？若存在，直

接寫出〃?的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

i3

5.如圖，拋物線y=］》2+x—與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P。

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)E,使△ABP的面積等于△ABE的面積，若存在，求出符

合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)。

/\I］(/BX

X.?Y

b

6.如圖，矩形OABC中，點(diǎn)0為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0),

拋物線y=-［犬+fcc+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)。。

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(2)點(diǎn)尸為線段8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A。=

CP,連接PQ,設(shè)CP=m,ACPQ的面積為S。

①求S關(guān)于機(jī)的函數(shù)表達(dá)式，并求出機(jī)為何值時(shí)，S取得最大值；

4

②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y=-一/+法+c的對(duì)稱軸/上若存在點(diǎn)凡使△FDQ為直

角三角形，請(qǐng)直換寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

美好的結(jié)局往往來自于艱難的過程.

雪試題答案

1.解：原式=/S1)，「上=四_上=」~，

(x+l)(x-l)x-1x-1x-1x-1

當(dāng)x=0時(shí)，原式=—1

2.解：(1)拋物線丫=加+云+3經(jīng)過A(-3,0),B(-1,0)兩點(diǎn)

9。一3。+3=0i,a=1

解得,

a—/7+3-0b=4

二拋物線的解析式為y=/+4x+3

(2)由(1)配方得y=(x+2)2-1

拋物線的頂點(diǎn)M(—2,-1)

直線。。的解析式為

于是設(shè)平移的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,-h),

2

???平移的拋物線的解析式為y=(x—h)2+g/z。

.-1±V145

①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，(0,9),：.h2+-h=9,解得h=-----------

24

...當(dāng)土叵當(dāng)V上叵!時(shí)，平移的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)。

44

②當(dāng)拋物線與直線8只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),

,.,,y=(x-lz)2+—h

由方an程組)2

y=—lx+9

得*2+(—2/?+2)x+h2+-h~9=0,

2

；.△=(-2/?+2)2-4(/I2+-5-/I-9)=0,解得％=4。

2

此時(shí)拋物線y=(x-4)2+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為(3,3),符合題意。

綜上：平移的拋物線與射線CQ只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或土叵當(dāng)＜T+屈o

44

(3)方法1：

將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為了=/，

設(shè)E尸的解析式為y=fcc+3(原0)。

假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P(0,t),

如圖，過P作G//〃x軸，分別過E,F作G”的垂線，垂足為G,Ho

,.?△尸￡尸的內(nèi)心在〉軸上，

NGEP=/EPQ=NQPF=NHFP,：.△GEPsTFP,

.GPGE

??-----=-----f

PHHF

,—xcyp—tkxp+3—t/—、/?、

??------=---------=---------------,??2fcrE*XF=(t-3)(XE+XF)

xFyF-tkxF+3-1

y=x2

由《得爐一旅一3=0。

y=kx+3

，尤E+XF=%，XE-XF=-3

：.2k(-3)=(r-3)k

?上0,：.t=-3

???y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P(0,-3),使的內(nèi)心在)，軸上。

方法2：設(shè)E尸的解析式為了=履+3(以0),

點(diǎn)、E,尸的坐標(biāo)分別為("?，m2)(小?2)

由方法1知：加〃=—3。

如圖，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)R(~m,m2)

作直線FR交），軸于點(diǎn)尸，由對(duì)稱性知NEPQ=NFPQ,

二點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。

由RR的坐標(biāo)，可得直線尸R的解析式為y=（〃一加）工+小小

當(dāng)x=0時(shí)，y=mn=—3f

：.P（0,一3）。

軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)尸（0,-3）,使APM的內(nèi)心在y軸上。

3.解：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)（一4,0）,8點(diǎn)坐標(biāo)（0,473）,得。4=4,03=443

：.N3Ao=60。

NABC=60。，:.△48C是等邊三角形

VOC=OA=4,???。點(diǎn)坐標(biāo)（4,0）

設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)=kx+b,

'b=46.k=

可得《

4k+b=Q[b=4j3

，直線BC解析式為y=-限+46o

(2)當(dāng)P點(diǎn)在線段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。在BC邊上，作軸。

..QHCQ.QH_2t

?----------，??----~=-....，QH=y/3t

OBCB4x/38

???%,2=，尸3=5?4=等(0<￡<4)

同理，當(dāng)點(diǎn)尸在線段0C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。在AB邊上運(yùn)動(dòng),

(3)存在，Ni(4,0),N(-4,8),M(—4,一8),M(—4,—)

23

4.解：(1)由題意設(shè)所求拋物線為(x-3)2-1(*)

將點(diǎn)(0,0)代入(*)得.*.y=-x2—3%

22

(2)①當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖a,

S—SM)BD+S梯形OCAD-SMBC

=--4-(—TH)+—(4+3)(5+m)—,—

222

3

=—m+10

2

3

???S=二機(jī)+10(-4.5</H<0)

2

當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)(含原點(diǎn)。)時(shí)，，如圖b

=—(4+3)(5+機(jī))——-4-m——=—m+10

2222

/.5=-w+10(0<w<715-2)

2

②當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖a,可以知道：

BD2=OB2+OD2=1^+16

A￡>2=OC2+(O￡>-AC)2=(5+/?j)2+l=m2+10m+26,

AB2=BC2+AC2=34；

222

i.當(dāng)NBDA=90。時(shí)，AB^BD+AD,此時(shí)解得q=-l,w2=-4；

ii.當(dāng)NBAD=90。時(shí)，BD2=AB2+AD2,此時(shí)解得加=T.4；

iu,當(dāng)/ABD=90。時(shí)，AD1AB2+BD1,此時(shí)解得加=2.4(不合題意，舍去)

綜上所述，當(dāng)〃?i=—1,加2=—4,，〃3=—4.4時(shí)，ZiDAB為直角三角形。

1313

5.