橢圓幾何性質(zhì)大全

PAGEPAGE1精品文檔橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)之橢圓篇(1)楊志明1．2．標(biāo)準(zhǔn)方程：3．4．點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角5．PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn)6．以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.7．以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.8．設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A19．橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10．若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11．若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12．AB是橢圓的不平行于對稱軸且過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13．若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14．若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15．若PQ是橢圓（a＞b＞0）上對中心張直角的弦，則.16．若橢圓（a＞b＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定橢圓：（a＞b＞0）,：,則(i)對上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點(diǎn)M(.(ii)對上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過點(diǎn).18．設(shè)為橢圓（或圓）C:(a＞0,.b＞0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，記為k1,k2,則直線P1P2通過定點(diǎn)的充要條件是.19．過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．橢圓(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為，.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)之橢圓篇(2)楊志明21．若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則.22．橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).23．若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0＜e≤時，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).24．P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立.25．橢圓（a＞b＞0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對稱的充要條件是.26．過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27．過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28．P是橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29．設(shè)A,B為橢圓上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓相交于,則.30．在橢圓中，定長為2m（o＜m≤a）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時,.31．設(shè)S為橢圓（a＞b＞0）的通徑，定長線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時，有,);當(dāng)時，有,.32．橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33．橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34．設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.35．經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36．已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.37．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）過焦點(diǎn)的任一弦，若AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）焦點(diǎn)的任一弦，若過橢圓中心O的半弦，則.39．設(shè)橢圓（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)為其對稱軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1,A2為對稱軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：(或)上.40．設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)之橢圓篇(3)楊志明41．過橢圓一個焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.42．設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.43．設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44．已知橢圓（a＞b＞0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1,F2為橢圓的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是().45．設(shè)△ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46．過橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47．設(shè)A（x1,y1）是橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn)，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線L的距離,分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則.48．已知橢圓（a＞b＞0）和（），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則│AB│=|CD│.49．已知橢圓（a＞b＞0）

,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則.50．設(shè)P點(diǎn)是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).51．設(shè)過橢圓的長軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52．L是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）長軸頂點(diǎn)A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.53．L是橢圓（a＞b＞0）的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長軸兩頂點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.54．L是橢圓（a＞b＞0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.55．已知橢圓（a＞b＞0），直線L通過其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時右邊不等式取等號，當(dāng)且僅當(dāng)A、F1、B三點(diǎn)共線時左邊不等式取等號）.56．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)，（1）若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，（若BP交橢圓于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對稱），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足.59．設(shè)是橢圓的長軸的兩個端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60．過橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD則橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)之橢圓篇(4)楊志明61．到橢圓（a＞b＞0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62．到橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63．到橢圓（a＞b＞0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是橢圓（a＞b＞0）上一個動點(diǎn)，是它長軸的兩個端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.65．橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項(xiàng).66．設(shè)橢圓（a＞b＞0）長軸的端點(diǎn)為,是橢圓上的點(diǎn)過P作斜率為的直線，過分別作垂直于長軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67．已知橢圓（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).68．OA、OB是橢圓（a＞0,b＞0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點(diǎn).(2)以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個交點(diǎn)Q的軌跡方程是.69．是橢圓（a＞b＞0）上一個定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點(diǎn).（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點(diǎn)Q的軌跡方程是(且).70．如果一個橢圓短半軸長為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線

和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71．AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，是橢圓上的動點(diǎn)，過的切線與過A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72．設(shè)點(diǎn)為橢圓（a＞b＞0）的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓過定點(diǎn)的任一弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時.當(dāng)弦AB垂直于長軸所在直線時,.73．橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.74．橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長軸端點(diǎn).75．橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76．橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77．橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).

注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).78．橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79．橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).80．橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.

橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)之橢圓篇(5)楊志明81．橢圓焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82．橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84．橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點(diǎn).85．橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87．橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.88．橢圓焦三角形中,過非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長軸兩端點(diǎn)處的切線