數(shù)學(xué)考點(diǎn)-最短距離問題（帶答案）

數(shù)學(xué)考點(diǎn)---最短距離問題（帶答案）數(shù)學(xué)考點(diǎn)---最短距離問題1.我們常利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最?。覀冎灰鼽c(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，（如圖2所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+PB′最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時(shí)AP+PB′最小，因此連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P．有很多問題都可用類似的方法去思考解決．探究：（1）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點(diǎn)，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)．連接EP，CP，則EP+CP的最小值是；運(yùn)用：（2）如圖4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長最小，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)該是；操作：（3）如圖5，A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點(diǎn)B，C，組成△ABC，使△ABC周長最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）2.作圖題（不寫作法，保留作圖痕跡）：（1）如圖①，點(diǎn)A、B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最??；（2）如圖②，點(diǎn)A、B在直線l的同一側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小；（3）如圖③，點(diǎn)A是銳角三角形MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B、C，與點(diǎn)A組成三角形，使三角形周長最小；（4）如圖④，AB是銳角三角形MON內(nèi)部一條線段，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C、D組成四邊形，使四邊形周長最?。唬?）如圖，連結(jié)M、N與直線l相交于點(diǎn)O，當(dāng)兩直線的夾角等于450，且OM=6，MN=2時(shí)，PM+PN的最小值是3.（1）如圖，點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長最小，請(qǐng)寫出作法（2）AB是銳角MON內(nèi)部一條線段，在角MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C，D組成四邊形，使四邊形周長最?。ㄈ鐖D所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x軸上有一點(diǎn)M，使得|AM|+|BM|為最短，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如圖，A、B兩村位于一條河的兩岸，假定河的兩岸筆直且平行，現(xiàn)要在河上垂直于河岸建一座橋.問：應(yīng)把橋建在什么位置，才能使A村經(jīng)過這座橋到B村的路程最短？請(qǐng)畫出草圖，并簡要說明作法及理由(2)A、B兩村之間隔一條河，現(xiàn)在要在河上架一座橋．（1）要使這兩村A、B之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？請(qǐng)幫他們?cè)O(shè)計(jì)出來．（2）若兩村A、B到河邊的距離分別為50米和20米，河寬為30米，AC=40米，你能求出兩村的最短路程嗎？若能，請(qǐng)求出來6.在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，求m／n的值7.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長最短時(shí)，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABDC的周長最短時(shí)，求a的值；（3）設(shè)M、N分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）和（0，π），使四邊形ABMV周長最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，1）、B（4，2），坐標(biāo)原點(diǎn)為O點(diǎn)．（1）在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)C，求當(dāng)AC+BC最小時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在直線y=x上有一動(dòng)點(diǎn)D，求當(dāng)AD+BD最小時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0），求當(dāng)四邊形CEFD周長最小時(shí)，m的值9.已知線段AB在x軸上（A在B的左邊），且AB=3，點(diǎn)C（2，-4）、點(diǎn)D（4，-1），當(dāng)AC+BD最小時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A（0,0）B（1，0）C（1.2,0）D（2，0）10.如圖，圓柱形玻璃杯，高為11cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為（結(jié)果保留根號(hào)）11.如圖1，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，為了吃到蜂蜜，螞蟻從外壁A處沿著最短路徑到達(dá)內(nèi)壁B處．（1）如圖2是杯子的側(cè)面展開圖，請(qǐng)?jiān)诒谻D上確定一點(diǎn)P，使螞蟻沿A-P-B路線爬行，距離最短．（2）結(jié)合圖，求出螞蟻爬行的最短路徑長12.如圖，長方體的長BE=5cm，寬AB=3cm，高BC=4cm，一只小螞蟻從長方體表面由A點(diǎn)爬到D點(diǎn)去吃食物，則小螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌莄m13.如圖，長方體的長BE=7，寬AB=5，高BC=5，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到棱BC上，再爬到D點(diǎn)去吃糖，則小螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌?4.如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=6，點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△BEQ周長的最小值為15.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，=6，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+DM的最小值（）A．8B．6C．2+2D．416.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，0），B（6，0）是x軸上的兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為17.如圖，∠MON=90°，邊長為4的等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為18.如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=．運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，OA長度為（）A．B．C．2D．?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)---最短距離問題答案1.解：（1）∵點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接AC'，則AC'與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置，∵點(diǎn)C'坐標(biāo)為（0，﹣2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，4），∴直線C'A的解析式為：y=x﹣2，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；（3）分別作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'、關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，則A'A''與OM交點(diǎn)為點(diǎn)B的位置，與ON交點(diǎn)為C的位置；如圖所示：點(diǎn)B、C即為所求作的點(diǎn)．2.解：（1）如圖①，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；（2）如圖②，過A作直線l的垂線，在垂線上取點(diǎn)A′，使直線l是AA′的垂直平分線，連接BA′交直線l于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求；（3）作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A''，與OM、ON相交于B、C，連接AB，BC，AC，則△ABC即為所求三角形；（4）作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OM于C，交ON于D，連接AC，CD，BD，則四邊形ABCD即為所求；（5）作出點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′，連結(jié)M′N交直線l于點(diǎn)P；∵兩直線的夾角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案為：103.解：(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，②連接A′B于直線l交于P，則點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)．(2)解：如圖，作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E,再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF即可．如圖．ABCD便是周長最小的．4.解：找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與x軸的交于M點(diǎn)，連接BM，此時(shí)|AM|+|BM|為最短，由B與B′關(guān)于x軸對(duì)稱，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），則直線AB′的方程為y+2=（x﹣2）化簡得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故選：B5.(1)先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過程可知，四邊形ADCA′為平行四邊形，AD平移至A′C即可得到線段A′B，兩點(diǎn)之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋．(2)解：（1）橋應(yīng)該建在如圖所示MN處，四邊形AMKN是平行四邊形．（2）作MH⊥BC垂足為H．兩村A、B之間的最短路程=AN+KN+BK，∵四邊形AMKN是平行四邊形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴兩村的最短路程為（10+30）米6.解：根據(jù)題意，作出如圖所示的圖象,過點(diǎn)B作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′、過點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B′，直線A′B′與坐標(biāo)軸交點(diǎn)即為所求．設(shè)過A′與B′兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依題意得：，解得，所以，C（0，n）為（0，）．D（m，0）為（﹣，0）所以，=﹣．故答案為﹣7.解：（1）設(shè)點(diǎn)B（4，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b，把A（2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即當(dāng)△PAB的周長最短時(shí)，x=．（2）過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，且延長AE，取A'E=AE．做點(diǎn)F（1，﹣1），連接A'F．那么A'（2，3）．直線A'F的解析式為y﹣1=?（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），且在直線A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴當(dāng)四邊形ABDC的周長最短時(shí)，a=．（3）存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直線A′B′的解析式為：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如圖1，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交y軸于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵點(diǎn)A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直線A′B的解析式為y=x+，∴C（0，）；（2）如圖2，作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″B，交直線y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵點(diǎn)A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直線BA″∥x軸，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′的坐標(biāo)為（0，﹣），把C′向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D'（1，﹣），連接DD′，與x軸交于點(diǎn)F，如圖3，∴C′E=CE，又∵點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四邊形C′D′FE為平行四邊形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此時(shí)CE+DF最小，而CD與EF的長一定，∴此時(shí)四邊形CEFD周長最短．設(shè)直線DD′的解析式為y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分別代入得2k′+n=2，k′+n=-4／3，解得k′=，n=﹣，∴直線DD′的解析式為y=x﹣，令y=0，則x﹣=0，解得x=，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，則A′C即為最短距離，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離的是4cm12.解：（1）如圖（1），AD==；（2）如圖（2），AD==；（3）如圖（3），AD===4．可見，AD的最小值為．故選C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．螞蟻爬的最短路徑長為1314.解：連接BD，DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴DE的長即為BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周長的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D與AB相交于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，連接OC交C′D于N，連接OD，∵AB是⊙O的直徑，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD?sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故選：D16.解：如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線y=x于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案為：217.解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，∵△ABC是等邊三