2022-2023學(xué)年天津求真高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022-2023學(xué)年天津求真高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含

解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.

W+—?

經(jīng)過橢圓了十7二的右焦點任作弦4尻過4作橢圓右準(zhǔn)線的垂線垂足為

M,則直線必經(jīng)過

A.（2.0）B.朋C.（刈D.

朋

參考答案：

答案：B

2.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知

C08C）=0,斫2,c=&,則C=

XXXX

A.12B.6c.4D.3

參考答案：

B

【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可

詳解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

/.cosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC#),

AcosA=一sinA,

??tanA二-1,

x

?.?2<A<71,

3萬

/.A=4,

c_a

由正弦定理可得嫉1|。一二4,

Va=2,c=72,

..@X立.

canA21

/.sinC=o=22,

Va>c,

x

/.C=6,

故選B.

點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，

正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦

定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說，當(dāng)條件中同時出現(xiàn)n及尿、a2

時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理

將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s值為（［x］表示不超過x的最大整數(shù)）（）

(A)4(B)5(C)7①)9

參考答案:

C

4.在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若

B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同

的是()

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

參考答案：

D

【考點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】利用眾數(shù)、平均數(shù)、中位標(biāo)準(zhǔn)差的定義，分別求出，即可得出答案.

【解答】解:A樣本數(shù)據(jù):82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.

B樣本數(shù)據(jù)84,86,86,88,88,88,90,90,90,90

眾數(shù)分別為88,90,不相等，A錯.

平均數(shù)86,88不相等，B錯.

中位數(shù)分別為86,88,不相等，C錯

1

A樣本方差S'10[(82-86)2+2X(84-86)2+3X(86-86)2+4X(88-86)1=4,標(biāo)

準(zhǔn)差S=2,

1

B樣本方差+=而［(84-88)*12+*B2X(86-88)2+3X(88-88)2+4X(90-88)1=4,標(biāo)

準(zhǔn)差S=2,D正確

故選D.

【點評】本題考查眾數(shù)、平均數(shù)、中位標(biāo)準(zhǔn)差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2/=2

5.已知：°久均為正數(shù)，a廠”,則使a+bNc恒成立的c的取值范圍是()

()

”(002.B.(°，“C.卜8,91D.卜叫司

參考答案：

A

6.定義在R的奇函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且對任意實數(shù)a,b滿足f(a)+f(b—l)=0,則a+b

參考答案：

1

略

7.拋物線町的準(zhǔn)線與y軸交于點/,焦點為尸，點尸是拋物線C上的任意一

的

點，令1叩，當(dāng)上取得最大值時，直線的斜率是()

A.1B.±1C.±2D.4

參考答案：

B

如圖，拋物線上一點到焦點的距離等于拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線的對稱

.|肉_曰一1

性，所以設(shè)點P在第一象限網(wǎng)W立々^，當(dāng)N2最小時，*最大，所以

當(dāng)直線〃與拋物線相切時，4MB最小，設(shè)直線"：＞-2與拋物線方程聯(lián)立，

1-出+16=0,A-64^-64=0,解得上=±1,故選B.

考點：拋物線的幾何性質(zhì)

【一題多解】本題主要考察了拋物線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題型，拋物線有一條重要的性

質(zhì)：拋物線上任意一點到焦點的距離和其到準(zhǔn)線的距離相等，這樣就將到焦點的距離轉(zhuǎn)化

為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可得本題就是求過點d的拋物線的切線的斜率，法一，

可以設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程，令A(yù)=0,求斜率，或者設(shè)切點同4?/?),根據(jù)

上程=/'■),求切點，再求切線的斜率.

8.下列關(guān)于由最小二乘法求出的回歸直線方程丁=2-x的說法中，不正確的是

A.變量x與y正相關(guān)

B.該回歸直線必過樣本點中心

C.當(dāng)x=l時，y的預(yù)報值為1

**

~yi)3

D.當(dāng)殘差平方和1"‘”越小時模型擬合的效果越好

參考答案：

A

略

9.若命題P：函數(shù)工的單調(diào)遞增區(qū)間是口,+8),命題0函數(shù)7的單調(diào)遞

增區(qū)間是［1,+00),則()

是真命題B.pv，是假命題

C.一*是真命題D.夕是真命題

參考答案：

D

【分析】

由二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題p為真，利用增+增為增結(jié)合函數(shù)的定義域可得增區(qū)間進(jìn)

而知命題q為假命題，從而可得解.

【詳解】命題P：函數(shù)，='-21的對稱軸為工=1,且開口向上，所以在CU+?）上單調(diào)

遞增，命題P為真；

IJ

命題公函數(shù)’一”"7的定義域為｛H*工崎，且，=工和‘一一7為增函數(shù)，所以函數(shù)

1

y'一，的增區(qū)間為和（°?+6）,所以命題“為假命題.

所以它是真命題.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合命題的真假判斷，注意區(qū)別在區(qū)間上單調(diào)遞

增和增區(qū)間的區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)復(fù)數(shù)2=1+加小€"）且22=一3+4］，則宕的虛部為（）

A.-2B,-4C.2

D.4

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.設(shè)命題P：若I工＞2,則工＜一2或x＞2.那么了的逆否命題為.

參考答案：

若-24則Ix區(qū)2

試題分析：原命題：若P,則不逆否命題為若rg?口2-故原命題的逆否命題為若

243則1*2

考點：1、命題.

12.設(shè)mCR,過定點A的動直線x+my-1=0和過定點B的動直線mx-y-2m+3=0交于點P

(x,y),則|PA?|PB的最大值是.

參考答案：

5

【考點】點到直線的距離公式.

【專題】直線與圓.

【分析】由直線系方程求得兩動直線所過定點坐標(biāo)，且知道兩直線垂直，則結(jié)合

|PA|2+|PB|2=|AB|2=10>2|PAIIPB|求得|PA|?PB|的最大值.

【解答】解：由題意可得：A(1,0),B(2,3),且兩直線斜率之積等于-1,

直線x+my-1=0和直線mx-y-2m+3=0垂直，

則|PA1+|PB2=AB|2=10>2|PA||PB.

|PA|?|PB|W5.

故答案為：5.

【點評】本題考查了直線系方程，考查了基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

13.已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積

d

?4

正視圖側(cè)視圖

N

為_______cm：'.俯視圖

參考答案：

20

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是直三棱柱，切去一個三棱錐,

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是直三棱柱，

切去一個三棱錐，如圖所示；

該幾何體的體積為v=2X3X4X4-3X2X2X3X4=20cm:,.

故答案為：20.

14.設(shè)等比數(shù)列（%）滿足公比ge曠，a”e#,且數(shù)列｛%＞中任意兩項之積也是該數(shù)列的

一項.若/=2\則q的所有可能取值之和為.

參考答案：

22

15.中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（2,-I）,則它的離心率

為—.

參考答案：

逅

2

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】利用已知條件列出關(guān)系式求解即可.

【解答】解：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（2,-1）,

可得2b-a=O,即4c2-4a2=a2,

可得4c2=5a2

V5

e=2.

逅

故答案為：2.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.

16.函數(shù)y11tm0x(。>°)與直野相交于A,B兩點，且內(nèi)1最小值為方，則函數(shù)

/(x)=若sinox-cosox的單調(diào)增區(qū)間是.

參考答案：

(2*—.2E一孕)(&eZ)

17.(如圖)一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點力為

端點的三條棱長都等于1,且它們彼此的夾角都是60',那么以這

個頂點為端點的晶體的對角線的長為▲。

參考答案：

瓜

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知函數(shù)/(4=*/+￡*H+?:(其中0為自然對數(shù)的底，4〃ceR)的導(dǎo)函數(shù)

為廣/U)

(1)當(dāng)a=c=o時，討論函數(shù)兀0在區(qū)間(0,+8)上零點的個數(shù)；

(2)設(shè)點的，/(0》，股砌是函數(shù)段)圖象上兩點，若對任意的JW>0,割線A8

的斜率都大于2,求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案:

解：（l）a=c=O時，由/（月二。="x,記x,

八0=/牛。

7,當(dāng)0<x<l時，V8<0,當(dāng)x>i時，g*W>0,所以當(dāng)x=l時

g（?取得極小值c,

①當(dāng)一6<。即b>Y時，函數(shù)/（X）在區(qū)間（Q2）上無零點；

②當(dāng)一8=。即b=-?時，函數(shù)/（*）在區(qū)間（Q2）上有一個零點；

③當(dāng)一&>e即8<-e時，函數(shù)/（*）在區(qū)間3刊9上有兩個零點；

（2）/（巾二—.2Ar,

/O=e2*—c2*-owIftm±.=----------------------------=L.g"6m

224m

■)■m?3

依題意：對任意的.6(02),都有e?.~+”>e，.Qe，.彳

e"-e5_T?5?-<?"7>0

，即24,

ty、g?—e，——/，(Bfi=c————JRE^?—<mv

記*)=24,42

-、_?3；1；1

記貝產(chǎn)電57一L亍記心田通

貝產(chǎn)r■一產(chǎn)『51一標(biāo)一

2162

所以??0楨）時，「（"0遞增，所以"可>.=彳'￡”

①當(dāng)彳2a~即“一G時，40>0,即#（司>0,所以在區(qū)間（?！┥蠁握{(diào)

遞增，所以*"）>*3=°,得到Y(jié)（"?）>°,從而入（"0在區(qū)間32）上單調(diào)遞增，

所以ME）>M8=O恒成立；

lie】G11C

—f-a<0a<-_、vrflh=-?-a<0

②當(dāng)42即2時，因為.七Z（&A/町時，MzP遞增，所以42

所以存在%>°,使得°<"?<。時，，（同<°即"1"）*：。，所以內(nèi)?在區(qū)間上

單調(diào)遞減，所以°<w<q時，敘"0（我0）=°即、*（"?）<0,

所以0<"?<5時，*（?"）在區(qū)間（O.R上單調(diào)遞減，所以o<w<xb時，

⑦=°,從而MM）>。不恒成立。綜上：實數(shù)。的取值范圍是."或

2

19.如圖，設(shè)拋物線4：尸=4板冊>°）的準(zhǔn)線與X軸交于瑪，焦點為瑪；以瑪、瑪為

2

焦點，離心率5的橢圓三與拋物線G在x軸上方的交點為尸.

（1）當(dāng)掰=1時，求橢圓G的方程；

（II）延長尸鳥交拋物線于點。，M是拋物線C1上一動點，且超在F與。之間運(yùn)動，當(dāng)

△F區(qū)瑪?shù)倪呴L恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求&MFQ面積的最大值.

解：⑴當(dāng)時，/'=4*,則用（T嘰片①0）.

—X-+^-r-1(41>6>0)j

設(shè)橢圓方程為J*，則c/，又42,所以a=2,V=3.

所以G方程為丁二,+7乙“7

C1上+￡.1

(II)因邢=用，*~a~2,則-3??設(shè)橢圓方程為京"'京'

，kkL

1

由z=4mxF得37?。，

…生.2#p(2m2^m]

即0+6雨&-2初叫得'，=7代入拋物線方程得“"一rn,即【3,3人

|P^|?xf+m*—|尸“|=M-|F吊k城-也=里,|“耳卜2?1*%

3,333,

因為4對巴的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以m?3.

此時拋物線方程為了'T2>,R2，W$,直線也方程為了=-2/3-3).

(7--2蕊(x-》

聯(lián)立1/T2X,得2X'-13X+18?0,即(K-2X2X-9)=0.

即鳴叫

所以代入拋物線方程得加“城

.設(shè)到直線2的距離為打斗班,2闔

^LL__.^^.12

則7P54+130[/+2J2

.而，?7554

當(dāng)2時，―3024,

...海2面積的最大值為渭畔,誓.

略

W—4-^-r=*(dt>b>0)

20.已知A、B、C是橢圓a2b2上的三點，其中點A的坐標(biāo)為

C.0),BC過橢圓力的中心，且?為=0JBC121AC|

（1）求橢圓R的方程；

（2）過點力/①，）的直線/（斜率存在時）與橢圓加交于兩

點P,Q,設(shè)D為橢圓加與y軸負(fù)半軸的交點,

且|~DF'\=\DQ\_求實數(shù)t的取值范圍.

參考答案:

解（1）而|=2|而|且BC過（0,0）

則15?可而|又?.?而而=0

二NOCA=90?，BPC(V3,73)............2分

又二a=2力,設(shè),〃：—+——~~r=1

1212-c2

將C點坐標(biāo)代入得

1212-C2

解得c2=8,b2=4

2、2

二橢圓m：^-+^-=1...........5分

(2)由條件D(0,-2)-ZM(0,t)

1°當(dāng)k=0時，顯然一2<t<26分

2°當(dāng)kwo時，設(shè)'y=^+i

卜=kX+l消y得

(1+Sk2)x3+6fax+3eJ-12=0.......8分

由△>()可得〃<4+1廿2①............9分

設(shè)依小乃).尸Q中點HgJ。)

再+勺如./

則021+3/0弋1+頭2

——?………”分

pTDH±PQ\DP\=\DQ\：.OH±PQ即和責(zé)=-1

由I____________Ik

—^+21

上第一=-1化簡得，=1+獷

-----0

.-.1+3/②

At>l將①代入②得l〈t<4

，t的范圍是(1,4),綜上te(-2,4)...........13分

21.已知函數(shù)f(x)=2asin3xcos3x+2j20sLi3x-(a>0,w>0)的最大值為2,

且最小正周期為n.

(I)求函數(shù)f(x)的解析式及其對稱軸方程;

4

(II)若f(a)=5,求sin(4a+6)的值.

參考答案：

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)；由丫=人5簡(3X+。)的部分圖象確定其解析式.

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：(I)根據(jù)條件函數(shù)最值和周期，利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡即可求a和3的

值，即可求出函數(shù)的解析式和對稱軸方程；

4K

(H)根據(jù)f(a)=3,利用余弦函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡即可求sin(4a+6)的值.

解答：解：(I)f(x)=2asinuxcos?x+2V3cos2wx-

V3=asin2wx+V3cos2wx=Va2+3sin(2?x+<l))

Vf(x)的最小正周期為T=n

2打

，產(chǎn)〒2-

Vf(x)的最大值為2,

A7a2+3=2,

即a二土1,

Va>0,???a=L

71

即f(x)=2sin(2x+3).

nJr

由2x+3=2+kn,

KkJT

即x=12+2,(k￡Z).

44

(II)由f(a)=3,得2sin(2a+3)=3,

n2

即sin(2a+3)=3,

nK_nnn

則sin(4a+6)=sin[2(2a+3)2]=-cos2(2a+3)=-l+2sin2(2a+3)=

2J.

-1+2X(3)2=-9.

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的

關(guān)鍵.同時也考查三角函數(shù)倍角公式的應(yīng)用.

22.對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作