江蘇省宿遷市劍橋國(guó)際學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

江蘇省宿遷市劍橋國(guó)際學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.要得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖象,只需將函數(shù)y=cos2x的圖象

（

）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位

D.向右平移個(gè)單位 參考答案：D3.設(shè)f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且，當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】設(shè)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集．【解答】解：設(shè)g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函數(shù)．∵當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，∴g（x）在（﹣π，0）上單調(diào)遞增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，即g（）?sinx＞f（x）；①當(dāng)sinx＞0時(shí)，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；所以x∈（，π）；②當(dāng)sinx＜0時(shí)，即x∈（﹣π，0）時(shí)，g（）=g（﹣）＜=g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sinx的解集為解集為（﹣，0）∪（，π）．故選：B．4.設(shè)方程和方程的根分別為和，設(shè)函數(shù)，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略5.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A,B,M圖象上任意一點(diǎn)，其中，若不等式恒成立，則稱函數(shù)上“k階線性近似”．若函數(shù)上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

) A． B．

C． D．參考答案：B6.已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）

A.［0，3）

B.［3，9）

C.［1，9）

D.［0，9）參考答案：D略7.函數(shù)的圖像可能是（

）參考答案：B略8.已知函數(shù)且則下列結(jié)論正確的是()(A)

(B)(C)

(D)參考答案：C略9.“a＞b＞0”是“ab＜”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略10.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A

不合題意排除,

合題意排除

另：，

得：.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為

．參考答案：112.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）處的切線的斜率分別是kM，kN，規(guī)定φ（M，N）=（|MN|為線段MN的長(zhǎng)度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”．①函數(shù)f（x）=x3+1圖象上兩點(diǎn)M與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)分別為1和2，φ（M，N）=；②設(shè)曲線f（x）=x3+2上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，則φ（M，N）的取值范圍是．參考答案：（0，）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】對(duì)于①，由y=x3+1，得y′=3x2，則kM=3，kN=12，則|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，則|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；對(duì)于②，利用定義，再換元，即可得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于①，由y=x3+1，得y′=3x2，則kM=3，kN=12，則|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，則|MN|==5，φ（M，N）==；②曲線f（x）=x3+2，則f′（x）=3x2，設(shè)x1+x2=t（|t|＞2），則φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案為，（0，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．13.已知?jiǎng)t_____________.參考答案：略14.集合中，每?jī)蓚€(gè)相異數(shù)作乘積，將所有這些乘積的和記為，如：；；則=

▲

．（寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）

參考答案：546

15.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即.給出如下四個(gè)結(jié)論：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”.其中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是

．參考答案：3，，真；，，假；顯然③真；若則,,則,若,則,，,④真.16.若正數(shù)a，b滿足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），則a=，b=

．參考答案：，．【考點(diǎn)】4H：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】正數(shù)a，b滿足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與單調(diào)性可得：8a==，解出即可得出．【解答】解：∵正數(shù)a，b滿足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），∴l(xiāng)og2（8a）==，∴8a==，解得a==b．故答案為：，．17.若滿足則的最小值為_(kāi)___________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*）．（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）數(shù)列{bn}滿足，，對(duì)任意n∈N*，都有．若對(duì)任意的n∈N*，不等式2n+1bnsn＜3×2n+1bn+λn（n+2）恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）∵nan+1=2Sn，∴（n﹣1）an=2Sn﹣1（n≥2），兩式相減得nan+1﹣（n﹣1）an=2an，∴nan+1=（n+1）an，即（n≥2），由a1=1，可得a2=2，從而對(duì)任意n∈N*，，又，即是首項(xiàng)公比均為1的數(shù)列，所以=1×1n﹣1=1，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n（n∈N*）．（II）在數(shù)列{bn}中，由，知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)、公比均為，∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式故原不等式可化為（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0對(duì)任意的n∈N*，恒成立，變形可得λ＞對(duì)任意的n∈N*，恒成立，令f（n）===1﹣=1﹣=1﹣，由n+6≥7，單調(diào)遞增且大于0，∴f（n）單調(diào)遞增，且當(dāng)n→+∞時(shí)，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[1，+∞）略19.（12分）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．參考答案：（1）由題意，知考慮到，解得所以，所求橢圓C的方程為.

.................................................4分（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得.由，得.

①設(shè)，，則，.于是.又原點(diǎn)O到直線AB：的距離.所以.因?yàn)?，?dāng)僅且當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，即面積的最大值為.

..............................12分20.某企業(yè)甲,乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得萬(wàn)元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)萬(wàn)元,求該企業(yè)可獲得利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：試題解析:(1)解:設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件且事件為事件的對(duì)立事件,則事件為新產(chǎn)品都沒(méi)有成功,因?yàn)榧?乙成功的概率分別為,則,再根據(jù)對(duì)立事件概率之間的概率公式可得,所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.21.（本題滿分12分）將正弦函數(shù)f1（x）＝sinx與余弦函數(shù)f2（x）＝cosx線性組合成函數(shù)

f（x）＝Af1（x）＋Bf2（x）(A，B是常數(shù),xR)，函數(shù)f（x）的圖象稱（A，B）曲線．（1）若（A，B）曲線與（C，D）曲線重合，求證:A＝C，B＝D；（2）已知點(diǎn)P1（x1，y1）與點(diǎn)P2（x2，y2）且x1－x2≠k（），求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的（A，B）曲線有且僅有一條．參考答案：

22.如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1．（1）求證：平面A1BC⊥平面ABC1；（2）若直線AA1與底面ABC所成的角為60°，求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出BC⊥側(cè)面ACC1A1，所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥面A1BC，由此能證明面ABC1⊥面A1BC．（2）利用等體積方法，求出A1到平面ABC1的距離，即可求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC因?yàn)閭?cè)面ACC1