高二數(shù)學(xué)之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4課件：2.1曲線(xiàn)的參數(shù)方程 第一課時(shí).1

講參數(shù)方程一曲線(xiàn)的參數(shù)方程第1課時(shí)參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程高二數(shù)學(xué)PPT之人教版數(shù)學(xué)選修4-4課件：2.1曲線(xiàn)的參數(shù)方程課時(shí).12021/5/91【自主預(yù)習(xí)】1.曲線(xiàn)的參數(shù)方程的定義一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)________①,并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組①所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線(xiàn)上,那么方程組①就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程.變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)_____.參數(shù)2021/5/922.圓的參數(shù)方程圓心和半徑圓的坐標(biāo)方程圓的參數(shù)方程圓心O(0,0),半徑rx2+y2=r2

圓心C(a,b),半徑r(x-a)2+(y-b)2=r2

2021/5/93【即時(shí)小測(cè)】1.曲線(xiàn)(θ為參數(shù))圍成圖形的面積等于(

)A.π B.2π C.3π D.4π2021/5/94【解析】選D.曲線(xiàn)即(θ為參數(shù))表示圓心為(-1,3),半徑為2的圓,所以面積等于4π.2021/5/952.已知(t為參數(shù)),若y=1,則x=________.【解析】若y=1,則t2=1,則t=±1,x=0或2.答案:0或22021/5/96【知識(shí)探究】探究點(diǎn)參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程1.曲線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的實(shí)際意義是什么?提示:在曲線(xiàn)的參數(shù)方程中,參數(shù)可以有明確的幾何意義,也可以有明確的物理意義,如時(shí)間、旋轉(zhuǎn)角等.當(dāng)然也可以是沒(méi)有實(shí)際意義的變數(shù).2021/5/972.圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是什么?提示:(1)圓的參數(shù)方程中參數(shù)θ的幾何意義:射線(xiàn)Ox繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM(M(x,y)是圓上的任意一點(diǎn))位置時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度.如圖所示.2021/5/98(2)圓的參數(shù)方程中參數(shù)θ的幾何意義:如圖所示,設(shè)其圓心為C,CM0∥x軸,則參數(shù)θ的幾何意義是CM0繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CM(M(x,y)是圓上的任意一點(diǎn))位置時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度.2021/5/99【歸納總結(jié)】1.曲線(xiàn)的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí)(1)參數(shù)方程的形式:曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)x,y都是變量t的函數(shù),給出一個(gè)t能唯一地求出對(duì)應(yīng)的x,y的值,因而得出唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn);但是橫、縱坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系.2021/5/910(2)參數(shù)的取值范圍:在表示曲線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí),必須指明參數(shù)的取值范圍.因?yàn)槿≈捣秶煌?所表示的曲線(xiàn)也會(huì)有所不同.2021/5/9112.參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性(1)參數(shù)的作用:參數(shù)是間接地建立橫、縱坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系的中間變量,起到了橋梁的作用.(2)參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化:曲線(xiàn)的普通方程是相對(duì)參數(shù)方程而言的,普通方程反映了坐標(biāo)變量x與y之間的直接聯(lián)系,而參數(shù)方程是通過(guò)變數(shù)反映坐標(biāo)變量x與y之間的間接聯(lián)系.2021/5/912特別提醒:普通方程和參數(shù)方程是同一曲線(xiàn)的兩種不同表達(dá)形式,參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化.2021/5/913類(lèi)型一參數(shù)方程的表示與應(yīng)用【典例】已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是(t為參數(shù),a∈R)點(diǎn)M(-3,4)在曲線(xiàn)C上.

(1)求常數(shù)a的值.(2)判斷點(diǎn)P(1,0),Q(3,-1)是否在曲線(xiàn)C上.2021/5/914【解題探究】典例中如何求常數(shù)的值?如何判斷點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系?提示:為了求常數(shù)的值,只需將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別代入?yún)?shù)方程中的x,y,消去參數(shù)t,求a即可.要判斷點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系,只要將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)的參數(shù)方程檢驗(yàn)即可,若點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解,則點(diǎn)在曲線(xiàn)上,否則,點(diǎn)不在曲線(xiàn)上.2021/5/915【解析】(1)將點(diǎn)M(-3,4)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)C的參數(shù)方程得消去參數(shù)t,解得a=1.2021/5/916(2)由上述可得,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是將點(diǎn)(1,0)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程得得t=0,因此點(diǎn)(1,0)在曲線(xiàn)C上.將點(diǎn)(3,-1)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程得方程組無(wú)解,因此點(diǎn)(3,-1)不在曲線(xiàn)C上.2021/5/917【方法技巧】點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡:滿(mǎn)足某種約束條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成曲線(xiàn),點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系有兩種:點(diǎn)在曲線(xiàn)上,點(diǎn)不在曲線(xiàn)上.2021/5/918(2)對(duì)于曲線(xiàn)C的普通方程f(x,y)=0,若點(diǎn)M(x1,y1)在曲線(xiàn)上,則點(diǎn)M(x1,y1)的坐標(biāo)是方程f(x,y)=0的解,即有f(x1,y1)=0.若點(diǎn)N(x2,y2)不在曲線(xiàn)上,則點(diǎn)N(x2,y2)的坐標(biāo)不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.2021/5/919(3)對(duì)于曲線(xiàn)C的參數(shù)方程(t為參數(shù))若點(diǎn)M(x1,y1)在曲線(xiàn)上,則對(duì)應(yīng)的參數(shù)t有解,否則無(wú)解,即參數(shù)t不存在.2021/5/920【變式訓(xùn)練】已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)判斷點(diǎn)A(1,0),B(3,2)與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系.(2)若點(diǎn)M(10,a)在曲線(xiàn)C上,求實(shí)數(shù)a的值.2021/5/921【解析】(1)把點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)代入方程組,解得t=0,所以點(diǎn)A(1,0)在曲線(xiàn)上.把點(diǎn)B(3,2)的坐標(biāo)代入方程組,得即故方程組無(wú)解,所以點(diǎn)B不在曲線(xiàn)上.2021/5/922(2)因?yàn)辄c(diǎn)M(10,a)在曲線(xiàn)C上,所以解得所以a=±6.2021/5/923類(lèi)型二求曲線(xiàn)的參數(shù)方程【典例】長(zhǎng)為3的線(xiàn)段兩端點(diǎn)A,B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)以直線(xiàn)AB的傾斜角α為參數(shù),求曲線(xiàn)C的參數(shù)方程.(2)求點(diǎn)P到點(diǎn)D(0,-2)距離的最大值.2021/5/924【解題探究】典例中點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的幾等分點(diǎn)?如何建立點(diǎn)的坐標(biāo)的參數(shù)方程?如何求距離的最大值?提示:點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的一個(gè)三等分點(diǎn),利用三角函數(shù)建立點(diǎn)的坐標(biāo)的參數(shù)方程.建立距離的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值.2021/5/925【解析】(1)設(shè)P(x,y),由題意,得所以曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為2021/5/926(2)由(1)得|PD|2=(-2cosα)2+(sinα+2)2=4cos2α+sin2α+4sinα+4=-3sin2α+4sinα+8=當(dāng)時(shí),|PD|取得最大值

2021/5/927【方法技巧】求曲線(xiàn)的參數(shù)方程的注意事項(xiàng)(1)求曲線(xiàn)的參數(shù)方程關(guān)鍵是確定參數(shù),本題以線(xiàn)段所在直線(xiàn)的傾斜角為參數(shù),通過(guò)解直角三角形得到曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的三角函數(shù)方程.2021/5/928(2)求兩點(diǎn)間距離的最大值的關(guān)鍵是利用參數(shù)方程建立目標(biāo)函數(shù),通過(guò)配方法求函數(shù)的最值,要注意函數(shù)的定義域.2021/5/929【變式訓(xùn)練】1.若x=t-1(t為參數(shù)),求直線(xiàn)x+y-1=0的參數(shù)方程.【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2,所以直線(xiàn)x+y-1=0的參數(shù)方程為2021/5/9302.已知邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng),頂點(diǎn)B在x軸的非負(fù)半軸上移動(dòng),求頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程.2021/5/931【解析】如圖,設(shè)C(x,y),∠ABO=θ,過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)段CM,垂足為M.則所以（θ為參數(shù)，0≤θ≤）為所求.2021/5/932類(lèi)型三圓的參數(shù)方程與應(yīng)用【典例】(2016·漳州高二檢測(cè))已知曲線(xiàn)C1:(t為參數(shù)),C2:(θ為參數(shù)).(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線(xiàn).2021/5/933(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=,Q為C2上的動(dòng)點(diǎn),求PQ中點(diǎn)M到直線(xiàn)C3:

(t為參數(shù))距離的最小值.2021/5/934【解題探究】(1)如何根據(jù)參數(shù)方程判斷曲線(xiàn)的形狀?提示:將參數(shù)方程化為普通方程再判斷曲線(xiàn)形狀.(2)如何求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值?提示:利用參數(shù)方程化為三角函數(shù)的最小值求解.2021/5/935【解析】(1)由曲線(xiàn)C1:(t為參數(shù))得利用三角函數(shù)的平方和公式消去參數(shù)t,得C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲線(xiàn)C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓.同理,得C2:曲線(xiàn)C2為中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8,短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.2021/5/936(2)當(dāng)t=時(shí),P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故C3為直線(xiàn)x-2y-7=0,M到C3的距離d=|4cosθ-3sinθ-13|=|5cos(θ+φ)-13|,當(dāng)cos(θ+φ)=1時(shí),d取得最小值

2021/5/937【方法技巧】(1)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是角,所以圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是三角函數(shù).(2)與距離有關(guān)的最大值或最小值問(wèn)題,常常利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決.2021/5/938【變式訓(xùn)練】1.(2016·合肥高二檢測(cè))設(shè)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)),直線(xiàn)l的方程為x-3y+2=0,則曲線(xiàn)C上到直線(xiàn)l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.42021/5/939【解析】選B.曲線(xiàn)C:(θ為參數(shù))的普通方程為(x-2)2+(y+1)2=9,表示圓心C(2,-1),r=3的圓,由于圓心(2,-1)到直線(xiàn)x-3y+2=0的距離為2021/5/940又r-2d=所以r-d<d,所以圓C上到l距離為的點(diǎn)有2個(gè).2021/5/9412.已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最大值是________.2021/5/942【解析】由題意,設(shè)點(diǎn)Q(cosθ,sinθ),則故|PQ|max=答案:22021/5/943自我糾錯(cuò)參數(shù)方程表示曲線(xiàn)的判斷【典例】(2016·漳州高二檢測(cè))參數(shù)方程為(t為參數(shù))表示的曲線(xiàn)是(

)A.一條直線(xiàn) B.兩條直線(xiàn)C.一條射