2022-2023學(xué)年四川省雅安市高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題

秘密★啟用前【考試時(shí)間：2022年12月27日15：00-17：00]

雅安市高2020級(jí)第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(理工類(lèi))

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，

將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知i是虛數(shù)單位，若。+公與1+仇互為共輾復(fù)數(shù)，則(”+的)=()

A.5-4iB.5+4iC.一3-4iD.

-3+4i

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念可求得a力的值，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得所以(a+"『=(l-2i)2=l—4i+4i2=—3—4i.

故選：C.

2.已知集合A=1*+X_6<O},8={x[—1<X<3},則AD8=()

A.(-3,3)B.(-2,3)C.(-1,5)D.

(-5,3)

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A,根據(jù)并集的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】解/+萬(wàn)一6<0可得，—3<x<2,所以A={x|—3<x<2},

所以ADB={X|-3<X<2}U{X|-1<X<3}={X|-3<X<3}.

故選：A.

3.采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI),是通過(guò)對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指

數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通

用的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.制造業(yè)PMI高于50%

時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50%,則反映制造業(yè)較上月收縮.下圖為我國(guó)2021年1

2021年：2022年

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為()

A.2021年第二、三季度各月制造業(yè)在逐月收縮

B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張

C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮

D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)月的制造業(yè)指數(shù)與50%比較，即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于5()%,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于50%,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，且在2022年6月PMI

超過(guò)50%,故D項(xiàng)正確.

故選：D.

4.已知函數(shù)〃力=2,+?(％€2,則/(%)的圖象()

A.關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

【答案】A

【解析】

【分析】求出“2-X)以及"-力的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可判斷各項(xiàng)，得到結(jié)

果.

2cJ:4LV44

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，/(2-X)=2-+^7=4~+17=2'+17=/(X),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，故A項(xiàng)正確;

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)??(2—司=2*+(,則/(2—x)H-/(x),故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，/(—力=2-、+白=42+《，則故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?(—X)=42+￡,則—/(x),故D錯(cuò)誤.

故選:A

【點(diǎn)睛】設(shè)/(力的定義域?yàn)椤?

對(duì)于VxeD,若%7-力=〃力恒成立，則/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)；

對(duì)于VxeD,若/(勿—x)=—/(x)恒成立，則/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱(chēng).

5.黨的二十大報(bào)告既鼓舞人心，又催人奮進(jìn).為學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某宣講小分隊(duì)

將5名宣講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)宣講員只分配到1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配1名宣講

員，則不同的分配方案共有()

A.480種B.240種C.120種D.60種

【答案】B

【解析】

【分析】先選出2人為1組有C；種，再將4組人員分配到4個(gè)社區(qū)有A：,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原

理，即可求出結(jié)果.

【詳解】5名宣講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少1人，則分配方式1,1,1,2,

先選出2人為1組有C；=10種，再將4組人員分配到4個(gè)社區(qū)有A：=24,

所以不同的分配方案共有10x24=24().

故選：B.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.

【詳解】f(-x)=2㈢0(勺=_=_/&)，

、7e-Jf+e'ex+e_Jf

..?/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C、D錯(cuò)誤；

又：若工?0,2兀］時(shí)，2丁>0,er+e-A>0,

當(dāng)XG(O,5)U管',2兀)時(shí),

cosx>0,cosx<0,

當(dāng)工￡時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x￡("I?，胃口時(shí)，/(x)<0,A錯(cuò)誤，B正

確；

故選：B.

71—,貝(Jsin[2a+不5兀)的值為(

7.已知sina+—)

66

7R40「407

A.一D.---------------D.-

9999

【答案】D

【解析】

JT

【分析】以。+一為整體，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式運(yùn)算求解.

6

【詳解】,??

7

.KIt

2一

sin2a+—=sin2na+—+—=cos2a+~=l-2sin\a+—一9-

I6LI6j2I6jI6J

故選：D.

8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱(chēng)為“三角

垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….如圖所示的程

序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則S=()

/輸出s/

（S）

A.35B.56C.84D.120

【答案】B

【解析】

（分析]設(shè)第?層小球個(gè)數(shù)為a?,根據(jù)程序框圖可知，輸出的S=q+4+/+4+%+%，

求出各個(gè)數(shù)即可得到.

【詳解】設(shè)第〃層小球個(gè)數(shù)為明,由題意可知，4—a,-

根據(jù)程序框圖可知，輸出的s=q+。2+。3+4+%+。6，

又q=1,a,=3,4=6,4=%+4=1。，％=。4+5=15,a6=?5+6=21,

所以S=1+3+6+10+15+21=56.

故選：B.

9.過(guò)拋物線C：V=2*（〃＞（））的焦點(diǎn)尸且傾斜角為銳角的直線人與C交于兩點(diǎn)A,B（橫

坐標(biāo)分別為X”點(diǎn)A在第一象限），4為C的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)4與4垂直的直線與4相交

于點(diǎn)M.若則%=（）

XB

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可求得直線4的斜率為g,則直線4的方程為y=g],聯(lián)立直線

與拋物線的方程，可求出xB,即可解得結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線4的斜率為攵，傾斜角為e,

由拋物線的定義知，|4M|=|A/I，又=所以八立四為等邊三角形，且AA/〃x

軸，所以6=NE4M=W，則％=12!16=6.

FK,oj,則直線4的方程為>

聯(lián)立直線4的方程與拋物線的方程可得12/一20Px+3/=0,

330

解得玉=-P>“2=~>顯然>Xg,所以XA——p,Xg——1

2'626

3

所以，&=序一=9.

/Lp

6

故選：C.

10.如圖，在長(zhǎng)方體A8CD—ABC2中，底面A8CD為正方形，E,尸分別為BQ，CD

的中點(diǎn)，直線BE與平面AB4%所成角為45，給出下列結(jié)論:

①防〃平面BBQQ：②"J.AG：

③異面直線BE與。尸所成角為60；④三棱錐3-CE尸的體積為長(zhǎng)方體體積的看.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.

①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】取BC中點(diǎn)為G，可證明平面EFG〃平面B4RQ,根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判

斷①；可證明4G，平面即可判斷②；可證明四邊形6EA”是平行四邊形，即

可得到D.H//BE,進(jìn)而可得即等于所求角，求出該角即可判斷③；以一BCE為底,

即可求出三棱錐的體積，進(jìn)而判斷④.

/L-------------------0^

取中點(diǎn)為G,連結(jié)EG/G.

對(duì)于①，因?yàn)镋,￡G分別是BC，CQBC的中點(diǎn)，所以EG〃BB「FGUBD,

因?yàn)?片u平面BBRD,EG<Z平面BBtDtD,所以EG//平面BBRD,

同理，F(xiàn)G〃平面BBiRD.

因?yàn)?，EGu平面EFG,尸Gu平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG//平面BBRD,

又EVu平面EEG,所以M〃平面BBQQ,所以①正確；

對(duì)于②，由已知可得四邊形為與GA是正方形，與2LAG，

，，BB1

又BBX±平面4瓦GAAGu平面A耳GA所以\4cl,

因?yàn)锽Ru平面BBRD,BB,<=平面BBXDXD,BB,CBR=耳，所以AiCi1平面

BBRD,

又EF//平面BB、RD,所以EELAG，故②正確；

對(duì)于③，取AD中點(diǎn)為H，連結(jié)BH,D]H,DiE,HF.

UULUUUUUUUUU1UULUUUUUUUUULUULRTjUUlfil1UimUUir

因?yàn)锽E=BB「EBi，HD[=DD「DH，BB】=DD[，EB1=3（：巾\=^DA=DH,

ULUUULU

所以BE=HR，所以BE//HD｝且BE=HD],

所以四邊形BE""是平行四邊形，則RH//BE,所以異面直線BE與。尸所成角即等于

直線QH與QF所成角NHD、F,

因?yàn)橹本€BE與平面所成角為45，與。|，平面4834，所以NEB與=45,所

以gE=8瓦，設(shè)4?=2,則=g4c1=1,則RF=QH=FH=日

所以為等邊三角形，所以尸=60",故③正確;

對(duì)于④，設(shè)長(zhǎng)方體體積為V，

因?yàn)镃￡>J_平面BCC[B],則VB_CEF=VF_BCE=-xCFxSVBCE=-xCFx-BCxCC1

xCDxBCxCC=—V,故④正確.

12,12

故①②③④正確.

故選：D.

22

H.已知楠圓c：T+)r=i(a>人>0)的左焦點(diǎn)為￡，離心率為e，直線丁="儀二°)與

a~h~

41

2

當(dāng)

C父子點(diǎn)M,3-8-e-取最小值時(shí)，橢圓C的

離心率為（）

A.1B.也C.也D.在

2223

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線和橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得M￡N鳥(niǎo)為平行四邊形，再由NMF\N及向量的數(shù)量

積可求〃，再應(yīng)用基本不等式，取等條件計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€）=丘（人工0）與C交于點(diǎn)M,N,

設(shè)0為MN的中點(diǎn)，由。為G6的中點(diǎn)，故四邊形MF、NF?為平行四邊形.

則忻N|=|MR|,由橢圓定義得|M制+|叫|=2a

設(shè)闕|=?此|=G因?yàn)槠?:所以耳；又因

NMGN=120。

48

所以-mnx加〃=鼻,

在△耳加心中，Z/-M^=60,應(yīng)用余弦定理

222

寓瑞『=rrr+n-2/nncosZ.FiMF2=m+n-mn=(m+n)'-3mn

所以4c2=4/—8,又因?yàn)閆^+c2=4,所以巨=2

12212。-12a"2

-a~-e~=-a-----=—+--1>2—1=0

88a28a2

2Q]

當(dāng)且僅當(dāng)工=2,即/=4時(shí)一/取最小值,此時(shí)，2"2=4_2=2

8a28

12.設(shè)。=0.035,^=2.25（e00'-l）,c=41nl.01,則“，江c,的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.

b<a<c

【答案】D

【解析】

7

【分析】構(gòu)建〃x）=ln（x+l）—3x,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證c>。，

O

再構(gòu)建8（力=/-1尤_1，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證e。。_1<0.01?，

1n14

再證e°e—l<0.01e4即可得力<a.

9

/\\7*,（\171—7%

【詳解】構(gòu)建/3=13+1）-釬，則/（到=771一§=爪旬，

當(dāng)0<x<g時(shí)，則用x）>0,故“X）在（0,；]上單調(diào)遞增，

0，；)，則/(0.01)>/(0)=0,即lnl.01—0.07

???0.016>0

8

/.4In1.01>0.035,即

構(gòu)建則g<x)=e"-e"

當(dāng)0<x<；時(shí)，則g'(x)<0,故g(x)在上單調(diào)遞減,

?/0.01el0,-,則

g（0.01）<g（0）=0,B[Jeo,oi_oole4_1<o）

eoo,-l<O.Ole?'

XVf-|4=^416>3>e，則?<巴,

19I65619

/.eool-l<O,Ole^<^,故2.25（6°°1—1）<O.O35,即匕<〃

綜上所述：b<a<c.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

7

①若證c>“，構(gòu)建〃x)=ln(x+l)--X,結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷；

②若證。<。，構(gòu)建g(x)=e，_e；x_l，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷，并根據(jù)題意適當(dāng)放縮證明.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-2y-4<0

13.若x,y滿足約束條件<x—y—220,則z=2x-3y的最大值為

y<0

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，通過(guò)平行y=確定z的最大值.

【詳解】如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，

聯(lián)立方程｛八,解得〈八，即。(4,0),

y=0[y=°

由z=2x—3y,即y=表示斜率攵=2,橫截距為三的直線/,

312J32

通過(guò)平移可得當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)。時(shí)，橫截距最大，即Z最大，故ZmM=2x4—3x0=8.

故答案為：8.

2lJr0

14.已知向量4=(1,3),匕=(2,T),則向量a與向量b的夾角為

【答案】—##135

4

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求夾角即可得到.

【詳解】由已知可得，a/=(l,3>(2,T)=lx2+3x(T)=-10,忖nVi7方=\/io，

忖=百+(一4)2=2石,

則由a力第件小?4可得，cd3施=￡黑=-冬

371

所以，向量a與向量b的夾角為一.

故答案為：—.

4

15.若函數(shù)J'(x)=sin<yx+Gcos3x(<?>())的最小正周期為兀，則滿足條件

“/(x+。)是偶函數(shù)”的夕的一個(gè)值為(寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的。即可).

JT57r7九JrKjr

【答案】—(答案不唯一，也可以寫(xiě)—乙，—,符合t+,，ZeZ即可)

121212122

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)可得/(x)=2sin(s+g),又根據(jù)周期可得〃x)=2sin(2x+

,即可

I兀1jrK7X.

得到〃x+e)=2sin[2x+29，根據(jù)偶函數(shù)可得夕=五+萬(wàn)，ZeZ.

(16)(

【詳解】/'(x)=sin6yx+Gcos0x=2-sina)x-\——coscox-2sincox+

27r

又〃x）的最小正周期為兀，所以"^=兀,則⑦=2,所以/（另=25呵2%+引,

所以/（x+夕）=2sin12工+2夕+1）.

又因?yàn)?（X+0）是偶函數(shù)，所以應(yīng)滿足28+；=5+也，ZeZ,

jrjzjr

所以有0=2+竺，ZeZ.

122

「兀

故答案：—.

12

16.已知。是邊長(zhǎng)為3的正三角形A8C的中心，點(diǎn)尸是平面A8C外一點(diǎn)，PO_Z平面ABC,

二面角P-AB-。的大小為60。，則三棱錐尸-A3C外接球的表面積為.

49

【答案】—兀

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可得二面角P-AB-。的平面角為NPDC=60。，進(jìn)而可得相關(guān)長(zhǎng)

度，再結(jié)合球的性質(zhì)可得加。2=/。2+0。2,可得球的半徑，即可得結(jié)果.

【詳解】是正三角形ABC的中心，則。4=O3=OC,

PA=PB=PC,

取AB的中點(diǎn)Z）,連接P2C￡>,則尸。_LAB,CD_LAB,即二面角P-AB-C的平面

角為NPDC=&）°,

由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,則OC=20。=瓜PO=#>OD=

2

三棱錐P-ABC為正三棱錐，則三棱錐P-A8C的外接球的球心M在直線PO上，設(shè)三

棱錐P-ABC的外接球的半徑為R,

r3丫7

MC2=MO2+OC2則收=一一R+3,解得R=：,

（2）4

49

???三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4K/?2=—7i.

4

49

故答案為：——7T.

4

p

B

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球的相關(guān)性質(zhì)：

①球的截面均為圓面；

②球心與截面圓心的連線垂直于該截面.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作

答.

（―）必考題：共60分.

17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y

（單位：萬(wàn)元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型

@y=bx+a,②y=@+c進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

20、20、2020

￡(%-可2(—)2￡(y-9)(—)

Xy7-刃&-元)

/=1/=1/=!/1=1

10665-4504

若用R2=]—----------刻畫(huà)回歸效果，得到模型①、②的代值分別為舄2=07891,

寸

/=1

R；=0.9485.

（1）利用R「和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求），關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25

（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（不，％）,（巧，％），…，（玉，%），其回歸直線m=a+Av的斜率和截

￡（%-可（其-刃

距的最小二乘法估計(jì)分別為或=J--------------，a=y-Px.

i=\

【答案】（1）選擇模型②，理由見(jiàn)解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知/V〉R;，根據(jù)配的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模

型②；

（2）y與，可用線性回歸來(lái)擬合,有亍=2+e,求出系數(shù),得到回歸方程夕=100r+2,

即可得到成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為5，=?+2,代入x=25,即可

X

求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

應(yīng)該選擇模型②.

由題意可知，為2>R：,則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和￡（y-$）2比模型①中樣本

/=1

數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.

【小問(wèn)2詳解】

1人

由已知，二一，成本費(fèi)y與，可用線性回歸來(lái)擬合，有?=力+"

X

20

,一y-加-丁）4

由已知可得，2=乂、-----------=——=10°，

-\20.04

/=1

所以3=]—方=10-100x0.08=2,

則y關(guān)于t的線性回歸方程為5=100,+2.

成本費(fèi)）與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程為9=W2+2,

X

當(dāng)x=25（噸）時(shí)，，=券+2=6（萬(wàn)元/噸）.

所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)），的預(yù)報(bào)值為6萬(wàn)元/噸.

18.已知｛%｝為等差數(shù)列，且6=1,4=3（%一4）?

（1）求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列物,J滿足：偽+22+2,3+...+2"-%”=才（〃€2），求也｝前〃項(xiàng)和S,,.

【答案】（1）a“=n

（2）S=1---

"2"

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)前"項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的

關(guān)系求得匕，=?，可得｛d｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

:4=3（/一出），貝!14+54=64,即d=4=l,

，=1+〃-1=〃，

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。〃=〃.

【小問(wèn)2詳解】

n

?.?白+2bl+224+…+2-'bn=年，

當(dāng)〃=1時(shí)，則4=幺=,；

22

當(dāng)〃22時(shí)，則4+24+22&+…+2"-2"i=苧，

兩式相減得2"T勿=緘*=3,則2=!；

綜上所述：

1

ho〃+l111

又?.?彳江=片一=5,故數(shù)列也｝是以首項(xiàng)4=],公比4=]的等比數(shù)列，

F

...數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S_21⑵」1

"112"

2

19.已知_ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)并解

答問(wèn)題：

①21=2+空②cosisi?。

heabaca

③。2-c2+—hc=ahcosC.

2

（1）求角A的大??；

（2）若c=3,且一ABC的面積為3后，求-ABC的周長(zhǎng).

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

JT

【答案】（1）A=-；

（2）7+A/B.

【解析】

【分析】（1）如選擇①，由已知可得2acosA=ccos3+hcosC,根據(jù)正弦定理以及兩角

和的正弦公式的逆用，即可得出cosA=」，進(jìn)而求出A；如選擇②，由已知可得

2

acosC—GasinC=Z?—2c，根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式，即可得出

cosA+百sinA=2,利用輔助角公式可得5皿（4+2）=1,根據(jù)角的范圍即可求出A；

如選擇③，由余弦定理可得，a2-c2+-bc=a'+b'~C~,化簡(jiǎn)即有Ac=〃+c2—

22

進(jìn)而求出cosA=工，即可求出A；

2

（2）根據(jù)三角形的面積公式S4第=38csinA即可求出b=4,根據(jù)余弦定理即可求出

a二岳,進(jìn)而即可得到二ABC的周長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

,但3…-2cosAcosBcosCccosB+bcosC

如選擇①，有------=------+------=----------------，

beabacabc

即2acosA=ccosB+Z?cosC?

由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（3+C）=sinA,

又sinAwO,所以cosA='，

2

因?yàn)?<A<7l,所以A=1.

b-2c

如選擇②，由cosC—6sinC=可得，acosC-y/3asinC=b-2c，

由正弦定理可得，sinAcosC->/3sinAsinC=sinB-2sinC，

又sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCeosA+百sinAsinC=2sinC，又sinCwO，

fl

所以cosA+百sinA=2，即2x—cosA+sinA=2sinIA+—I=2,

V76

所以sin|A+己=1.

因?yàn)?)<A<兀，所以〃<AH—<—,所以A+：=G，解得A=g.

666623

如選擇③，a?-c2+—hc=ahcosC.

2

由余弦定理可得，a2-c2^-bc=ab-a2^b2~c2a2+j/9r-c2

2lab2

222

整理可得，bc=b+c-at所以cosA=.+c2q2=也=工

2bc2bc2

因?yàn)?<4<兀，所以A=1.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，A=],又c=3,且二ABC的面積為3石，

所以有S7aBe=—Z>csinA=1x3b又^~=3G，解得b=4,

VABC222

由余弦定理可得，a2=b2+c2-2Z?ccosA=42+32-2x4x3x^=13,

2

所以a=>

所以..ABC的周長(zhǎng)L=a+6+c=7+VT3.

20.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，P。_L底面A8C。，PD=AD=6AB.

p

///I;\

(1)試在棱8c上確定一點(diǎn)M,使得平面％平面尸并說(shuō)明理由.

(2)在第(1)問(wèn)的條件下，求二面角M-B4-C的余弦值.

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解；

e3鬧

35

【解析】

【分析】(1)當(dāng)“為棱8。上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角形相似，可推出

Z4BO+NM4B=90°，即進(jìn)而證明AM工平面網(wǎng)犯，從而得到面面垂直；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面MR4的法向量以及平面

CR4的法向量，再根據(jù)圖形判斷二面角為銳角，即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)M為棱BC上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)時(shí)，平面抬平面產(chǎn)班＞.

證明：若"為棱上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AD=gB,所以畫(huà)7一［五一".

3

ADr

又一=J3,ZDAB=ZABM=90°，所以DAB^ABM.

AB

所以NM4B=NBZM.

又NABO+NBD4=90"，所以NA8O+NM4B=90"，所以

因?yàn)楫a(chǎn)。，底面A8C￡＞,AMu平面ABC。，所以P。1AM.

因?yàn)锽Du平面P比＞,?Du平面P3￡＞，BDPD=D,所以AMJ.平面P3￡).

又AMu平面所以平面J_平面P3￡).

【小問(wèn)2詳解】

z」

B

由(1),連結(jié)AC,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以A4,￡>C,OP所在的直線為x，%z軸，如圖建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)43=1,則AD=6，4百,0,0)，尸(0,0,6)，C(0,l,0),

M

uuurUUll

AM=,1,0,AP=卜6,0,碼，AC=(-^,1,0).

7

n.-AM=0一冬i+y=o

設(shè)平面AffA的法向量為勺=(不，*,4)，則，即

々AP=0+\/3Zj=0

令玉=3,則〃]=(3,百,3).

%?AC=0-+y2=0

設(shè)平面CP4的法向量為％=(七,%，Z2)，則，即《

n2-AP=0-z?=0

取乙=1,則4=(1,6,1).

UISI

3+3+337105

貝|Jcos

721x75-35

顯然二面角”-上4-。為銳角，所以二面角M-R4-C的余弦值為獨(dú)叵.

35

21.已知函數(shù)/(x)=xe"+元-1].

⑴若尤=一1是“X)的極小值點(diǎn)，求4的取值范圍;

(2)若xNO,/(-v)>0,求。的取值范圍.

【答案】(1)Q<一;

e

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)可得r(x)=(x+l)(e'-a),然后分為aWO、a>0進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)

a>0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)解，對(duì)兩個(gè)解的大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到〃的取值范圍；

(2)當(dāng)aKl時(shí)，可知/'(x)“恒成立，則〃力單調(diào)遞增，只需/⑼20即可，代入得

到”的范圍.當(dāng)a>l時(shí)，由(1)知，當(dāng)x=lna時(shí)，/(x)取得極小值，也即為最小值.根

據(jù)題意，只需滿足=/(lna)NO,整理即可得到關(guān)于。的不等式，求解即可得到.

【小問(wèn)I詳解】

由已知可得，/(x)定義域?yàn)镽.

尸(x)=e*+心“-a(x+l)=(x+l)(e*—a).

①當(dāng)aWO,則e*—a>0恒成立，解/'(x)=0可得％=-1，

解第x)>0,可得(>—1；解八力<0,可得(<一。

顯然4-1是“X)的極小值點(diǎn)，滿足條件.

②當(dāng)a>0時(shí)，解/'(x)=0可得%=T,x2=lna.

(1)當(dāng)111。<—1,即0<a</時(shí)，解/4勾>0,可得x<lna或x>—1；

解f'(x)<(),可得lna<x<—l.此時(shí)廣一1是/(x)的極小值點(diǎn)，滿足條件；

(ii)當(dāng)lna=—1,即a=1時(shí)，/'(%)“恒成立,無(wú)極值點(diǎn)；

e

(iii)當(dāng)lna>-l,即a>l時(shí)，解可得x>lna或％<-1；

解尸(力<0,可得—Icxvlna.此時(shí)二一1是/(x)的極大值點(diǎn)，與已知不符.

綜上所述，〃的取值范圍為

e

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知,r(x)=(x+l乂e*-a),

因xNO,所以e'Nl，

①當(dāng)aKl時(shí)，可知/'(x)NO恒成立,則“X)單調(diào)遞增.

故xNO時(shí)，/(x)2/(O)=aiO,所以，OWaWl滿足條件.

②當(dāng)a>l時(shí)，可知0<x<lna時(shí)，尸（力<0,/（x）單調(diào)遞減；x>lna時(shí)，/"）>0,

“X）單調(diào)遞增.

所以，在區(qū)間［0,+。）上，當(dāng)x=lna時(shí)，/（X）取得極小值，也即為最小值.

由于xNO,〃x）N0恒成立，

則/（"kin='（in。）=lna-e“"-?^ln2<2+lna-l^>0,

即有。111。一。1311124+111。-1）20,整理可得In2a42，

因?yàn)閍>l,lna>（）,所以有0<lna?&，解得l<a?e&.

綜上所述，a的取值范圍為［。解/］.

【點(diǎn)睛】求解不等式在區(qū)間上恒成立問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題：即借助導(dǎo)函數(shù)

得到函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值、最值，列出關(guān)系式，即可求得參數(shù)的范圍.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則

按所做的第一題記分.

［選修I：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

Y—、/3+1ccsci

22.在直角坐標(biāo)系，中，直線/的參數(shù)方程為《一、.,（，為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=tsina

Q

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=§_荻面，直線

/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),M（V3,0）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若=求直線/的斜率.

2

【答案】（1）—+y2^l

4

（2）±^-

一2

【解析】

x=Pcos6

【分析】（1）根據(jù)