2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市越秀區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.用2B鉛筆將考生號(hào)、座位號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部是.故選：B2.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，即，即，即，解?故選：A3.在中，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又，所?故選：C4.為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗A〖解析〗為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：A5.從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A=“抽到的兩人都是男生”，事件B=“抽到1名男生與1名女生”，則（）A.在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，B.在不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，C.在按性別等比例分層抽樣方式下，D.在按性別等比例分層抽樣方式下，〖答案〗D〖解析〗記3名男生為，3名女生為.對(duì)于選項(xiàng)A，有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間為123abc1(1,1)(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)(a,a)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,b)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)(c,c)共36個(gè)樣本點(diǎn)，事件有9個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間為123abc1×(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)×(23)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)×(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)×(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)×(b,c)c(c1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)×共30個(gè)樣本點(diǎn)，事件有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，在按性別等比例分層抽樣方式下，從男生中抽取一人，從女生中抽取一人，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在按性別等比例分層抽樣方式下，先從男生中抽取一人，再從女生中抽取一人，其樣本空間為，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，事件，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.6.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)字特征，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.中位數(shù)為，眾數(shù)為 B.平均數(shù)為，中位數(shù)為C.中位數(shù)為，極差為 D.平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，所以A不可以判斷；對(duì)于B：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，3，4，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以B不能判斷；對(duì)于C：因?yàn)橹形粩?shù)為，極差為，則最大數(shù)不超過，故一定不會(huì)出現(xiàn)，故C正確；對(duì)于D，若平均數(shù)為，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，則其余個(gè)數(shù)的和為，即均為，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤；故選：C．7.三棱錐中，，，.若，，則該三棱錐體積的最大值為（）A.3 B.4 C.6 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，則，所以，又，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B8.在四棱錐中，，，則下列結(jié)論中不成立的是（）A.平面內(nèi)任意一條直線都不與平行B.平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面平行C.平面和平面的交線不與底面平行D.平面和平面的交線不與底面平行〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以四邊形為梯形，且、不平行，?duì)于A：若平面內(nèi)存在直線與平行，又平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，與、不平行矛盾，所以平面內(nèi)任意一條直線都不與平行，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫婧推矫娴囊粋€(gè)交點(diǎn)為，故二者存在過點(diǎn)的一條交線，在平面內(nèi)，與平面和平面的交線平行的所有直線（交線除外）均與平面平行，故B正確；對(duì)于C：若平面和平面的交線與底面平行，設(shè)平面和平面的交線為，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，同理可得，所以，與、不平行矛盾，所以平面和平面的交線不與底面平行，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，平面，平面，所以平面設(shè)平面和平面的交線為，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故平面和平面的交線與底面平行，故D錯(cuò)誤；故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為2”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)為3”，事件“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為4”，事件“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為5”，則（）A.事件與互斥 B.事件與相互獨(dú)立C.事件與互斥 D.事件與相互獨(dú)立〖答案〗CD〖解析〗設(shè)采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件：，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件：，，，有個(gè)，顯然當(dāng)出現(xiàn)時(shí)事件、同時(shí)發(fā)生，故事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即事件與互斥，故C正確；又，，，事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即事件與互斥，則，故事件與不獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；事件發(fā)生包含的基本事件：有個(gè)，所以，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，故D正確；故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以的最小正周期，故A錯(cuò)誤；，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；因，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；若，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD11.已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：若，即，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為、，則且，所以，即，解得，所以，即，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，由，即，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在如圖所示的圓環(huán)內(nèi)（不含邊界）圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為、，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為，故D錯(cuò)誤；故選：AC12.在中，，將分別繞邊，，所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的側(cè)面積分別記為，，，體積分別記為，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)為，高為，所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)為，高為.所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩個(gè)底面重合的圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)分別為和，高之和為.所以其體積，其側(cè)面積.對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，而，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以，則，，所以在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：14.某校為了解高中學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生100名和女生60名，測(cè)量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：性別人數(shù)平均數(shù)方差男生10017218女生6016430根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可計(jì)算出該校高中學(xué)生身高的總樣本方差______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，在樣本中，男生有人，女生有人，則其平均數(shù)，其方差，故〖答案〗為：．15.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于扇形OPQ，其中點(diǎn)B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為______.〖答案〗〖解析〗如圖，連接，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)榫匦蜛BCD，，所以，從而可得，所以，，且，為等邊三角形，，又因?yàn)榫匦蜛BCD，，，過點(diǎn)B作的垂線，垂足為N,設(shè)，，，，在中，，，，，當(dāng)，即時(shí)，矩形面積最大，且最大值為故〖答案〗為：16.已知四邊形ABCD是正方形，將沿AC翻折到的位置，點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)E在線段BC上，平面，.若，則______，直線GB與平面所成角的正切值為______.〖答案〗①.2②.3〖解析〗如圖所示：空1：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)G為的重心，所以,所以.空2：取中點(diǎn),連接，則,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，因?yàn)?，，所以，又則為中點(diǎn)，所以，中，,同理可得，，因?yàn)?，所以，又，所以平面，則為在平面內(nèi)的投影，所以或其補(bǔ)角為直線GB與平面所成角，中，，，故〖答案〗為：2；3.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一個(gè)合理的居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：），使得用戶月均用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過的部分按議價(jià)收費(fèi).通過隨機(jī)抽樣，獲得了該市戶居民生活月均用水量（單位：）的數(shù)據(jù)，整理得到如下的頻率分布直方圖.（1）求這戶居民生活月均用水量在區(qū)間內(nèi)的頻率；（2）若該市政府希望的居民生活月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)的值，并說明理由.解：（1）由頻率分布直方圖可知內(nèi)的頻率為.（2）因?yàn)?，又，，則，依題意可得，解得.所以要使的居民生活月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，則居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)為.18.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，點(diǎn)是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，且.（1）求的最小正周期；（2）若，求的〖解析〗式.解：（1）設(shè)的最小正周期為，依題意設(shè)，則，，所以，，所以，即，解得或（舍去）.（2）由（1）可得，解得，所以，又，即，即，所以，所以，解得，又，所以，所以.19.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩人進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方平后，乙先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求事件“”的概率；（2）求事件“且乙獲勝”的概率.解：（1）依題意若，則甲連贏球或甲連輸球，所以.（2）若且乙獲勝，則在前個(gè)球中乙贏一個(gè)、輸一個(gè)，而后乙連贏球，記且乙獲勝為事件，所以.20.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：平面平面；（2）若直線AC與平面所成的角為，二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.（1）證明：在直三棱柱中，易知，又，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過作垂直于點(diǎn)，連接由（1）可知平面平面又平面平面，所以平面，垂足為，則是直線與平面所成的角，即，由（1）可知平面，所以，又，所以是二面角的平面角，即,在中，，在中，又，得，又,，所以.21.已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）求；（2）若點(diǎn)在邊上，且，，求.解：（1）因?yàn)?，正弦定理可得，即，即，因?yàn)?、，則，所以，，即，所以，，因?yàn)椋?，，?（2）因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，，則，則，即，所以，，①由余弦定理可得，又因?yàn)?，所以，，②?lián)立①②可得.22.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面記為平面，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）設(shè)平面，求證：；（2）平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比（其中）；（3）當(dāng)最小時(shí)，求三棱錐的外接球的表面積.（1）證明：連接，因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所?（2）解：在正方形中，直線與直線相交，設(shè)，連接，設(shè)，連接，由為的中點(diǎn)，得為的中點(diǎn)，，所以平面即為平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以平面將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺(tái)，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，另一部分幾何體的體積，兩部分的體積．（3）解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，顯然，，所以，平面，平面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，所以在線段上，又，即為等腰三角形，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)最小，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以其外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，設(shè)為，令，則為的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，所以球心在上，設(shè)球心為，連接、、，設(shè)外接球的半徑為，，則，又，，所以，，解得，則，所以外接球的表面積.廣東省廣州市越秀區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.用2B鉛筆將考生號(hào)、座位號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部是.故選：B2.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，即，即，即，解?故選：A3.在中，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，又，所?故選：C4.為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗A〖解析〗為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：A5.從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A=“抽到的兩人都是男生”，事件B=“抽到1名男生與1名女生”，則（）A.在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，B.在不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，C.在按性別等比例分層抽樣方式下，D.在按性別等比例分層抽樣方式下，〖答案〗D〖解析〗記3名男生為，3名女生為.對(duì)于選項(xiàng)A，有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間為123abc1(1,1)(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)(a,a)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,b)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)(c,c)共36個(gè)樣本點(diǎn)，事件有9個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間為123abc1×(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)×(23)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)×(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)×(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)×(b,c)c(c1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)×共30個(gè)樣本點(diǎn)，事件有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，在按性別等比例分層抽樣方式下，從男生中抽取一人，從女生中抽取一人，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在按性別等比例分層抽樣方式下，先從男生中抽取一人，再從女生中抽取一人，其樣本空間為，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，事件，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.6.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)字特征，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.中位數(shù)為，眾數(shù)為 B.平均數(shù)為，中位數(shù)為C.中位數(shù)為，極差為 D.平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，所以A不可以判斷；對(duì)于B：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，3，4，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以B不能判斷；對(duì)于C：因?yàn)橹形粩?shù)為，極差為，則最大數(shù)不超過，故一定不會(huì)出現(xiàn)，故C正確；對(duì)于D，若平均數(shù)為，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，則其余個(gè)數(shù)的和為，即均為，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤；故選：C．7.三棱錐中，，，.若，，則該三棱錐體積的最大值為（）A.3 B.4 C.6 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，則，所以，又，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B8.在四棱錐中，，，則下列結(jié)論中不成立的是（）A.平面內(nèi)任意一條直線都不與平行B.平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面平行C.平面和平面的交線不與底面平行D.平面和平面的交線不與底面平行〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以四邊形為梯形，且、不平行，?duì)于A：若平面內(nèi)存在直線與平行，又平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，與、不平行矛盾，所以平面內(nèi)任意一條直線都不與平行，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫婧推矫娴囊粋€(gè)交點(diǎn)為，故二者存在過點(diǎn)的一條交線，在平面內(nèi)，與平面和平面的交線平行的所有直線（交線除外）均與平面平行，故B正確；對(duì)于C：若平面和平面的交線與底面平行，設(shè)平面和平面的交線為，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，同理可得，所以，與、不平行矛盾，所以平面和平面的交線不與底面平行，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，平面，平面，所以平面設(shè)平面和平面的交線為，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故平面和平面的交線與底面平行，故D錯(cuò)誤；故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為2”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)為3”，事件“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為4”，事件“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為5”，則（）A.事件與互斥 B.事件與相互獨(dú)立C.事件與互斥 D.事件與相互獨(dú)立〖答案〗CD〖解析〗設(shè)采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件：，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件：，，，有個(gè)，顯然當(dāng)出現(xiàn)時(shí)事件、同時(shí)發(fā)生，故事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即事件與互斥，故C正確；又，，，事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即事件與互斥，則，故事件與不獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；事件發(fā)生包含的基本事件：有個(gè)，所以，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，故D正確；故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以的最小正周期，故A錯(cuò)誤；，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；因，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；若，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD11.已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：若，即，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為、，則且，所以，即，解得，所以，即，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，由，即，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在如圖所示的圓環(huán)內(nèi)（不含邊界）圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為、，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為，故D錯(cuò)誤；故選：AC12.在中，，將分別繞邊，，所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的側(cè)面積分別記為，，，體積分別記為，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)為，高為，所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)為，高為.所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩個(gè)底面重合的圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)分別為和，高之和為.所以其體積，其側(cè)面積.對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，而，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得，所以，則，，所以在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：14.某校為了解高中學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生100名和女生60名，測(cè)量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：性別人數(shù)平均數(shù)方差男生10017218女生6016430根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可計(jì)算出該校高中學(xué)生身高的總樣本方差______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，在樣本中，男生有人，女生有人，則其平均數(shù)，其方差，故〖答案〗為：．15.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于扇形OPQ，其中點(diǎn)B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為______.〖答案〗〖解析〗如圖，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榫匦蜛BCD，，所以，從而可得，所以，，且，為等邊三角形，，又因?yàn)榫匦蜛BCD，，，過點(diǎn)B作的垂線，垂足為N,設(shè)，，，，在中，，，，，當(dāng)，即時(shí)，矩形面積最大，且最大值為故〖答案〗為：16.已知四邊形ABCD是正方形，將沿AC翻折到的位置，點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)E在線段BC上，平面，.若，則______，直線GB與平面所成角的正切值為______.〖答案〗①.2②.3〖解析〗如圖所示：空1：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)G為的重心，所以,所以.空2：取中點(diǎn),連接，則,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，因?yàn)?，，所以，又則為中點(diǎn)，所以，中，,同理可得，，因?yàn)?，所以，又，所以平面，則為在平面內(nèi)的投影，所以或其補(bǔ)角為直線GB與平面所成角，中，，，故〖答案〗為：2；3.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一個(gè)合理的居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：），使得用戶月均用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過的部分按議價(jià)收費(fèi).通過隨機(jī)抽樣，獲得了該市戶居民生活月均用水量（單位：）的數(shù)據(jù)，整理得到如下的頻率分布直方圖.（1）求這戶居民生活月均用水量在區(qū)間內(nèi)的頻率；（2）若該市政府希望的居民生活月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)的值，并說明理由.解：（1）由頻率分布直方圖可知內(nèi)的頻率為.（2）因?yàn)?，又，，則，依題意可得，解得.所以要使的居民生活月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，則居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)為.18.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，點(diǎn)是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，且.