數(shù)值分析教案

1.5分段線性插值從已知的某些離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及其函數(shù)值，即函數(shù)的列表法表達(dá)，推求出未知點(diǎn)上的函數(shù)值的所謂插值辦法，在科技工作中應(yīng)用十分廣泛，如核對數(shù)表、三解函數(shù)表中都會碰到這類插值問題。MATLAB中設(shè)有許多插值指令，這里僅介紹最慣用的一元函數(shù)插值指令，它能夠使前面講過的理論得以計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。1.5.1一元函數(shù)插值（查表）的MATLAB實(shí)現(xiàn)該命令的調(diào)用格式為：①輸入?yún)?shù)x和y為已知的兩個(gè)同維向量和，滿足函數(shù)關(guān)系，它們是進(jìn)行“造表”的根據(jù)，把稱為樣本點(diǎn)即插值節(jié)點(diǎn)。②輸出量是與對應(yīng)的函數(shù)值。插值點(diǎn)能夠是數(shù)值、向量或矩陣，與維數(shù)相似，其元素一一對應(yīng)。③用單引號界定的method有4種參數(shù)可供選擇：nearest近來插值——用直角折線連接各樣本點(diǎn)。linear線性插值——用直線依次連接各樣本點(diǎn)，形成折線。省略'method'時(shí)，即默認(rèn)為此項(xiàng)。pchip(或cubic)分段三次插值——用分段三次多項(xiàng)式Hermite插值曲線，依次連接相鄰樣本點(diǎn)，整體上含有函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)持續(xù)性。spline三次樣條插值——用分段三次多項(xiàng)式曲線光滑地連接相鄰樣本點(diǎn)，整體上含有函數(shù)、一階和二階導(dǎo)數(shù)持續(xù)性，插值點(diǎn)能夠在區(qū)間[]外的附近取值，能夠是數(shù)值、向量或矩陣，與同維。這個(gè)命令并不輸出插值多項(xiàng)式函數(shù)，只輸出插值點(diǎn)上的函數(shù)值。這就相稱于根據(jù)數(shù)據(jù)對“造表”，然后查出對應(yīng)用于的函數(shù)值，因此又稱為查表指令?！纠?-8】在區(qū)間[0，10]畫出的曲線，取插值節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，作分段線性插值，并畫出對應(yīng)的折線圖，將兩圖形繪在一張圖上。解：編輯窗口輸入下列命令：x=0:10;y=sin(x);xi=0:0.5:10;yi=interp1(x,y,xi,'linear')t=0:0.001:10；z=sin(t);plot(x,y,'ro',xi,yi,t,z,'linewidth',2);legend('插值節(jié)點(diǎn)','線性插值','sinx')執(zhí)行命令后得如圖1-5所示圖形圖1-5分段線性插值圖形顯示【例7-9】已知，用interp1函數(shù)'linear'辦法求的近似值。解：在命令窗口輸入：>>x=[14916];y=[1234];>>xi=11;>>yi=interp1(x,y,xi,'linear')回車得到：yi=3.28571.5.2龍格現(xiàn)象與分段插值僅從截?cái)嗾`差公式來看，用插值多項(xiàng)式近似替代函數(shù)時(shí)，似乎分點(diǎn)數(shù)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，產(chǎn)生的截?cái)嗟恼`差就越小，事實(shí)上并非如此。龍格證明（稱龍格現(xiàn)象），高次插值多項(xiàng)式并不一定都能收斂到被插值的函數(shù)上，并且還增加了許多工作量。例如，將函數(shù)用10次插值多項(xiàng)式函數(shù)替代時(shí)，高次插值多項(xiàng)式并不抱負(fù)，這可從圖1-6看出。圖中實(shí)線是函數(shù)的曲線，虛線是用拉格朗日插值多項(xiàng)式函數(shù)畫的，即使多項(xiàng)式插值函數(shù)都過了樣本點(diǎn)。點(diǎn)線是線性插值，實(shí)線是函數(shù)的曲線。能夠證明，當(dāng)節(jié)點(diǎn)無限加密時(shí)，Lagrange插值多項(xiàng)式也只能在很小范疇內(nèi)收斂。這一現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象，它表明通過增加節(jié)點(diǎn)來提高逼近程度是不適宜的。因而普通不采用高次多項(xiàng)式插值。1-6Runge現(xiàn)象【例1-】在Runge給出的等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式不收斂的例子中，函數(shù)為在[-5,-5]區(qū)間以0.1為步長分別進(jìn)行Lagrange插值和分段線性插值，比較兩種插值成果。解clear;x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interp1(x,y,x0)plot(x,y,'ro','linewidth',2)holdon;plot(x0,y0,'--','linewidth',2);holdon;plot(x0,y1,'linewidth',2);holdonplot(x0,y2,'r:','linewidth',2);legend('插值節(jié)點(diǎn)','拉格朗日插值','1/(1+x^2)','線性插值')程序運(yùn)行成果如圖1-6所示。從圖中能夠看出，Lagrange插值的虛線已經(jīng)嚴(yán)重偏離了原函數(shù)的實(shí)線，而分段線性插值出的點(diǎn)線是收斂的。直觀上容易想像，如果不用多項(xiàng)式曲線，而是將曲線的兩個(gè)相鄰的點(diǎn)用線段連接（見1-7圖），這樣得到的折線必然能較好地近似曲線。并且只要持續(xù)，節(jié)點(diǎn)越密，近似程度越好。由此得到啟發(fā)，為提高精度，在加密節(jié)點(diǎn)時(shí)，能夠把節(jié)點(diǎn)分成若干段，分段用低次多項(xiàng)式近似函數(shù)，這就是分段插值的思想。用折線近似曲線，相稱于分段用線性插值，稱為分段線性插值。圖1-7分段線性插值設(shè)在區(qū)間上給定個(gè)節(jié)點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，作為一種插值函數(shù)，使其滿足（1）；（2）在每個(gè)社區(qū)間上，是線性插值函數(shù)。稱函數(shù)為上有關(guān)數(shù)據(jù)的分段線性插值函數(shù)。由Lagrange線性插值公式容易寫出的分段體現(xiàn)式（1）也能夠通過構(gòu)造基函數(shù)的辦法來求。首先構(gòu)造一組基函數(shù)，每個(gè)滿足。（1）；（2）在每個(gè)社區(qū)間上是線性函數(shù)。這組函數(shù)稱為分段線性插值函數(shù)?？芍苯訉懗龅捏w現(xiàn)式以下：類似于Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造，函數(shù)就是所求的分段插值函數(shù)。它與式（1）表達(dá)同一種函數(shù)?！纠?-7】已知函數(shù)，在上取等距節(jié)點(diǎn)。求分段線性插值函數(shù)，并由此計(jì)算的近似值。解節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值以下表0123451.000000.500000.00.100000.058820.03846由式1，在區(qū)間上分段線性插值函數(shù)為將代入，得與精確值比較，成果是比較令人滿意的。分段線性插值的誤差預(yù)計(jì)以下。定理1如果在上二階持續(xù)可微，則分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)有下列預(yù)計(jì)其中。證明由于在每個(gè)社區(qū)間上，是的線性插值，由余項(xiàng)定理，對任意有又由于因而于是因此，對任意，都有分段線性插值簡便易行，定理還表明，當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密時(shí)，分段線性插值誤差變小，收斂性有確保。另首先，在分段線性插值中，每個(gè)社區(qū)間上的插值函數(shù)只依賴于本段的節(jié)點(diǎn)值，因而每個(gè)節(jié)點(diǎn)只影響到節(jié)點(diǎn)鄰近的一、二個(gè)社區(qū)間，計(jì)算過程中數(shù)據(jù)誤差基本上不擴(kuò)大，從而確保了節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)增加時(shí)插值過程的穩(wěn)定性。但分段線性插值函數(shù)僅在上持續(xù)，普通地，在節(jié)點(diǎn)處插值函數(shù)不可微，這就不能滿足有些工程