新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)突破訓(xùn)練第28講 高考中的應(yīng)用題解法（含解析）

第28講高考中的應(yīng)用題解法數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是能力與素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的是新高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，在近幾年的高考題中，常見的有與經(jīng)濟(jì)有關(guān)即利潤最大化和成本最小化為背景的應(yīng)用題，也有以三角函數(shù)，平面幾何圖形、空間幾何體為背景的圖形應(yīng)用題．本文集中介紹以三角，函數(shù)，不等式，幾何圖形為載體的應(yīng)用問題.涉及平面圖形的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，通常的處理方法是仔細(xì)審題，明確解題方向，結(jié)合所給平面圖形的結(jié)構(gòu)特征以及相關(guān)性質(zhì)，適當(dāng)選取參數(shù)(如角、線段的長度等)，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)予以解決，其中，運(yùn)用基本不等式、三角函數(shù)的最值以及利用函數(shù)的性質(zhì)求最值是常見數(shù)學(xué)知識(shí)和方法．三角函數(shù)例1：1．如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中SKIPIF1<0．(1)將十字形的面積表示為SKIPIF1<0的函數(shù)；(2)SKIPIF1<0為何值時(shí)，十字形的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0【分析】（1）首先利用SKIPIF1<0表示出面積表達(dá)式，再利用三角函數(shù)替換，結(jié)合SKIPIF1<0的范圍即可.（2）對(duì)面積表達(dá)式利用二倍角公式以及降次公式化簡，再結(jié)合輔助角公式即可化簡，最后結(jié)合角的范圍求出最值.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0為十字形的面積，則SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0.所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0最大,且最大值為SKIPIF1<0.2.某隧道橫斷面由半圓及矩形的三邊組成，尺寸如圖，一平板車車身高1米，車上裝載截面為長方形的貨物，為了保證行車安全，要求貨物距隧道頂部距離不得少于0.5米．（1）如果車上裝載貨物截面長方形的寬為3米，貨物的最大高度是多少？（2）適當(dāng)調(diào)整貨物的寬與高（不受車寬影響），可以使貨物截面的面積最大，從而使運(yùn)載的貨物最多，試問應(yīng)如何調(diào)整，才能使裝載的貨物最多？解：如圖，設(shè)半圓圓心為O，平行于矩形底邊的直徑為AB，貨物右邊界所在直線與半圓、直徑AB、矩形底邊的的交點(diǎn)分別為P,M,N，．（1）如果裝載貨物寬度為3米，則OM=1.5（米），所以，（米）所以貨物的最大高度為（米）（2）由，知貨物寬度為，．貨物高度為，貨物截面面積，由解得或（舍去），所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，S取最大值，此時(shí)，，即當(dāng)貨物寬度為米，高度為3米時(shí)，截面面積最大，所裝貨物最多．分段函數(shù)例2：某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地時(shí)間的平均用時(shí)，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)S中x%(0＜x＜100)的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為f(x)＝(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？(2)求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式；試討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．解：(1)2x＋－90＞40.由于x＞0，故x2－65x＋900＞0，解得45＜x＜100.故當(dāng)45＜x＜100時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間．(2)當(dāng)0＜x≤30時(shí)，g(x)＝30×x%＋40(1－x%)＝40－；當(dāng)30＜x≤100時(shí)，g(x)＝×x%＋40(1－x%)＝－＋58.所以g(x)＝當(dāng)0＜x≤32.5時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)32.5＜x<100時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，說明，當(dāng)S中有少于32.5%的成員自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間遞減；自駕32.5%時(shí)，人均通勤時(shí)間達(dá)到最小值；大于32.5%時(shí)，人均通勤時(shí)間再次逐漸增大．許多實(shí)際應(yīng)用問題在轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題去解決時(shí)，無法用一個(gè)等量關(guān)系去表達(dá)，需要列出若干個(gè)關(guān)系式，這些關(guān)系式構(gòu)成了一個(gè)整體，即為分段函數(shù)，在建構(gòu)分段函數(shù)模型時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題的條件，將自變量的取值范圍劃分為若干個(gè)區(qū)間，分別考察在每個(gè)區(qū)間上的最優(yōu)解，并加以比較以確定問題的解答，涉及分段變換的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，通常的處理方法是仔細(xì)審題，明確解題方向，結(jié)合條件，分段解決，這類問題常常會(huì)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、三次函數(shù)、分式函數(shù)等函數(shù)問題，求最值的方法不限定僅用函數(shù)方法，有時(shí)也會(huì)用到基本不等式等其他求最值的方法．不等式例3：（1）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)，就地過年”的倡議.為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在春節(jié)期間留住員工在本市過年并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)啬砈KIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)提供SKIPIF1<0（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼.SKIPIF1<0企業(yè)在收到政府SKIPIF1<0（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到SKIPIF1<0（萬件）.同時(shí)SKIPIF1<0企業(yè)生產(chǎn)SKIPIF1<0（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為SKIPIF1<0（萬元），并以每件SKIPIF1<0元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益SKIPIF1<0銷售金額SKIPIF1<0政府專項(xiàng)補(bǔ)貼SKIPIF1<0成本.(1)求SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益SKIPIF1<0（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼SKIPIF1<0（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？【答案】(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(2)當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為SKIPIF1<0萬元時(shí)，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為SKIPIF1<0萬元【分析】（1）計(jì)算出銷售金額、成本，結(jié)合題意可得出SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式，以及該函數(shù)的定義域；（2）由SKIPIF1<0結(jié)合基本不等式可求得SKIPIF1<0的最大值，利用等號(hào)成立的條件求出SKIPIF1<0的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意可知，銷售金額為SKIPIF1<0萬元，政府補(bǔ)貼SKIPIF1<0萬元，成本為SKIPIF1<0萬元，所以，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（2）解：由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，

當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，

所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為SKIPIF1<0萬元；即當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為SKIPIF1<0萬元時(shí)，SKIPIF1<0企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為SKIPIF1<0萬元.（2）.某城市受霧霾影響嚴(yán)重，現(xiàn)欲在該城市中心P的兩側(cè)建造A，B兩個(gè)空氣凈化站（A，P，B三點(diǎn)共線），A，B兩站對(duì)該城市的凈化度分別為a，1a，其中a(0，1)．已知對(duì)該城市總凈化效果為A，B兩站對(duì)該城市的凈化效果之和，且每站凈化效果與凈化度成正比，與中心P到凈化站距離成反比．若AB=1，且當(dāng)AP=時(shí)，A站對(duì)該城市的凈化效果為，B站對(duì)該城市的凈化效果為1a．（1）設(shè)AP=x，x(0，1)，求A，B兩站對(duì)該城市的總凈化效果f(x)；（2）無論A，B兩站建在何處，若要求A，B兩站對(duì)該城市的總凈化效果至少達(dá)到，求a的取值集合．解：（1）設(shè)A站對(duì)城市的凈化效果為，比例系數(shù)為，則，由題意，，即，所以，設(shè)B站對(duì)P城市的凈化效果為，比例系數(shù)為，則，由，得所以A、B兩站對(duì)該城市的總凈化效果，；…6分（2）由題意得對(duì)任意的恒成立，只要時(shí)即可；又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則，又若，則，即，綜上，無論A、B兩站建在何處，若要求A、B兩站對(duì)P城市的總凈化效果至少達(dá)到，a的取值集合為[，]．幾何圖形例4：如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構(gòu)成，曲線AB和曲線DE分別是頂點(diǎn)在路面A，E的拋物線的一部分，曲線BCD是圓弧，已知它們?cè)诮狱c(diǎn)B，D處的切線相同，若橋的最高點(diǎn)C到水平面的距離H＝6米，圓弧的弓高h(yuǎn)＝1米，圓弧所對(duì)的弦長BD＝10米．(1)求弧所在圓的半徑；(2)求橋底AE的長．解：(1)以線段AE所在直線為x軸，線段AE的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．∵H＝6米，BD＝10米，弓高h(yuǎn)＝1米，∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，設(shè)所在圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，則∴∴弧所在圓的半徑為13米．(2)弧的方程為x2＋(y＋7)2＝169(5≤y≤6)．設(shè)曲線AB所在拋物線的方程為y＝a(x－m)2，∵點(diǎn)B(－5,5)在曲線AB上，∴5＝a(5＋m)2，①又弧與曲線段AB在接點(diǎn)B處的切線相同，且弧在點(diǎn)B處的切線的斜率為，由y＝a(x－m)2，得y′＝2a(x－m)，∴2a(－5－m)＝，∴2a(5＋m)＝－，②由①②得m＝－29，∴A(－29,0)，E(29,0)，∴橋底AE的長為58米．選擇題有其獨(dú)特的解答方法，首先重點(diǎn)把握選擇支也是已知條件，利用選擇支之間的關(guān)系可能使你的答案更準(zhǔn)確。切記不要“小題大做”。注意解答題按步驟給分，根據(jù)題目的已知條件與問題的聯(lián)系寫出可能用到的公式、方法、或是判斷。雖然不能完全解答，但是也要把自己的想法與做法寫到答卷上。多寫不會(huì)扣分，寫了就可能得分。一、單選題1．明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，形成了一套先進(jìn)航海技術(shù)——“過洋牽星術(shù)”．簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時(shí)辰的日月星辰在天空運(yùn)行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位．其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長約24厘米（稱十二指）．觀測時(shí)，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對(duì)著所觀測的星辰，依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測星辰落在木板上邊緣時(shí)所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出四指板的高度，再計(jì)算SKIPIF1<0，然后利用二倍角的正切即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0厘米，SKIPIF1<0厘米，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0厘米，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：A2．隨著工業(yè)自動(dòng)化和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，中國機(jī)器人進(jìn)入大量生產(chǎn)和實(shí)際應(yīng)用階段，下圖為2022年中國服務(wù)機(jī)器人各行業(yè)滲透率調(diào)查情況.根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．物流倉儲(chǔ)業(yè)是目前服務(wù)行業(yè)中服務(wù)機(jī)器人已應(yīng)用占比最高的行業(yè)B．教育業(yè)目前在大力籌備應(yīng)用服務(wù)機(jī)器人C．未計(jì)劃使用服務(wù)機(jī)器人占比最高的是政務(wù)服務(wù)業(yè)D．圖中八大服務(wù)業(yè)中服務(wù)機(jī)器人已應(yīng)用占比的中位數(shù)是33.3%【答案】D【分析】對(duì)ABC，分別由圖觀察已應(yīng)用、籌備中、未計(jì)劃占比最高的服務(wù)行業(yè)，即可判斷；對(duì)D，由中位數(shù)定義即可求.【詳解】對(duì)A，由圖易知，物流倉儲(chǔ)業(yè)在目前服務(wù)行業(yè)中服務(wù)機(jī)器人已應(yīng)用占比最高，A對(duì)；對(duì)B，由圖易知，教育業(yè)在目前服務(wù)行業(yè)中服務(wù)機(jī)器人籌備中占比最高，B對(duì)；對(duì)C，由圖易知，政務(wù)服務(wù)業(yè)在目前服務(wù)行業(yè)中服務(wù)機(jī)器人未計(jì)劃占比最高，C對(duì)；對(duì)D，由圖易知，八大服務(wù)業(yè)中服務(wù)機(jī)器人已應(yīng)用占比已經(jīng)排好序，故中位數(shù)是SKIPIF1<0，D錯(cuò).故選：D3．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為SKIPIF1<0，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值SKIPIF1<0稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，則其焦徑比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入拋物線方程可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，即可得出SKIPIF1<0．【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入拋物線方程可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）又SKIPIF1<0，化為：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.4．我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距SKIPIF1<0正切值的乘積，即SKIPIF1<0．對(duì)同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得SKIPIF1<0，再利用和角的正切公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B5．我國古代數(shù)學(xué)家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁，堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題，其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)，當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛的應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2022這2022個(gè)數(shù)中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變形得到SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，從而得到不等式組，求出此數(shù)列的項(xiàng)數(shù).【詳解】由題意得：能被3除余2的數(shù)為2，5，8，11……，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，被5除余3的數(shù)為3，8，13……，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，被7除余1的數(shù)為1，8，15……，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20.故選：D二、填空題6．權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為______．【答案】8【分析】先將給定函數(shù)式表示成已知不等式左邊的形式，再利用該不等式求解即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為8.故答案為：8.三、解答題7．均值不等式SKIPIF1<0可以推廣成均值不等式鏈，在不等式證明和求最值中有廣泛的應(yīng)用，具體為：SKIPIF1<0.(1)證明不等式SKIPIF1<0.(2)上面給出的均值不等式鏈?zhǔn)嵌问?，其中SKIPIF1<0指的是兩個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小它們的算數(shù)平均數(shù)，類比這個(gè)不等式給出對(duì)應(yīng)的三元形式，即三個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算數(shù)平均數(shù)，并嘗試用分析法證明猜想.（SKIPIF1<0個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)為SKIPIF1<0）【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式得出SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0；（2）要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式證明即可.【詳解】（1）由題意可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)）SKIPIF1<0（2）要證SKIPIF1<0.只要證SKIPIF1<0.即證SKIPIF1<0.SKIPIF1<