內(nèi)蒙古包頭市九原區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市九原區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定2．（3分）用配方法解方程x2﹣10x+1＝0，配方后的方程可化為（）A．（x+5）2＝25 B．（x﹣5）2＝24 C．（x﹣5）2＝25 D．（x+5）2＝243．（3分）如圖，直線a∥b，直線AC，BC＝2，DE＝1.8（）A．0.9 B．1.8 C．2.7 D．3.64．（3分）如圖，是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖所標(biāo)注的尺寸（）A． B． C． D．1cm5．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，若∠BAE＝53°（）A．13° B．14° C．15° D．16°6．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．﹣27．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E（）A． B． C．4 D．8．（3分）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝3，點(diǎn)D，AC上，連結(jié)DE，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC的延長線上，若FD平分∠EFB（）A． B． C． D．二、填空題9．（3分）△ADE∽△ABC，相似比為1：2，則△ADE與△ABC的周長比為．10．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣2，則a＝．11．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AD＝3，AC＝5．12．（3分）公園原有一塊正方形空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（陰影部分），原空地一邊減少了3m，剩余空地面積為56m2，設(shè)正方形空地原來的邊長為xm，則可列方程為．13．（3分）如圖，矩形ABCD的邊長AD＝8，AB＝6，AC分別與DE，DB相交于點(diǎn)M，N．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，大于AB長為半徑畫弧，作直線MN分別交AB，AC于D，EAE＝1，則CD＝．15．（3分）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，則m＝．16．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，AB上，AE＝BD，DG是△CDF的高，若BD＝2，則DG的長等于．三、解答題17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣11＝0；（2）x（x﹣4）＝5（4﹣x）．18．（6分）已知關(guān)于x的方程x2+2x﹣a+1＝0沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程x2+ax+a＝0的根的情況．19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，且∠APD＝90°．求證：△ABP∽△PCD．20．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？21．（10分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，將矩形ABCD沿直線EF對(duì)折后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合求證：四邊形AECF為菱形．22．（12分）如圖①，在正方形ABCD中，AB＝6（不與B、D重合），連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥CM（1）求證：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求證：AN＝4BN；（3）如圖②，連接NC交BD于點(diǎn)G．若BG：MG＝3：5，求NG?CG的值．2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市九原區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定【分析】把a(bǔ)＝2，b＝﹣3，c＝1代入判別式Δ＝b2﹣4ac進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，∴Δ＝b3﹣4ac＝（﹣3）6﹣4×2×3＝1＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ＝b2﹣4ac．掌握當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵．2．（3分）用配方法解方程x2﹣10x+1＝0，配方后的方程可化為（）A．（x+5）2＝25 B．（x﹣5）2＝24 C．（x﹣5）2＝25 D．（x+5）2＝24【分析】把常數(shù)項(xiàng)1移項(xiàng)后，在方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣10的一半的平方，然后配方即可．【解答】解：x2﹣10x+1＝2，移項(xiàng)得：x2﹣10x＝﹣1，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x6﹣10x+25＝﹣1+25，配方得（x﹣5）7＝24．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程—配方法．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．3．（3分）如圖，直線a∥b，直線AC，BC＝2，DE＝1.8（）A．0.9 B．1.8 C．2.7 D．3.6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【解答】解：∵a∥b，AB＝1，DE＝1.6，∴，即，解得：AD＝0.4則AE＝AD+DE＝0.9+3.8＝2.2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．4．（3分）如圖，是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖所標(biāo)注的尺寸（）A． B． C． D．1cm【分析】據(jù)小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它們的對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出CD之長．【解答】解：如圖過O作直線OE⊥AB，交CD于F，依題意AB∥CD∴OF⊥CD∴OE＝12，OF＝2而AB∥CD可以得△AOB∽△COD∵OE，OF分別是它們的高∴，∵AB＝6，∴CD＝5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像原理給我們帶來的已知條件，還有會(huì)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．5．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，若∠BAE＝53°（）A．13° B．14° C．15° D．16°【分析】由正方形的性質(zhì)得AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，則∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，所以∠ABD＝∠CBD，而∠BAE＝53°，則∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝82°，再證明△ABE≌△CBE，得∠AEB＝∠CEB＝82°，則∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝16°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BAE＝53°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝180°﹣45°﹣53°＝82°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB＝∠CEB＝82°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝180°﹣82°﹣82°＝16°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABE≌△CBE是解題的關(guān)鍵．6．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整體代入的方法計(jì)算（1+x1）+x2（1﹣x1）的值．【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝6，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x4（1﹣x1）＝7+x1+x2﹣x7x2＝1+2﹣（﹣2）＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．7．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E（）A． B． C．4 D．【分析】利用菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，求解菱形的面積，再利用等面積法求菱形的高CE即可．【解答】解：記AC與BD的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，∴，OA＝OC＝3，AC⊥BD，∴，∴S菱形ABCD＝AD?CE＝5CE，∴6CE＝24，∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理，理解菱形的對(duì)角線互相垂直平分和學(xué)會(huì)用等面積法是解題關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝3，點(diǎn)D，AC上，連結(jié)DE，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC的延長線上，若FD平分∠EFB（）A． B． C． D．【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根據(jù)FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．【解答】解：作DH⊥BC于H，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝，∵將△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH，∴∠DFH＝∠A，設(shè)DH＝6x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin∠A＝，∴DF＝4x，∴BD＝5﹣5x，∵△BDH∽△BAC，∴，∴，∴x＝，∴AD＝5x＝．∴BD＝5﹣＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等來解決問題，通過相似表示線段和列方程是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題9．（3分）△ADE∽△ABC，相似比為1：2，則△ADE與△ABC的周長比為1：2．【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ADE與△ABC的相似比為1：2，∴△ADE與△ABC的周長比＝4：2．故答案為：1：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．10．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣2，則a＝2．【分析】把x＝﹣2代入x2+3x+a＝0中得到關(guān)于a的方程，然后解此方程即可．【解答】解：把x＝﹣2代入x2+8x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．11．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AD＝3，AC＝5．【分析】根據(jù)射影定理列出等積式，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝5，∴CD＝＝＝4，∴CD8＝AD?BD＝16，則BD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是射影定理的應(yīng)用，直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)．12．（3分）公園原有一塊正方形空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（陰影部分），原空地一邊減少了3m，剩余空地面積為56m2，設(shè)正方形空地原來的邊長為xm，則可列方程為（x﹣3）（x﹣2）＝56．【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和圖形，可以得到方程（x﹣3）（x﹣2）＝56，本題得以解決．【解答】解：由圖可得，（x﹣3）（x﹣2）＝56，故答案為：（x﹣4）（x﹣2）＝56．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．13．（3分）如圖，矩形ABCD的邊長AD＝8，AB＝6，AC分別與DE，DB相交于點(diǎn)M，N．【分析】由勾股定理求出AC長，則AN＝＝5，證明△AEM∽△CDM，可求出AM長，則MN的長可求出．【解答】解：∵矩形ABCD的邊長AD＝8，AB＝6，∴AC＝BD＝＝＝10，∴AN＝＝5，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∴△AEM∽△CDM，∴，∴，∴，∴MN＝AN﹣AM＝4﹣．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，求出AN與AM的長是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，大于AB長為半徑畫弧，作直線MN分別交AB，AC于D，EAE＝1，則CD＝．【分析】連接BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，BE＝AE，根據(jù)勾股定理求出BC，AB，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：連接BE，∵CE＝AE＝5，∴AE＝3，∴AC＝4，由作圖可知MN垂直平分線段AB，∴BE＝AE＝2，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝3AB，∴AB＝＝＝2，∴CD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．15．（3分）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，則m＝4或﹣3．【分析】直接利用已知將原式變形進(jìn)而解方程得出答案．【解答】解：∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．∴（m+3）*（m﹣3）＝24，∴（m+2+m﹣6）2﹣（m+2﹣m+4）2＝24，則（2m﹣8）2﹣25＝24，則2m﹣2＝±7，解得：m1＝5，m2＝﹣3．故答案為：6或﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確解方程是解題關(guān)鍵．16．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，AB上，AE＝BD，DG是△CDF的高，若BD＝2，則DG的長等于．【分析】證明△CAE≌△ABD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACE＝∠BAD，證明△EAF∽△DAB，得出，過點(diǎn)D作DH∥CE，交AB于點(diǎn)H，求出EH＝BE＝，設(shè)AF＝3x，則AD＝7x，則3x?7x＝12，解方程求出DF的長，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠CAE＝∠ABD＝60°．在△CAE與△ABD中，，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠BAD，∴∠AFE＝∠ACE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠AFE＝∠ABD，又∵∠EAF＝∠BAD，∴△EAF∽△DAB，∴，∴，過點(diǎn)D作DH∥CE，交AB于點(diǎn)H，∴，∵AE＝BD＝2，AB＝BC＝6，∴BE＝3，∴EH＝BE＝，∵EF∥DH，∴＝，∴，設(shè)AF＝7x，則AD＝7x，∴3x?7x＝12，∴x＝（負(fù)值舍去），∴AF＝，∴DF＝，∵∠AFE＝∠DFG＝60°，∴DG＝DF?sin60°＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣11＝0；（2）x（x﹣4）＝5（4﹣x）．【分析】（1）根據(jù)配方法將方程轉(zhuǎn)化為（x﹣1）2＝12，開平方即可．（2）根據(jù)因式分解法將方程轉(zhuǎn)化為（x+5）（x﹣4）＝0，再求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝11，x6﹣2x+1＝11+8，（x﹣1）2＝12，x﹣4＝±，解得x3＝，x2＝．（2）x（x﹣4）+7（x﹣4）＝0，（x+8）（x﹣4）＝0，x+4＝0或x﹣4＝8，解得x1＝﹣5，x8＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法、配方法，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．18．（6分）已知關(guān)于x的方程x2+2x﹣a+1＝0沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程x2+ax+a＝0的根的情況．【分析】直接利用根的判別式得出a的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x﹣a+7＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4﹣3（﹣a+1）＜0，解得：a＜8，方程x2+ax+a＝0的根的判別式是：Δ＝a5﹣4a＝a（a﹣4），∵a＜7，a﹣4＜0，∴Δ＞8，∴關(guān)于x的方程x2+ax+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根的判別式，正確得出a的取值范圍是解題關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，且∠APD＝90°．求證：△ABP∽△PCD．【分析】通過倒互余可得∠BAP＝∠CPD，再結(jié)合∠B＝∠C可得結(jié)論．【解答】證明：∵∠APD＝90°，∠B＝∠C＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，∴∠CPD＝∠BAP，又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定，互余等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意得出∠CPD＝∠BAP是解題關(guān)鍵．20．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個(gè)頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x2＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y4﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y5＝50，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，將矩形ABCD沿直線EF對(duì)折后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合求證：四邊形AECF為菱形．【分析】由折疊可知OA＝OC，EF⊥AC，易根據(jù)AAS證明△OAE≌△OCF，得到OE＝OF，于是根據(jù)“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形”即可證明四邊形AECF為菱形．【解答】證明：∵將矩形ABCD沿直線EF對(duì)折后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴OA＝OC，EF⊥AC，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，EF⊥AC，∴四邊形AECF為菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)和判定菱形的方法是解題關(guān)鍵．22．（12分）如圖①，在正方形ABCD中，AB＝6（不與B、D重合），連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥CM（1）求證：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求證：AN＝4BN；（3）如圖②，連接NC交BD于點(diǎn)G．若BG：MG＝3：5，求NG?CG的值．【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，證四邊