2021屆陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）附答案詳解

2021屆陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合A={%|0WXW2},B={x\x2<9,xGZ},則4nB等于（）

A.{0,1,2}B.[0,1]C.{0,2}D.{0,1}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足冒=i,則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.2018年5月至2019年春，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲迅速繁衍，呈現(xiàn)幾何式的爆發(fā)，

僅僅幾個(gè)月，蝗蟲數(shù)量增長了8000倍，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦，

假設(shè)蝗蟲的日增長率為5%,最初有No只，則大約經(jīng)過（）天才能達(dá)到最初的16000倍（參考數(shù)據(jù):

/nl.05?0.0488,仇1.520.4055,/nl600?7.3778,/nl6000?9.6803）

A.100B.150C.180D.200

4.三棱錐的高為3,側(cè)棱長均相等且為5色，底面是等邊三角形，則這個(gè)三棱錐的體積為（）

5.以下判斷正確的是（）

A.函數(shù)y=/（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，則（（與）=0是出為函數(shù)-X）極值點(diǎn)的充要條件

B.命題“存在％￡R,x2+x-1<0"的否定是“任意xGR,x2+x-1>0''

C.線性回歸方程y=bx+a對應(yīng)的直線一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（Xi，yi）（>2，y2）…（Xn，%）中的一

個(gè)

D.“b=0”是“函數(shù)/（X）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的充要條件”

6.從3名男生和1名女生中選出2人去參加社會實(shí)踐活動(dòng)，則這名女生被選中的概率是（）

A.；B.：C.ID.；

3234

7.圓/+丫2+以+2=0與直線,相切于點(diǎn)4（-3,1）則直線1的方程為（）

A.x+y+2=0B.x—2y-2=0C.%—y+4=0D.2x—y-5=0

8.如圖，已知點(diǎn)P是函數(shù)/（x）=4cos（x+0）（x6R,4>0,取<g）圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，M,N是

函數(shù)/'（x）的圖象與％軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若麗?麗=0，則4的值為（）

y

A.2B.C.4D.n

9.如圖，為了測量隧道兩口之間48的長度，對給出的四組數(shù)據(jù)，計(jì)算時(shí)要求最簡便，測量時(shí)要求

最容易，應(yīng)當(dāng)采用的一組是()

A.a,b,yB.a,b,aC.a,b,/?D.a,/?,a

10.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2,點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2,且|P0|=2|PF2|,

則COSZPFZFI=

A1B1cV2DV2

4343

11.在體積為6的長方體4BCD-4iBiC[Di中，已知4B=2,4cli8也，則該長方體的外接球表面

積為()

A.147rB.127rC.IOTTD.n

12.已知a,b€R,定義運(yùn)算“③”：a(8)b=居'。[?Q設(shè)函數(shù)/(x)=2、+】⑤(2-4丫)，xeR.

若函數(shù)丫=/0)-。的圖象與％軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1)U(1,2)

C.(1,2)D.(0,V3-1)U(V3-1,2)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

x-y>0

13.設(shè)x,y滿足約束條件％+2yW3,則z=x+4y的最大值為.

.%-2y<1

14.在。-3尸的展開式中，若第3項(xiàng)的系數(shù)為27,則n=.

15.已知梯形ZBCD中，AD//BC,力。=遮,AB=4,4/WC=60。,/4CB=45。，貝膽。=.

16.若微海帆懸酒鳴揶普愚=鼠則下列不等式對于一切滿足條件的璃滴？恒成立的是(寫出

所以正確命題的編號)

①隘山；②“得居士收；③3#妒會：④%%篝.

:閾懸

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在邊長為2正方體HQ中：

(1)求證：AG1平面&CD1；

(2)求直線CCi與平面B】CDi所成角的正弦值；

(3)線段AB上是否存在一點(diǎn)M(不與端點(diǎn)重合)，使得二面角4-MC-G所成平面角的余弦值為意,

若存在，求|AM|的值，若不存在，請說明理由.

18.根據(jù)下列條件求值：

(1)在等差數(shù)列｛a“｝中,%=2,S3=12,求。6；

(2)在等比數(shù)列｛an｝中,=4,a7=16,求斯.

19.某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生從政治、

化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計(jì)入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年

夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分

為A,B,C,D,E五個(gè)等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為15%,35%,35%,13%,2%,

等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將4到E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別

轉(zhuǎn)換到［86,100］、［71,85］,［56,70］＞［41,55］、［30,40］五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級分，等級

轉(zhuǎn)換分滿分為100分，具體轉(zhuǎn)換區(qū)間如表：

等級4BCDE

比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算：然=篝.

Y~Y1r-Tl

其中%，%分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，71，72分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高

分，丫表示原始分，r表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為H，匕時(shí)，等級分分別為n，T2.

假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如表：

考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間

化學(xué)75分B等級[69,84][71,85]

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)門，根據(jù)公式得：*s=黑，所以r=76.6X77(四舍五入取整),

/O—oy/~/I

小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.

己知某年級學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學(xué)等級成績，其

中化學(xué)成績獲得4等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如表：

成績95939190888785

人數(shù)1232322

(1)從化學(xué)成績獲得4等級的學(xué)生中任取2名.求恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概率;

(2)從化學(xué)成績獲得4等級的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級成績不小于96分人數(shù)為。求f的

分布列和期望.

20.已知拋物線C：/=2「丫9>0)上一點(diǎn)4(犯4)到其焦點(diǎn)f的距離為*

(1)求P與血的值；

(2)若直線1過焦點(diǎn)產(chǎn)交拋物線于P,Q兩點(diǎn)，且|PQ|=5,求直線，的方程.

21.已知函數(shù)/(%)=%—仇X-Q有兩個(gè)相異零點(diǎn)％1，X2(%1<x2).

(1)求Q的取值范圍；

(2)求證：+%2<472.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為%;￡；D(a為參數(shù))?以坐標(biāo)原點(diǎn).為極點(diǎn)，

x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程為0=0°,(P6R).

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線，與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，P2,指出如的范圍，并求歸9+備的取值范圍.

23.解不等式⑴的一4|>1樸如(2)解不等式:U富愉—

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：-?-A={x[0<x<2),B=[x\x2<9,xGZ}={x|-3<%<3,xeZ}={-2,-1,0,1,2),

：.AnB={x|0<x<2}n{-2,-1,04,2}=[0,1,2).

故選:A.

求解一元二次不等式化簡B,再由交集運(yùn)算得答案.

本題考查交集及其運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：解：???=i,-?-z==--2=^T7-2=-2-i,

ZII-it

???復(fù)數(shù)Z的共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)-2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(-2,1)在第二象限.

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共扼復(fù)數(shù)、幾何意義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共輒復(fù)數(shù)、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：D

解析：解：由題意可設(shè)N=Nox(1+5%尸，

???16000/Vo=NoX(1+5%)n,

.?.)16000=nlnl.05,

解得ny198.36,

故選：D.

利用題中的條件可知蝗蟲的增長是指數(shù)函數(shù)模型，設(shè)出模型函數(shù)，直接計(jì)算即可.

本題考查了指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)方程的解法，學(xué)生的應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案:D

解析：試題分析：由題意知為正三棱錐，高為3,側(cè)棱長為篙5,因此底面三角形的邊長為3,所以

該三棱錐的體積為睇=3.豳=3%由然警海=空.

3S44

考點(diǎn)：空間幾何體的體積、空間想象能力.

5.答案：D

解析：解：若a為函數(shù)f(x)極值點(diǎn)，則尸(和)=0,反之，若/'(殉)=0,X。不一定為函數(shù)f(x)極值

點(diǎn)，如故A錯(cuò)誤；

命題“存在X6R,x2+x-1<0"的否定是“任意XWR,x2+x-l>0^^,故B錯(cuò)誤；

線性回歸方程y=bx+a對應(yīng)的直線可能不經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(%1，丫1)。2，丫2)-(如，％)中的任何一

個(gè)，故C錯(cuò)誤；

若b=0,則函數(shù)/(x)=aM+c是偶函數(shù)，反之，若函數(shù)/(x)=a/+.+c是偶函數(shù)，貝?。?(-x)-

/(%)-ax2-bx+c—ax2—bx—c=0恒成立，即—2bx=。恒成立，.：b=0,即"b=0"是"函

數(shù)/(X)=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的充要條件”.

故選D.

由可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)判斷4直接寫出命題的否定判斷B；

由線性回歸方程y-bx+a對應(yīng)的直線可能不經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi，yi)(x2，y2)…(力,%)中的任何

一個(gè)判斷C；利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法判斷D.

本題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，存在量詞命題的否定，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)

數(shù)研究函數(shù)的極值和回歸直線方程，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：B

解析：解：從3名男生和1名女生中選出2人去參加社會實(shí)踐活動(dòng)，

基本事件總數(shù)n=廢=6,

這名女生被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)m=ClCl=3,

??.這名女生被選中的概率p=：=冷.

故選：B.

基本事件總數(shù)n=《=6,這名女生被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)m=詢盤=3,由此能求出這名女

生被選中的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.答案：C

解析：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.先代入切點(diǎn)的坐標(biāo)求出a,再求出圓心坐標(biāo)，利用圓的

切線與過切點(diǎn)的半徑垂直求出直線1的斜率，從而求出直線的方程.

解：將點(diǎn)4(—3,1)代入圓的方程得a=4,

1

二圓心坐標(biāo)為。(一2,0),KOA=°=-1,

???切線I的斜率K=1.

???直線I的方程為：y-1=x+3,

即：%—y+4=0,

故選：C.

8.答案：B

解析：解：函數(shù)/'(x)=4cos(x+0)的周期T=午=2兀，則|MN|=/=7T,

又由?麗=0，為等腰直角三角形，

yP=^\MN\=pA=1.

故選：B.

求出函數(shù)的周期7,得到|MN|,再麗.麗=0,得MPN為等腰直角三角形，由此求出4的值.

本題考查數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系，考查y=4sm(3X+R)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

9.答案:A

解析：解：根據(jù)實(shí)際情況a、?都是不易測量的數(shù)據(jù)，在A4BC中，a,b可以測得，角y也可測得，

根據(jù)余弦定理能直接求出4B的長.

故選：A.

為了測量隧道兩口之間力B的長度，a,6可以測得，角y也可測得，a、夕都是不易測量的數(shù)據(jù)，利用

余弦定理可直接求出48,故可知結(jié)論

本題以實(shí)際問題為素材，考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析哪些可測量，哪些不可直接

測量

10.答案:A

解析：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題.

解：設(shè)|PFi|=2|PF2l=2m,則根據(jù)雙曲線的定義，可得m=2a，A|PF1|=4a,|PF2l=2a,

16a2+4/-16a22

?.?離心率為2,因用|=4a,：.cosN招產(chǎn)用

2x4ax2a4

故答案選：A.

11.答案：C

z

解析：解：以。為原點(diǎn)，ZM為%軸，DC為y軸，DDi為z

小

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4。=X,貝1」44]—

33

-A(xf0,0),G(0,2,0，B^x,2,-),

C(020),

AC^—(—x,2,-),B[C=(-%0,-0，

vACr1B〔C,

福*?即=￡2一5=0,解得/技

:.AD=V3?AA1=痘,

該長方體的外接球半徑R=3尹=乎，

該長方體的外接球表面積：

S—=4兀xU=107r.

4TTR24

故選：C.

以。為原點(diǎn)，04為x軸，OC為y軸，0。1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)40=x,則A4=：,由4QJ_

BC求出力。=百，4&=遍，從而該長方體的外接球半徑R=手，由此能求出該長方體的外接

球表面積.

本題考查長方體的外接球的表面積的求法，考查長方體及其外接球的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求

解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

12.答案：A

解析：解：由2>1-(2-4、)W1,得4丫+2?2*-340,

得(2-1)(2*+3)<0,

得一3<2X<1,即x<0,

即

,函數(shù)y=/(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

二由/(無)-c=0得/(x)=c,有兩個(gè)不同的根，

作出f(x)的圖象，

要使y=/(x)與y=c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則0<c<1,

故選：A.

根據(jù)定義運(yùn)算求出f(x)的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為/(%)與y=c的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,

利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合定義求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

圖象交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

13.答案：5

X-y>0

解析：解：由約束條件x+2yW3作出可行域如圖，

,x-2y<1

聯(lián)立｛7;短°3,解得C(L1)-

化目標(biāo)函數(shù)z=x+4y為直線方程的斜截式，得y=

由圖可知，當(dāng)直線丫=-3》+(過C點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z最大.

此時(shí)zmax=1+4X1=5.

故答案為：5.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)

解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

14.答案：3

解析:

本題考查了二項(xiàng)展開式的特除項(xiàng)的系數(shù)，考查了組合數(shù)公式.

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求得第3項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)系數(shù)為27,求出ri.

解：???(x-3尸的展開式的第3項(xiàng)系數(shù)為27,

則：量X(-3)2=27=鬣=3,

解得n=3,

故答案是3.

15.答案：V15

解析：解：?.?在AABC中，4aBe=60。，^ACB=45°,AB=4,

.?.由正弦定理AB缶，可得高=焉，解得"=黑箸

s\nz.BCA

4X”l

飛-=2①,

2

???/LACB=ADAC=45°,

.?.在△4co中，由余弦定理可得CO=>JAD2+AC2-2AD-AC-cos^DAC=

j3+24-2xV3x2V6Xy=V15-

故答案為：V15.

在AABC中，由已知利用正弦定理可解得AC=絲等=2n，由已知可求乙4cB=4ZMC=45。，

sm45°

在A4CD中，由余弦定理可求得CD的值.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)

題.

16.答案：①③④

解析：試題分析：根據(jù)題意可知，由于誦?舒闞黝:凈僦謝樸巔=鼠那么可知根據(jù)均值不等式，

城三世強(qiáng)爐=1，故命題1成立，命題2中，由于函H通儼=湎書題午餐盛海公，因此不成立,

獸

命題3中，由于豳;陋鎮(zhèn)二卷胴蟒北巍渝二鬟二儲井臚空窯故成立

對于命題4,由于3昔口=更型=之封塞故成立，因此選&

磔浦'喊!喊

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，函數(shù)恒成立

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式的靈活運(yùn)用.

17.答案：(1)證明:由正方體的性質(zhì)知，JL平面4&GD1，???J.&D1，

?.?正方形4B1GD1，41cl1B也,

???46nAAl=41，AC、441u平面4CC1A1，

B1D1_L平面當(dāng)么1ACr,

同理可得，ACi^BiC,

又B[D]CB[C=Bi，B1D1>/Cu平面/CDi，

???AC】_L平面名皿.

(2)解：???正方體的各個(gè)面均為正方形，

:.BiC=B、Di=CD。即ABiCOi為等邊三角形，且邊長為2企,

S^BICDI=3x2>/2xV6=2>/3>

設(shè)點(diǎn)G到平面B】CDi的距離為八，

tfCO]=%LCQDI，

,'1'S^B'CDi=?SACCQI=3B1G--CC-i-Ci?i,

即g/i-2百=[x2x2x2x2,

,2V3

h=—

3

設(shè)直線CG與平面/CDI所成角為d則sin。=上=11,

23

故直線CCi與平面Bi。。1所成角的正弦值為三.

(3)解：以4為原點(diǎn)，AB.AD.分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,2),C[2,2,0),G(2,2,2),

設(shè)M(a,0,0),ae(0,2),

.?.祝=(2-a,2,0)，A^C=(2,2,-2),鬲=(0,0,2)，

m-MC=0-a)x+2y=0

設(shè)平面為MC的法向量為沅=(x,y,z),則

+2y-2z=0

m-ArC-0

令x=l,則、=等，z=a.?.記=(1,等,沙<

同理可得，平面MCG的法向量為元=(1,節(jié),0),

???二面角41-MC-6所成平面角的余弦值為羲，

_、I_I沅員I_1+_5

.?.|3＜記,"I=1哂1="(?2+(.卜(等/=福

化簡得，6a2+。一2=0,解得a=1或一|,

vaE(0,2),?,?a=|,

故存在點(diǎn)M符合題意，且MM|=[.

解析：(1)先證當(dāng)心，平面ACG4,從而有81劣14C1，同理可證力G1BC故Ag，平面8停。1；

(2)由等體積法％LBIC/=%LCCQJ求得點(diǎn)G到平面8道5的距離九，再由言，即可得解；

(3)以4為原點(diǎn)，AB.AD.A4分別為登y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M(a,0,0),ae(0,2),依

次求得平面4MC和平面MCG的法向量記與元，由|cos(沆，元＞|=費(fèi)，解出a的值即可.

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角和二面角的求法，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)

定理，等體積法，以及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏

輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)設(shè)公差為d,%=2,S3=12

；?2+2+d+2+2d=12,

解得d=2,

=Q1+5d—12,

(2)設(shè)公比為q,a5=4,a7=16,

.一07一/

"q-『4'

解得q=2或一2,

a541

.??a】=7=W=Z，

nln-1nln-1n-3

an=ar-q-=[x2=2n-3.或a“=U1-q~=；x(-2)=(-2).

解析：本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用問題，是簡單的計(jì)算題目.

(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出，

(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出.

19.答案：解：(1)設(shè)化學(xué)成績獲得4等級的學(xué)生原始成績?yōu)閤,等級成績?yōu)閥,由轉(zhuǎn)換公式得:

些=U,B|J14(Z-85)6=14Z-33O

x-85y-86)1010

所以史滑296,得x>92.1,

顯然原始成績滿足x>92.1的同學(xué)有3人，獲得4等級的考生有15人，

c|c

恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概為P=里=工；

匾35

(2)由題意得：等級成績不小于96分的人數(shù)為3人，獲得4等級的考生有15人,

c?cc|cc|cc|c

zx51224,D/a41245112200122,

PD(f=o)=盂=￡=1)=瓦=￡'p(f=2)=鬲=￡，p(e=3)=商=鼠

則分布列為：

0123

2445202

p

91919191

則E(f)若+2X愛+3x5=l.

解析：(1)根據(jù)成績換算公式，計(jì)算出等級成績不低于96分時(shí)的原始成績，進(jìn)而得到等級成績不低于

96分的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率即可得到所求；

(2)列出隨機(jī)變量f的所有可能的取值，分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可.

本題考查了古典概型的概率，考查了統(tǒng)計(jì)表的應(yīng)用，考查了超幾何分布，考查數(shù)據(jù)處理能力和計(jì)算

能力，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)由9=4+].?.「=右

???X2=y,

??.Tn2=4,m=±2；

(2)可設(shè)PQ的方程為2：y=fc%+i,

聯(lián)立片丘+:

lx2=y

消去X,得y2-G+k2)y+2=0,

-yi+y2=[+12,

而|PQI=yi+y2+p=l+l=5,

k2=5—1=4,k=±2.

?,?直線I的方程為y=2x+[或y=-2x+"

44

解析：本題考查拋物線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于一般題.

(1)利用焦半徑可得P，再利用拋物線方程即可得出m；

(2)可設(shè)PQ的方程為八y=kx+\,與拋物線的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，再利用過焦點(diǎn)

的弦長公式即可得出.

21.答案:解:(l)f(x)=^(x>0),

當(dāng)0<x<1,時(shí),/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)%>1時(shí)，f(%)>0,f(%)單調(diào)遞增；

要使函數(shù)/(%)=%一"％-a有兩個(gè)相異零點(diǎn)，必有/(I)=1一Q<0,二a>1,

當(dāng)a>1時(shí),ve~a<1,且f(e-a)=e~a>0,.,.函數(shù)/'(%)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn),

>1,?,?函數(shù)/(%)在。+8)有一個(gè)零點(diǎn)，

??.a的取值范圍為(L+8).

(2)由(1)知,0<%!<1<%2?

??

v%1—lnxr-a=0,?Q=—lnxr,

4a+24a+24(x1-Znx1)+2x-4lnx+2

要證》14-%2<xX=一%11

~3~，2z<-3n-----1131=3

故構(gòu)造函數(shù)g(x)=X-4,X+2,(0<欠<1),

則g'(x)=啜<0，所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,g(x)>g(l)=1.

因?yàn)榻穑?,所以XL4：.+2＞],

構(gòu)造函數(shù)九(x)=/(%)-〃j；+2),(0<%<1)

小心、2X+1,1X-4

h(%)=-------1----------

、'3xx-4lnx+2x

下面證明＞0,即證明團(tuán)》-巨鬻22＜0,

構(gòu)造函數(shù)"(x)=Inx-*鼠，,(0<x<1).

H'M=篇%＞。在(0,1)上恒成立,

因此H(x)在(0,1)遞增，從而HQ)<"(1)=0,

/i\x)>0,九。)在(0,1)遞增,

h(x)<h(l)=0,

%1—4lnx1+2