高數(shù)期末總復(fù)習(xí)定積分

總復(fù)習(xí)課機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、定積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.掌握定積分的概念和性質(zhì)例題.1.求下述的極限:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.證明：4.證明不等式2.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(x)>0，證明：2.變上限積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束變限積分求導(dǎo)被積函數(shù)含有x的,應(yīng)注意用分離變量和變量代換.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例題.1.求極限2.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某個(gè)鄰域連續(xù),試求極限3.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足。4.

設(shè)函數(shù)由方程所確定,求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.設(shè)函數(shù)f(t)是連續(xù)函數(shù),證明:(1)當(dāng)f(t)是偶函數(shù)時(shí),為奇函數(shù);(2)當(dāng)f(t)是奇函數(shù)時(shí),為偶函數(shù);6.設(shè)求在[0,2]的表達(dá)式.7.設(shè)(1)證明:當(dāng)時(shí),(2)求例8.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束再求導(dǎo):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束總結(jié):一般地,積分上、下限有變量的都可能要考慮變上限積分求導(dǎo),求導(dǎo)時(shí)要把所要求的化為標(biāo)準(zhǔn)的形式,積分里面還有變量的,經(jīng)常采用兩種方法處理:分離變量法和換元法.處理變上限積分一直要把非積分變量的9.求設(shè)函數(shù)f(t)是[-1,1]上的連續(xù)函數(shù),看成常數(shù).10.設(shè)函數(shù)求3.求定積分的方法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)利用定積分的幾何意義；(2)運(yùn)用函數(shù)在積分區(qū)間的一些特性,如對(duì)稱性,周期性.(3)牛頓—萊布尼茲公式、換元法和分部積分法。(4)常用的定積分公式：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例題.1.求下述的定積分:2.設(shè)證明遞推公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),證明：4.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且關(guān)于對(duì)稱,試證:6.設(shè),求f(x).5.設(shè).4.反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)

反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限(3)反常積分的計(jì)算:主要的是要判斷區(qū)間上的瑕點(diǎn),并注意分段,其它的與常義的定積分沒有什么差別.(2)當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.(4)換元不改變反常積分的收斂性.注:計(jì)算反常積分最好先求出原函數(shù),應(yīng)注意不要隨便分項(xiàng)計(jì)算(除非拆出去的項(xiàng)極限存在）.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例題.1.求下述的反常積分:已知2.求求3.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

拉格朗日中值定理5.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6.有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法證明含一個(gè)中值的等式,若已知條件出現(xiàn)積分式的,多用積分中值定理+羅爾定理+閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).利用逆向思維

,用求原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù).注:積分中值定理實(shí)質(zhì)上被積函數(shù)原函數(shù)的微分中值定理,因此構(gòu)造函數(shù)時(shí)有時(shí)要用變上限積分.(2)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù)或要證明有關(guān)高階導(dǎo)數(shù)的中值或不等式的,多考慮用泰勒中值定理+閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。注:根據(jù)題意考慮在哪點(diǎn)進(jìn)行展開.一般是端點(diǎn)或中點(diǎn)或?qū)?shù)已知的點(diǎn).(3)若結(jié)論為不等式,還應(yīng)要注意利用單調(diào)性和積分中值定理或者微分中值定理等等.注意！函數(shù)的解析表示方式主要有三種：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

顯式

隱式

參數(shù)方程（中間變量形式）在計(jì)算時(shí),應(yīng)該根據(jù)題意和實(shí)際情況互相轉(zhuǎn)化.如：求隱式的漸近線、曲率和積分,一般應(yīng)要轉(zhuǎn)化成顯式或參數(shù)方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例題1.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上可導(dǎo),且滿足證明:存在使得2.設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo),在且滿足證明:存在使得3.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在上連續(xù),證明:存在使得且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù),且證明:至少存在兩個(gè)不同的使得5.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù),且證明：至少存在使得*6.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù),且證明：至少存在使得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加,證明：8.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo),且單調(diào)增加,證明:9.設(shè)且試證:10.設(shè)試證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12.設(shè)函數(shù)f(x)在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且證明:其中13.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),證明：14.設(shè)在上，證明極限存在.11.設(shè)f(x)為在[0,1]上單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù),證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束15.設(shè)函數(shù)f(x)在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且(1)求(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束18.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù),證明:16.設(shè)函數(shù)f(x)在[-a,a](a>0)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),證明:存在使得17.設(shè)函數(shù)f(x)在上且證明:在內(nèi)方程僅有一實(shí)根.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例19.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)

f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與

相異的點(diǎn)

,

使(03考研)證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)

設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束