《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（曾慧平）教案 第六章 微分方程 6.2.3 一階線性微分方程

課題一階線性微分方程課時1課時（45min）總39課時教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解一階線性微分方程的概念和分類。（2）掌握一階線性微分方程的解法及應(yīng)用。素質(zhì)目標(biāo)：（1）培養(yǎng)與他人合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣．（2）培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思維，把數(shù)學(xué)理論和方法運用到解決實際問題中去．教學(xué)重難點教學(xué)重點：一階線性微分方程（齊次和非齊次）的概念教學(xué)難點：一階線性微分方程的解法教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計→→→傳授新知（20min）→→強化訓(xùn)練（10min）→課堂小結(jié)（3min）→布置作業(yè)教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請大家復(fù)習(xí)有關(guān)一階微分方程的解的知識?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前任務(wù)，使學(xué)生了解所學(xué)知識的重要性，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到，清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（4min）【教師】提出以下問題：一階齊次線性微分方程與一階非齊次線性微分方程有何區(qū)別？【學(xué)生】思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（20min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識6.2.3一階線性微分方程知識點一階線性微分方程的定義?【教師】介紹一階線性微分方程的定義形如（6-20）的微分方程稱為一階線性微分方程，其中為已知函數(shù)．當(dāng)時，微分方程（6-20）變?yōu)?，?-21）是齊次的，稱為一階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性方程．當(dāng)時，微分方程（6-20）是非齊次的，稱為一階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性方程．?【學(xué)生】聆聽、理解、記錄，知識點一階線性齊次微分方程的解法?【教師】介紹一階線性齊次微分方程的解法齊次線性方程可通過分離變量法來求解，具體如下．齊次線性方程（6-21）是可分離變量的，分離變量后得，上式兩邊積分，得通解，或．．?【學(xué)生】聆聽、理解、記錄?【教師】講解例題例5求微分方程的通解．?【學(xué)生】聆聽、理解、演算知識點一階線性非齊次微分方程的解法?【教師】介紹一階線性非齊次微分方程的解法求非齊次線性方程（6-20）的通解，可采用常數(shù)變易法，也就是將上述齊次線性方程通解中的常數(shù)換成的未知函數(shù)，即作變換，（6-22）于是．（6-23）將式（6-22）、式（6-23）代入式（6-20），得，即，兩邊積分得，把上式代入式（6-22）得非齊次線性方程（6-20）的通解為．（6-24）式（6-24）可化為，該式右邊第一項是對應(yīng)齊次線性方程（6-21）的通解，第二項是非齊次線性方程（6-20）的一個特解（在式（6-24）中取便可得到這個特解），所以非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和．?【學(xué)生】聆聽、理解、記錄，?【教師】講解例題例6求微分方程的通解．例7求微分方程滿足初值條件的特解．【學(xué)生】聆聽、思考、演算、對比演算步驟和結(jié)果通過教師講解和例題分析，使學(xué)生理解一階線性微分方程的定義，并掌握一階線性微分方程的解題方法解題技巧歸納（4min）【教師】歸納解題的技巧1．所謂線性方程，指的是方程中的都是一次的．2．當(dāng)一階線性微分方程不是關(guān)于未知函數(shù)和的方程時，可將看成關(guān)于的未知函數(shù)，而一階線性微分方程則是關(guān)于未知函數(shù)和的方程，于是有．這時可利用常數(shù)變異法得到上述方程的通解為．【學(xué)生】聆聽、理解、記筆記通過提煉知識-點有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的高效性強化練習(xí)（10min）【教師】通過APP發(fā)送強化練習(xí)作業(yè)題，并點名部分學(xué)生進行板演1．判別下列一階微分方程中，哪些屬于可分離變量微分方程？哪些屬于一階線性微分方程？（1）； （2）2．求下列微分方程的通解．（1）； （2）；（3）； （4）；對比自己的計算結(jié)果，提升解題技巧通過強化練習(xí)，使學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課學(xué)習(xí)了一階線性微分方程的相關(guān)知識，包括齊次線性方程的解法，以及非齊次線性方程的解法等內(nèi)容。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固課上所學(xué)知識，熟練掌握一階線性微分方程的求解，及其在實際問題中的應(yīng)用?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，鞏固學(xué)生一階微分方程相關(guān)知識的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成教材中小節(jié)作業(yè)6.2中與本課相關(guān)的習(xí)題本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后作業(yè)通過課后作業(yè)復(fù)習(xí)鞏固學(xué)到的知識，提高實際計算能力教學(xué)反思本