固體物理第二章答案

第2章晶體的結(jié)合習(xí)題有一晶體,平衡時(shí)體積為，原子間相互作用勢(shì)為.如果相距為r的兩原子互作用勢(shì)為證明體積彈性模量為K=求出體心立方結(jié)構(gòu)惰性分子的體積彈性模量.[解答]設(shè)晶體共含有N個(gè)原子,那么總能量為U(r)=.由于晶體外表層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比小得多,因此可忽略它們之間的基異,于是上式簡(jiǎn)化為U=設(shè)最近鄰原子間的距離為R那么有R再令A(yù)A得到U=平衡時(shí)R=R,那么由條件U(R)=得由平衡條件得.由(1),(2)兩式可解得利用體積彈性模量公式[參見?固體物理教程?(2.14)式]K=得K===由于因此于是K=由?固體物理教程?(2.18)式可知,一對(duì)惰性氣體分子的互作用能為假設(shè)令,那么N個(gè)惰性氣體分子的互作用勢(shì)能可表示為.由平衡條件可得R進(jìn)一步得代入K=并取m=6，n=12，V得K=.對(duì)體心立方晶體有A于是一維原子鏈,正負(fù)離子間距為,試證:馬德隆常數(shù)為1n2.[解答]相距的兩個(gè)離子間的互作用勢(shì)能可表示成設(shè)最近鄰原子間的距離為R那么有,那么總的離子間的互作用勢(shì)能U=.基中為離子晶格的馬德隆常數(shù),式中+;-號(hào)分別對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子.任選一正離子作為參考離子,在求和中對(duì)負(fù)離子到正號(hào),對(duì)正離子取負(fù)號(hào),考慮到對(duì)一維離子兩邊的離子是正負(fù)對(duì)稱分布的,那么有利用正面的展開式1n(1+)并令得=1n(1+1)=1n2.于是,一維離子鏈的馬德常數(shù)為1n2計(jì)算面心立方面簡(jiǎn)單格子的和只計(jì)最近鄰;計(jì)算到次近鄰;計(jì)算到次近鄰.[解答]圖2.26示出了面心立方簡(jiǎn)單格子的一個(gè)晶胞.角頂O原子周圍有8個(gè)這樣的晶胞,標(biāo)號(hào)為1的原子是原子O的最近鄰標(biāo)號(hào)為2的原子是O原子的最近鄰,標(biāo)號(hào)為3的原子是O原子的次次近鄰.由此得到,面心立方簡(jiǎn)單格子任一原子有12個(gè)最近鄰,6個(gè)次近鄰及24個(gè)次次近鄰.以最近鄰距離度量,其距離分別為:由圖2.6面心立方晶胞得只計(jì)最近鄰時(shí)，.計(jì)算到次近鄰時(shí)計(jì)算到次次近鄰時(shí)由以上可以看出,由于中的冪指數(shù)較大,收斂得很快,而中的冪指數(shù)較小,因此收斂得較慢,通常所采用的面心立方簡(jiǎn)單格子的和的數(shù)值分別是14.45與12.13.用埃夫琴方法計(jì)算二維正方離子(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù).[解答]馬德隆常數(shù)的定義式為,式中+、-號(hào)分別對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子,二維正方離子(正負(fù)兩種)格子,實(shí)際是一個(gè)面心正方格子,圖2.7示出了一個(gè)埃夫琴晶胞.設(shè)參考離子O為正離子,位于邊棱中點(diǎn)的離子為負(fù)離子,它們對(duì)晶胞的奉獻(xiàn)為4*(1/2).對(duì)參考離子庫侖能的奉獻(xiàn)為圖2.7二維正方離子晶格頂角上的離子為正離子,它們對(duì)晶胞的奉獻(xiàn)為4*(1/4),對(duì)參考離子庫侖能的奉獻(xiàn)為因此通過一個(gè)埃夫琴晶胞算出的馬德隆常數(shù)為再選取個(gè)埃夫琴晶胞作為考慮對(duì)象,這時(shí)離子O的最的鄰,次近鄰均在所考慮的范圍內(nèi),它們對(duì)庫侖能的奉獻(xiàn)為而邊棱上的離子對(duì)庫侖能的奉獻(xiàn)為頂角上的離子對(duì)為庫侖能的奉獻(xiàn)為這時(shí)算出的馬德隆常數(shù)為圖2.84個(gè)埃夫琴晶胞同理對(duì)個(gè)埃夫琴晶胞進(jìn)行計(jì)算,所得結(jié)果為對(duì)個(gè)埃夫琴晶胞進(jìn)行計(jì)算,所得結(jié)果為中選取n個(gè)埃夫琴晶胞來計(jì)算二維正方離子(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù),其計(jì)算公式(參見劉策軍,二維NaC1晶體馬德隆常數(shù)計(jì)算,?大學(xué)物理?，Vo1.14,No.12,1995.)為其中用埃夫琴方法計(jì)算CsCl型離子晶體的馬德隆常數(shù)只計(jì)最近鄰取八個(gè)晶胞[解答]圖2.29是CsCl晶胸結(jié)構(gòu),即只計(jì)及最近鄰的最小埃夫琴晶胞,圖2.29是將Cs雙在體心位置的結(jié)構(gòu),圖2.9(a)是將Cl取在體心位置的結(jié)構(gòu),容易求得在只計(jì)及最近鄰情況下,馬德隆常數(shù)為1.圖2.29〔a〕Cs取為體心的CsC1晶胞,(b)C1取為體心的CsC1晶胞(2)圖2.10是由8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞,8個(gè)最近鄰在埃夫琴晶胞內(nèi),每個(gè)離子對(duì)晶胞的奉獻(xiàn)為1,它們與參考離子異號(hào),所以這8個(gè)離子對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn)為8埃夫琴晶胞6個(gè)面上的離子與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的奉獻(xiàn)是,它們與參考離子的距離為它們對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn)為-圖2.108個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的一個(gè)埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12個(gè)離子,與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的奉獻(xiàn)是它們與參考離子的距離為它們對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn)為-埃夫琴晶胞角頂上的8個(gè)離子,與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的奉獻(xiàn)是它們與參考離子的距離為2R它們對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn)為-,由8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的馬德隆常數(shù)為了進(jìn)一步找到馬德常數(shù)的規(guī)律,我們以計(jì)算了由27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù),結(jié)果發(fā)現(xiàn),由27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)是0.439665.馬德隆常數(shù)的不收斂,說明CsCl晶胞的結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)不能用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計(jì)算.為了找出合理的計(jì)算方法,必須首先找出采用單個(gè)埃夫琴晶胞時(shí)馬德隆常數(shù)不收斂的原因.為了便于計(jì)算,通常取參考離子處于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs作參考離子,由于埃夫琴晶胞是電中性的要求,那么邊長(zhǎng)為(p是大于或等于1的整數(shù))的埃夫琴晶胞是由(2p)個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成,埃夫琴晶胞最外層的離子與參考離子同號(hào),而邊長(zhǎng)為(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1)個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成,但埃夫琴晶胞的最外層離子與參考離子異號(hào),如果以C1作參考離子也有同樣的規(guī)律,設(shè)參考離子處于坐標(biāo)原點(diǎn)O,沿與晶胞垂直的方向(分別取為x,y,z圖2.11示出了z軸)看去,與參考郭同號(hào)的離子都分布在距O點(diǎn)的層面上,其中是大于等于1的整數(shù),與O點(diǎn)離子異號(hào)的離子都分布在距O點(diǎn)(-0.5)的層面上,圖2.11(a)示出了同號(hào)離子層,圖2.11(b)示出了異號(hào)離子層.圖2.11離子層示意圖(a)表示同號(hào)離子層,O離子所在層與O離子所在層相距(b)表示異號(hào)離子層,O離子所在層和O離子所在層相距(-0.5)當(dāng)CsCl埃夫琴晶胞邊長(zhǎng)很大時(shí),晶胞最外層的任一個(gè)離子對(duì)參考離子的庫侖能都變得很小,但它們對(duì)參考離子總的庫侖能不能忽略.對(duì)于由(2p)個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來說,最外層有6*(2p)個(gè)與參考離子同號(hào)的離子,它們與參考離子的距離為(1/2)~(),它們與參考離子的庫侖能為量級(jí),這是一個(gè)相對(duì)大的正值.對(duì)于由(2p+1)個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來說,離外層有6*(2p+1)個(gè)與參考離子異號(hào)的離子,它們與參考離子的庫侖能為量級(jí),這是一個(gè)絕對(duì)值相對(duì)大的負(fù)值,因此,由(2p)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫侖能,與由(2p+1)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫侖能會(huì)有較大的差異.即每一情況計(jì)算的庫侖能都不能代表CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能.因此這兩種情況所計(jì)算的馬德隆常數(shù)也必定有較大的差異,由1個(gè)CsCl晶胞、8個(gè)CsCl晶胞和27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的計(jì)算可知,CsCl埃夫琴晶胞體積不大時(shí),這種現(xiàn)象已經(jīng)存在.為了克服埃夫琴方法在計(jì)算馬德隆常數(shù)時(shí)的局限性,可采取以下方法,令由(2p)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的庫侖能為，由(2p+1)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫侖能為，那么CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能可近似取作(1)因子1/2的引入是考慮除了(2p+1)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞最外層離子外,其他離子間的庫侖能都累計(jì)了兩偏,計(jì)算和時(shí)要選取體積足夠大的埃夫琴晶胞,此時(shí)埃夫琴晶胞最外層離子數(shù)與晶胞內(nèi)的離子數(shù)相比是個(gè)很小的數(shù),相應(yīng)的馬德隆常數(shù)應(yīng)為(2)其中：是由(2p)個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的值;由(2p+1)個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算本錢的值.為簡(jiǎn)化計(jì)算,特選取晶胞邊長(zhǎng)為計(jì)算單位,由于所以(3)其中是某一離子到參點(diǎn)的距離與的比值.考慮到對(duì)稱性,對(duì)選定的埃夫琴晶胞,把晶胞的離子看成分布在一個(gè)個(gè)以參考離子為對(duì)滿意的正六面體的六個(gè)面上,體積不同的正六面六個(gè)面上的離子分別計(jì)算.由(2p)個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成埃夫琴晶胞時(shí),由分析整理可得(4)由(2p+1)個(gè)CsC1晶胸構(gòu)成埃夫琴晶胞時(shí),(5)其中：(6)表示與O點(diǎn)距離為的6個(gè)面上所有的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的面奉獻(xiàn),因?yàn)檫@些離子與參考離子同號(hào),故到負(fù)號(hào).、是離子在平面上的坐標(biāo),代表6個(gè)面上等價(jià)離子的個(gè)數(shù),其取值規(guī)那么為:在角上(如E點(diǎn)),即=i且=i.時(shí),=8；在棱與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(如F點(diǎn))，=i且=0或=0且=0時(shí),=6在棱上的其他點(diǎn)(如H、I點(diǎn))即不滿足上述條件,且=i或=i.時(shí),=12在點(diǎn),即=0且=0時(shí),=6在除點(diǎn)外的面上的點(diǎn)(如J點(diǎn)),即不滿足上述條件時(shí)，=24.(7)代表距O點(diǎn)距離為(-0.5)的6個(gè)面上的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn),因?yàn)檫@種些離子與參考離子異號(hào),故取正號(hào).,是離子在平面上的坐標(biāo),代表這6個(gè)面上等價(jià)離子的個(gè)數(shù),其取值規(guī)那么為:在角上(如K點(diǎn)),即=i且=i.時(shí),=8;在棱下(如L、M點(diǎn)),即不滿足不述條件,且=i或=i時(shí)，=12；在面上(如N點(diǎn))好不滿足上述條件時(shí),=24.表示在邊長(zhǎng)為2的晶胞最外層,即與參考離子相距的6個(gè)面上的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn),應(yīng)取負(fù)號(hào),與的不同在于的取值:在角上,=/8;在棱上,=/4;在面上,=/2.表示在邊長(zhǎng)為2的晶胞最外層,即與參考離子相距(p+0.5)的離子層對(duì)馬德隆常數(shù)的奉獻(xiàn),應(yīng)取正號(hào),與的不同在于的取值:在角上,=/8;在棱上,=/4;在面上,=/2.表2.1給出了計(jì)算結(jié)果,給出的是由分別對(duì)應(yīng)2p和2p+1的和求得的,實(shí)際上,和只需對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相近的埃夫琴晶胞即可,如取對(duì)應(yīng)2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一樣的收斂結(jié)果,由以上數(shù)據(jù)可見,馬德隆常數(shù)隨晶胞邊長(zhǎng)的增大而迅速收斂.該方法適用于NaC1結(jié)構(gòu)以外離子晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算.表2.21CsC1晶體結(jié)構(gòu)馬德隆常數(shù)2p2p+123.06480630.4396651.752235543.10240150.4155941.7589975103.119695110.4050771.7623860503.122891510.4024531.76267201003.1229911010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.76267503003.1230213010.4023291.76267504003.1230224010.4023271.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.76267457003.1230247010.4023261.76267508003.1230248010.4023261.7626750只計(jì)及最近鄰間的排斥作用時(shí),一離子晶體離子間的互作用勢(shì)為(1)最近鄰(2)最近鄰以外式中是常數(shù),R是最近鄰距離,求晶體平衡時(shí),原子間總的互作用勢(shì).[解答]設(shè)離子數(shù)目為2N,以R表示第j個(gè)離子到參考離子i的距離,忽略外表效應(yīng),那么總的相互作用能可表示為U=N(表示最近鄰)=N其中為馬德隆常數(shù),+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子,-號(hào)對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子;Z為任一離子的最近鄰數(shù)目,設(shè)平衡時(shí)R=R,由平衡條件得平衡時(shí)的總相互作用為設(shè)離子晶體中,離子間的互作用勢(shì)為求晶體平衡時(shí),離子間總的相互作用勢(shì)能證明:其中是馬德隆常數(shù)，Z是晶體配位數(shù)[解答](1)設(shè)離子數(shù)目為2N,以R表示第j個(gè)離子到參考離子i的距離,忽略外表效應(yīng),那么總的相互作用能可表示U=N(表示最近鄰)=N其中,為馬德隆常數(shù),+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子,-號(hào)對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子.Z為任一離子的最近鄰數(shù)目,設(shè)平衡時(shí)R=R由平衡條件得=即.于是,晶體平衡時(shí)離子間總的相互作用勢(shì)能=(2)晶體平衡時(shí)離子間的相互作用勢(shì)能可進(jìn)一步化為=由上式可知8.一維離子鏈,其上等間距載有正負(fù)2N個(gè)離子,設(shè)離子間的泡利排斥只出現(xiàn)在最近鄰離子之間,且為b/R,b,n是常R是兩最近鄰離子的間距,設(shè)離子電荷為q,試證明平衡間距下=令晶體被壓縮,使,試證明在晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過程中外力作功的主項(xiàng)為c其中c=求原子鏈被壓縮了2時(shí)的外力[解答]因?yàn)殡x子間是等間距的,且都等于R,所以認(rèn)定離子與第j個(gè)離子的距離總可表示成為是一整數(shù),于是離子間總的互作用勢(shì)能,其中+、-分別對(duì)應(yīng)相異離子和相同離子的相互作用.一維離子晶格的馬德隆常數(shù)(參見本章習(xí)題2)為21n2.利用平衡條件得到b=,=.在平衡間距下.將互作用勢(shì)能在平衡間距附近展成級(jí)數(shù)由外力作的功等于晶體內(nèi)能的增量，可得外力作功的主項(xiàng)為W=,其中利用平衡條件，將R=R，代入上式，得到W=.晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過程中，外力作的功的主項(xiàng)=令c=(CGS)得到在晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過程中，外力作的功的主項(xiàng)為.〔3〕設(shè)時(shí)外力為F,由于在彈性范圍內(nèi)，外力與晶格的形變成正比，所以F=,F=,其中為比例系數(shù)離子鏈被壓縮過程中外力作的功W==.由于W=,所以離子鏈被壓縮了時(shí)的外力為F=.9．設(shè)泡利排斥項(xiàng)的形式不變，討論電荷加倍對(duì)NaC1晶格常數(shù)，體積彈性模量以及結(jié)合能的影響。[解答]NaC1離子間的互作用勢(shì)為.如果晶體共含有N個(gè)原子，令=,R是最近鄰離子間的距離，那么總的互作用勢(shì)能U=,式中.假設(shè)平衡時(shí)R=R,由平衡條件得.利用體積彈性模量公式K=得K=.平衡時(shí)的結(jié)合能為.由于晶格常數(shù)與成線形關(guān)系,于是,當(dāng)電荷加倍時(shí),晶格常數(shù),體積彈性模量以及結(jié)合能與原來值的比值為10．兩原子間互作用勢(shì)為當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子時(shí)，核間距為3,解離能為4eV,求和.[解答]當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子即平衡時(shí)，其相互作用勢(shì)能取極小值，于是有.由此是平衡時(shí)兩原子間的距離為,(1)而平衡時(shí)的勢(shì)能為.(2)根據(jù)定義，解離能為物體全部離解成單個(gè)原子時(shí)所需用的能量，其值等于解離能為4eV因此得=4eV.(3)再將=3,1eV=1.602*10erg代入(1)(3)兩式,得7.69*10erg?cm=1.40*10erg?cm.11．NaC1晶體的體積彈性模量為2.4*10帕，在2萬個(gè)大氣城壓作用下，原子相互作用勢(shì)能增加多少？晶格常數(shù)將縮小百分之幾？〔1帕=10個(gè)大氣壓〕[解答]假定在外力作用下,晶體的形變?yōu)閺椥孕巫?，此時(shí)可將K視為常量，由?固體物理教程?〔2.6〕式K=,得P.式中=1個(gè)大氣壓,P=2*10個(gè)大氣壓,為晶體在壓強(qiáng)為時(shí)的體積,由此得V=V及=V-V在彈性形變情況下,體積的相對(duì)變化率.因此,由?固體物理教程?(2.10)式P=,可知體積彈性械量K甚大于壓強(qiáng)P,于是再根據(jù),得相互作用勢(shì)能增加量為=單位體積熱能增加量為==1.67*10.設(shè)晶格常數(shù)為,那么有,是一常數(shù),于是.得晶格常數(shù)縮小的百分比為==2.8%.12.雷納德一瓊斯為,證明:r=1.12時(shí)勢(shì)能最小,且;當(dāng)r=時(shí),說明和的物理意義.[解答]當(dāng)時(shí)取最小值,由極值條件得于是有再代入u的表示式得,當(dāng)r=時(shí)那么有,由于是兩分子間的結(jié)合能,所以即是兩分子處于平衡時(shí)的結(jié)合能,具有長(zhǎng)度的量綱,它的物理意義是,是互作用勢(shì)能為0時(shí)兩分子間的間距.\13.如果離子晶體中離子總的相互作用勢(shì)能為,求晶體的壓縮系數(shù),其中為常數(shù),Z為配位數(shù).[解答]壓縮系數(shù)k等于體積彈性模量K的倒數(shù),即.又.式中為平衡時(shí)相鄰原子間的距離,由平衡條件,得,即.由以諸式得k=.14.取一立方體積元,以相對(duì)兩面中點(diǎn)連線為轉(zhuǎn)軸,列出轉(zhuǎn)動(dòng)方程,證明應(yīng)