新高考數學二輪復習重點突破訓練第28講 高考中的應用題解法（含解析）

第28講高考中的應用題解法數學源于生活，應用所學數學知識解決實際問題是能力與素養(yǎng)的具體表現，數學應用問題的是新高考的重點與熱點，在近幾年的高考題中，常見的有與經濟有關即利潤最大化和成本最小化為背景的應用題，也有以三角函數，平面幾何圖形、空間幾何體為背景的圖形應用題．本文集中介紹以三角，函數，不等式，幾何圖形為載體的應用問題.涉及平面圖形的數學應用問題，通常的處理方法是仔細審題，明確解題方向，結合所給平面圖形的結構特征以及相關性質，適當選取參數(如角、線段的長度等)，建立數學模型，運用所學的數學知識予以解決，其中，運用基本不等式、三角函數的最值以及利用函數的性質求最值是常見數學知識和方法．三角函數例1：1．如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中SKIPIF1<0．(1)將十字形的面積表示為SKIPIF1<0的函數；(2)SKIPIF1<0為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0【分析】（1）首先利用SKIPIF1<0表示出面積表達式，再利用三角函數替換，結合SKIPIF1<0的范圍即可.（2）對面積表達式利用二倍角公式以及降次公式化簡，再結合輔助角公式即可化簡，最后結合角的范圍求出最值.【詳解】（1）設SKIPIF1<0為十字形的面積，則SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0.所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0最大,且最大值為SKIPIF1<0.2.某隧道橫斷面由半圓及矩形的三邊組成，尺寸如圖，一平板車車身高1米，車上裝載截面為長方形的貨物，為了保證行車安全，要求貨物距隧道頂部距離不得少于0.5米．（1）如果車上裝載貨物截面長方形的寬為3米，貨物的最大高度是多少？（2）適當調整貨物的寬與高（不受車寬影響），可以使貨物截面的面積最大，從而使運載的貨物最多，試問應如何調整，才能使裝載的貨物最多？解：如圖，設半圓圓心為O，平行于矩形底邊的直徑為AB，貨物右邊界所在直線與半圓、直徑AB、矩形底邊的的交點分別為P,M,N，．（1）如果裝載貨物寬度為3米，則OM=1.5（米），所以，（米）所以貨物的最大高度為（米）（2）由，知貨物寬度為，．貨物高度為，貨物截面面積，由解得或（舍去），所以．當時，；當時，．所以當時，S取最大值，此時，，即當貨物寬度為米，高度為3米時，截面面積最大，所裝貨物最多．分段函數例2：某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地時間的平均用時，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當S中x%(0＜x＜100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為f(x)＝(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：(1)當x在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式；試討論g(x)的單調性，并說明其實際意義．解：(1)2x＋－90＞40.由于x＞0，故x2－65x＋900＞0，解得45＜x＜100.故當45＜x＜100時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間．(2)當0＜x≤30時，g(x)＝30×x%＋40(1－x%)＝40－；當30＜x≤100時，g(x)＝×x%＋40(1－x%)＝－＋58.所以g(x)＝當0＜x≤32.5時，g(x)單調遞減，當32.5＜x<100時，g(x)單調遞增，說明，當S中有少于32.5%的成員自駕時，人均通勤時間遞減；自駕32.5%時，人均通勤時間達到最小值；大于32.5%時，人均通勤時間再次逐漸增大．許多實際應用問題在轉化為函數問題去解決時，無法用一個等量關系去表達，需要列出若干個關系式，這些關系式構成了一個整體，即為分段函數，在建構分段函數模型時，要根據實際問題的條件，將自變量的取值范圍劃分為若干個區(qū)間，分別考察在每個區(qū)間上的最優(yōu)解，并加以比較以確定問題的解答，涉及分段變換的數學應用問題，通常的處理方法是仔細審題，明確解題方向，結合條件，分段解決，這類問題常常會轉化為二次函數、三次函數、分式函數等函數問題，求最值的方法不限定僅用函數方法，有時也會用到基本不等式等其他求最值的方法．不等式例3：（1）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)，就地過年”的倡議.為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯動，鼓勵企業(yè)在春節(jié)期間留住員工在本市過年并加班追產.為此，該地政府決定為當地某SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產提供SKIPIF1<0（萬元）的專項補貼.SKIPIF1<0企業(yè)在收到政府SKIPIF1<0（萬元）補貼后，產量將增加到SKIPIF1<0（萬件）.同時SKIPIF1<0企業(yè)生產SKIPIF1<0（萬件）產品需要投入成本為SKIPIF1<0（萬元），并以每件SKIPIF1<0元的價格將其生產的產品全部售出.注：收益SKIPIF1<0銷售金額SKIPIF1<0政府專項補貼SKIPIF1<0成本.(1)求SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產所獲收益SKIPIF1<0（萬元）關于政府補貼SKIPIF1<0（萬元）的函數關系式；(2)當政府的專項補貼為多少萬元時，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產所獲收益最大？【答案】(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(2)當政府的專項補貼為SKIPIF1<0萬元時，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產所獲收益最大，最大值為SKIPIF1<0萬元【分析】（1）計算出銷售金額、成本，結合題意可得出SKIPIF1<0的函數關系式，以及該函數的定義域；（2）由SKIPIF1<0結合基本不等式可求得SKIPIF1<0的最大值，利用等號成立的條件求出SKIPIF1<0的值，即可得出結論.【詳解】（1）解：由題意可知，銷售金額為SKIPIF1<0萬元，政府補貼SKIPIF1<0萬元，成本為SKIPIF1<0萬元，所以，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（2）解：由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，

當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，

所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產所獲收益最大，最大值為SKIPIF1<0萬元；即當政府的專項補貼為SKIPIF1<0萬元時，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產所獲收益最大，最大值為SKIPIF1<0萬元.（2）.某城市受霧霾影響嚴重，現欲在該城市中心P的兩側建造A，B兩個空氣凈化站（A，P，B三點共線），A，B兩站對該城市的凈化度分別為a，1a，其中a(0，1)．已知對該城市總凈化效果為A，B兩站對該城市的凈化效果之和，且每站凈化效果與凈化度成正比，與中心P到凈化站距離成反比．若AB=1，且當AP=時，A站對該城市的凈化效果為，B站對該城市的凈化效果為1a．（1）設AP=x，x(0，1)，求A，B兩站對該城市的總凈化效果f(x)；（2）無論A，B兩站建在何處，若要求A，B兩站對該城市的總凈化效果至少達到，求a的取值集合．解：（1）設A站對城市的凈化效果為，比例系數為，則，由題意，，即，所以，設B站對P城市的凈化效果為，比例系數為，則，由，得所以A、B兩站對該城市的總凈化效果，；…6分（2）由題意得對任意的恒成立，只要時即可；又，當且僅當即時等號成立，則，又若，則，即，綜上，無論A、B兩站建在何處，若要求A、B兩站對P城市的總凈化效果至少達到，a的取值集合為[，]．幾何圖形例4：如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構成，曲線AB和曲線DE分別是頂點在路面A，E的拋物線的一部分，曲線BCD是圓弧，已知它們在接點B，D處的切線相同，若橋的最高點C到水平面的距離H＝6米，圓弧的弓高h＝1米，圓弧所對的弦長BD＝10米．(1)求弧所在圓的半徑；(2)求橋底AE的長．解：(1)以線段AE所在直線為x軸，線段AE的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．∵H＝6米，BD＝10米，弓高h＝1米，∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，設所在圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，則∴∴弧所在圓的半徑為13米．(2)弧的方程為x2＋(y＋7)2＝169(5≤y≤6)．設曲線AB所在拋物線的方程為y＝a(x－m)2，∵點B(－5,5)在曲線AB上，∴5＝a(5＋m)2，①又弧與曲線段AB在接點B處的切線相同，且弧在點B處的切線的斜率為，由y＝a(x－m)2，得y′＝2a(x－m)，∴2a(－5－m)＝，∴2a(5＋m)＝－，②由①②得m＝－29，∴A(－29,0)，E(29,0)，∴橋底AE的長為58米．選擇題有其獨特的解答方法，首先重點把握選擇支也是已知條件，利用選擇支之間的關系可能使你的答案更準確。切記不要“小題大做”。注意解答題按步驟給分，根據題目的已知條件與問題的聯系寫出可能用到的公式、方法、或是判斷。雖然不能完全解答，但是也要把自己的想法與做法寫到答卷上。多寫不會扣分，寫了就可能得分。一、單選題1．明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應用于航海，形成了一套先進航海技術——“過洋牽星術”．簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位．其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數列，最大的邊長約24厘米（稱十二指）．觀測時，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對著所觀測的星辰，依高低不同替換、調整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據等差數列的通項公式求出四指板的高度，再計算SKIPIF1<0，然后利用二倍角的正切即可求解.【詳解】設等差數列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0厘米，SKIPIF1<0厘米，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0厘米，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：A2．隨著工業(yè)自動化和計算機技術的發(fā)展，中國機器人進入大量生產和實際應用階段，下圖為2022年中國服務機器人各行業(yè)滲透率調查情況.根據該圖，下列結論錯誤的是（

）A．物流倉儲業(yè)是目前服務行業(yè)中服務機器人已應用占比最高的行業(yè)B．教育業(yè)目前在大力籌備應用服務機器人C．未計劃使用服務機器人占比最高的是政務服務業(yè)D．圖中八大服務業(yè)中服務機器人已應用占比的中位數是33.3%【答案】D【分析】對ABC，分別由圖觀察已應用、籌備中、未計劃占比最高的服務行業(yè)，即可判斷；對D，由中位數定義即可求.【詳解】對A，由圖易知，物流倉儲業(yè)在目前服務行業(yè)中服務機器人已應用占比最高，A對；對B，由圖易知，教育業(yè)在目前服務行業(yè)中服務機器人籌備中占比最高，B對；對C，由圖易知，政務服務業(yè)在目前服務行業(yè)中服務機器人未計劃占比最高，C對；對D，由圖易知，八大服務業(yè)中服務機器人已應用占比已經排好序，故中位數是SKIPIF1<0，D錯.故選：D3．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等領域，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，F是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為SKIPIF1<0，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值SKIPIF1<0稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，則其焦徑比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】建立直角坐標系，設拋物線的標準方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入拋物線方程可得SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系，即可得出SKIPIF1<0．【詳解】如圖所示，建立直角坐標系，設拋物線的標準方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入拋物線方程可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）又SKIPIF1<0，化為：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.4．我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距SKIPIF1<0的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表，根據三角學知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距SKIPIF1<0正切值的乘積，即SKIPIF1<0．對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】B【分析】根據給定條件，可得SKIPIF1<0，再利用和角的正切公式計算作答.【詳解】依題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B5．我國古代數學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數學史上具有光輝的一頁，堪稱數學史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數學家們.定理涉及的是數的整除問題，其數學思想在近代數學，當代密碼學研究及日常生活都有著廣泛的應用，為世界數學的發(fā)展做出了巨大貢獻，現有這樣一個整除問題：將1到2022這2022個數中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列SKIPIF1<0，那么此數列的項數為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變形得到SKIPIF1<0的通項公式，從而得到不等式組，求出此數列的項數.【詳解】由題意得：能被3除余2的數為2，5，8，11……，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，被5除余3的數為3，8，13……，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，被7除余1的數為1，8，15……，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故此數列的項數為20.故選：D二、填空題6．權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立．根據權方和不等式，函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為______．【答案】8【分析】先將給定函數式表示成已知不等式左邊的形式，再利用該不等式求解即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為8.故答案為：8.三、解答題7．均值不等式SKIPIF1<0可以推廣成均值不等式鏈，在不等式證明和求最值中有廣泛的應用，具體為：SKIPIF1<0.(1)證明不等式SKIPIF1<0.(2)上面給出的均值不等式鏈是二元形式，其中SKIPIF1<0指的是兩個正數的平方平均數不小它們的算數平均數，類比這個不等式給出對應的三元形式，即三個正數的平方平均數不小于它們的算數平均數，并嘗試用分析法證明猜想.（SKIPIF1<0個數的平方平均數為SKIPIF1<0）【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式得出SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0；（2）要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，結合基本不等式證明即可.【詳解】（1）由題意可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時，取等號）SKIPIF1<0（2）要證SKIPIF1<0.只要證SKIPIF1<0.即證SKIPIF1<0.SKIPIF1<