考研數(shù)學二(填空題)模擬試卷51(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷51(題后含答案及解析)題型有：1.1．若3階非零方陣B的每一列都是方程組的解，則λ=______，｜B｜=_______．正確答案：1；0解析：由條件知方程組有非零解，故其系數(shù)行列式｜A｜==5(λ-1)=0，故λ=1．又由條件知AB=O，若｜B｜≠0，則B可逆，用B-1右乘AB=O兩端得A=O，這與A≠O矛盾，故｜B｜=0．知識模塊：線性方程組2．設A，B為3階矩陣，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，則｜A+B-1｜=_____________.正確答案：3涉及知識點：行列式3．當x→0時，kx2與[*]是等階無窮小，則k=___________.正確答案：3/4涉及知識點：行列式4．設函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則A=______。正確答案：解析：令函數(shù)其中g(x)，h(x)分別在[a，x0]，(x0，b]上是初等函數(shù)，因此連續(xù)，且f(x)在x0連續(xù)。所以g(x0)=h(x0)。對任意常數(shù)A，顯然x≠1時，f(x)連續(xù)。當且僅當時，f(x)在x=1連續(xù)。因此，當時，f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)。知識模塊：函數(shù)、極限、連續(xù)5．已知且AXA*=B，r(X)=2，則a=_____________?正確答案：0解析：根據(jù)A可逆可知，其伴隨矩陣A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，則知識模塊：矩陣6．設函數(shù)f(x)=且1+bx＞0，則當f(x)在x=0處可導時，f’(0)_________正確答案：解析：利用洛必達法則，，由于f(x)在x=0處可導，則在該點處連續(xù)，就有b=f(0)=一1，再由導數(shù)的定義及洛必達法則，有知識模塊：一元函數(shù)微分學7．設矩陣A與B=相似，則r(A)+r(A一2E)=_________。正確答案：3解析：矩陣A與B相似，則A一2E與B一2E相似，而相似矩陣具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。知識模塊：矩陣的特征值和特征向量8．設f(x)在[a，b]上連續(xù)可導，f(a)=f(b)=0，且∫abf2(x)dx=1，則∫abxf(x)f’(x)dx=_________．正確答案：解析：因=f(x)f’(x)，所以∫abxf(x)f’(x)dx=∫abxd∫abf2(x)dx=.知識模塊：一元函數(shù)積分概念、計算及應用9．∫02πsinnxcosmxdx(自然數(shù)n或m為奇數(shù))=________．正確答案：0解析：由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得In，m∫02πsinnxcosmxdx=∫－ππsinnxcosmxdx．當n為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故In，m=0．當m為奇數(shù)(設m=2k+1，k=0，1，2，…)時In，m=∫－ππsinnx(1－sin2x)kdsinx=R(sinx)｜－ππ=0，其中R(u)為u的某個多項式(不含常數(shù)項)．因此，In，m=0．知識模塊：一元函數(shù)積分概念、計算及應用10．已知矩陣X滿足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=_________。正確答案：解析：左乘矩陣A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩陣方程，得｜A｜X=E+2AX，移項可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)一1。已知｜A｜=4，所以知識模塊：矩陣11．設矩陣A，B滿足A*BA=2BA-8E，且A=，則B=______．正確答案：解析：由A*BA=2BA-8E，得AA-1BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1=知識模塊：線性代數(shù)12．設f(x，y)連續(xù)，且,x=1，y=2所圍區(qū)域，則f(x，y)=_________．正確答案：解析：知識模塊：多元函數(shù)微積分學13．設η為非零向量，A=，η為方程組AX=0的解，則a=________，方程組的通解為______．正確答案：k(-3，1，2)T解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是方程組AX=0的通解為k(-3，1，2)T．知識模塊：線性代數(shù)14．微分方程(y+x2e－x)dx一xdy=0的通解是y=_________。正確答案：x(一e－x+C)解析：微分方程(y+x2e－x)dx—xdy=0，可變形為=xe－x。所以其通解為y==x(一e－x+C)。知識模塊：常微分方程15．I＝｜χy｜dχdy＝_______．正確答案：涉及知識點：二重積分16．設D由y＝及χ軸圍成，f(χ，y)＝χy－(χ，y)dχdy，求f(χ，y)＝_______．正確答案：χy－解析：令A＝f(χ，y)dχdy，則f(χ，y)＝χy－A，積分得A＝，解得A＝χydχdy，令(0≤θ≤，0≤r≤2cosθ)，則故f(χ，y)＝χy－．知識模塊：重積分17．設n維向量α1，α2，α3滿足2α1一α2+3α3=0，對于任意的n維向量β，向量組l1βα1，l2β+α2，l3β+α3都線性相關，則參數(shù)l1，l2，l3應滿足關系____________．正確答案：2l1一l2+3l3=0解析：因l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3線性相關甘存在不全為零的k1，k2，k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0，即(k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0．因β是任意向量，α1，α2，α3滿足2α1一α2+3α3=0，故令2l1一l2+3l3=0時上式成立，故l1，l2，l3應滿足2l1一l2+3l3=0．知識模塊：線性代數(shù)18．I(χ)＝在區(qū)間[－1，1]上的最大值為_______．正確答案：ln3涉及知識點：一元函數(shù)積分學19．設A是三階矩陣，|A|=3，且滿足|A2+2A|=0，|2A2+A|=0，則A*的特征值是_______．正確答案：解析：|A||A+2E|=0，因|A|=3，則|A+2E|=0，故A有特征值λ1=一2．因|A|=3=λ1λ2λ3，故λ3=3．故A*有特征值知識模塊：線性代數(shù)20．A是3階矩陣，它的特征值互不相等，并且｜A｜＝0，則r(A)＝_______．正確答案：2．解析：A的特征值互不相等，因此相似于對角矩陣，并且對角線上的元素就是A的特征值，為3個互不相等數(shù)．其中有一個為0(因為｜A｜＝0)，則r(A)＝2．知識模塊：特征向量與特征值、相似、對角化21．設f(x)連續(xù)，且f(1)=1，則=_______正確答案：解析：知識模塊：高等數(shù)學部分22．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3經(jīng)正交變換化為標準形y12+2y32，則a=______.正確答案：0解析：二次型及其標準形的矩陣分別是A=在正交變換下二次型矩陣A和標準形矩陣A不僅合同，而且相似．于是由知識模塊：二次型23．設y＝y(tǒng)(χ)可導，y(0)＝2，令△y＝y(tǒng)(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是當△χ→0時的無窮小量，則y(χ)＝_______．正確答案：2涉及知識點：常微分方程24．設，則2f’x(0，0)+f’y(0，0)=________正確答案：-2解析：令ρ==2得f(x，y)=-3x+