二次曲面習(xí)題課

解析幾何習(xí)題課(二)2021/5/91Chap.4二次曲面(quadricsurfaces)空間解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題：一、給定曲面，建立方程；二、給定方程,研究它的圖形及其幾何性質(zhì)。2021/5/921、柱面(cylinder)定義：一直線L沿一已知曲線C平行移動(dòng)而得的曲面稱為

柱面。

C——準(zhǔn)線(directrix)，L——母線(ruling)直柱面：2021/5/93射影柱面依次消去一個(gè)變?cè)溆爸嬷娴膮?shù)方程(parametricequation)（P147ex4）2021/5/94圓錐面

直線l1繞另一條與l1相交于O的直線l2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面.

O——頂點(diǎn)(vertex)

兩直線的夾角——半頂角

錐面

一直線通過(guò)定點(diǎn)O，且沿空間中一條定曲線C

移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面稱為錐面.

O——頂點(diǎn)

C——準(zhǔn)線（不唯一

）

動(dòng)直線——母線（不唯一

）2、錐面(conicalsurface)2021/5/95錐面的參數(shù)方程（P152ex6）2021/5/963、旋轉(zhuǎn)曲面(surfaceofrevolution)定義：曲線C繞定直線l旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)

曲面。l——旋轉(zhuǎn)軸，C——母線旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程（P158ex3）2021/5/974、橢球面(ellipsoid)

（1）橢球面的方程

（2）橢球面的性質(zhì)

（1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對(duì)稱。

（2）并有六個(gè)頂點(diǎn)

2021/5/98（3）形狀（與三個(gè)坐標(biāo)面的交線）：

是一個(gè)橢圓

(ellipse)(2)是一個(gè)橢圓

(3)是一個(gè)橢圓

2021/5/99（4）橢球面的參數(shù)方程（廣義球坐標(biāo)系）2021/5/9105、雙曲面(hyperboloid)

I．

單葉雙曲面(hyperboloidofonesheet)

方程：

性質(zhì)：（1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對(duì)稱。

（2）有四個(gè)頂點(diǎn)（3）形狀：

（1）是一個(gè)橢圓（腰橢圓）

2021/5/911（2）是雙曲線

(hyperbola)（3）是雙曲線

（4）是一個(gè)橢圓

???íì=+=+hzchbyax22222212021/5/912II．雙葉雙曲面(hyperboloidoftwosheets)

方程：

性質(zhì)：

（1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對(duì)稱。

（2）有兩個(gè)頂點(diǎn)

（3）形狀：

（6）是雙曲線

（7）是雙曲線

2021/5/913

參數(shù)方程(P168ex.7)(1)單葉雙曲面(2)雙葉雙曲面2021/5/9146、拋物面(paraboloid)

I．橢圓拋物面(ellipticparaboloid)

方程：

性質(zhì)：

（1）橢圓拋物面對(duì)稱于XOZ與YOZ坐標(biāo)面，對(duì)稱于z軸，無(wú)對(duì)稱中心。（2）與對(duì)稱軸交于原點(diǎn)（0，0，0），叫做橢圓拋物面的頂點(diǎn)。

2021/5/915（3）形狀：

（1）是拋物線

(parabola)

（2）是拋物線

主拋物線

（3）是一個(gè)橢圓

容易知道圖形（3）的兩對(duì)頂點(diǎn)分別在主拋物線（1）與（2）上。???íì==+hzhbyhax22221222021/5/916

（4）是拋物線

???íì=-=tybtzax)2(222222021/5/917II．雙曲拋物面(hyperbolicparaboloid)

方程：

性質(zhì)：

（1）橢圓拋物面對(duì)稱于XOZ與YOZ坐標(biāo)面，對(duì)稱于z軸，無(wú)對(duì)稱中心。

（2）形狀：

（5）是一對(duì)相交于原點(diǎn)的直線2021/5/918（6）是拋物線

（7）是拋物線

主拋物線

（8）是雙曲線(hyperbola)

???íì==-hzhbyhax2222122（9）是拋物線2021/5/919７、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線定義：由一族直線生成的曲面稱為直紋面(ruledsurface)．這族直線稱為曲面的一族直母線。2021/5/920１、單葉雙曲面u族直母線v

族直母線

對(duì)于單葉雙曲面上的每個(gè)點(diǎn)，兩族直母線中各有一條直母線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)2021/5/921２、雙曲拋物面

對(duì)于雙曲拋物面上的每個(gè)點(diǎn)，兩族直母線中各有一條直母線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)直母線：2021/5/922定理單葉雙曲面上異族的任意兩直母線必共面，而雙曲拋物面上異族的任意兩直母線必相交。定理單葉雙曲面或雙曲拋物面上同族的任意兩直母線總是異面直線，而且雙曲拋物面上同族的全體直母線平行于同一平面。2021/5/923例題2021/5/924例1.

研究方程解:

配方得此方程表示:說(shuō)明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.2021/5/925例2.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方2021/5/926例3.

求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為2021/5/927例4、求準(zhǔn)線是，母線方向?yàn)榈闹娣匠?。解：?zhǔn)線可改寫(xiě)為所求柱面方程為消去參數(shù)u,v得2021/5/928例5、求半徑為2，對(duì)稱軸為的圓柱面方程。解：在所求圓柱面上任取一點(diǎn)，由得2021/5/929例6、求準(zhǔn)線是，頂點(diǎn)為原點(diǎn)的錐面方程。解：準(zhǔn)線方程為所求錐面方程為消去參數(shù)u,v得2021/5/930例7、由橢球面的中心，引三條兩兩互相垂直的射線，分別交曲面于，設(shè)，試證：（課本P162,ex4）解：設(shè)的單位向量分別為P1的坐標(biāo)為，代入橢球面方程，得2021/5/931同理可得由于兩兩垂直，知是正交的矩陣，于是有所以2021/5/932例8、試求單葉雙曲面上互相垂直的兩直母線交點(diǎn)的軌跡方程。（課本P182,ex8）解：過(guò)單葉雙曲面上所求軌跡上一點(diǎn)的兩條直母線分別為L(zhǎng)1和L2當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2021/5/933L1和L2的方向向量分別為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2021/5/934由垂直，得分別在和的情況下，計(jì)算上式各項(xiàng)，再整理得所求軌跡均為2021/5/935例9.

將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為2021/5/936繞z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t

和

,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為例10.求空間曲線

:2021/5/937例11.直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程.解:在L

上任取一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點(diǎn),則有得旋轉(zhuǎn)曲面方程2021/5/938例12求在xoy

面上的投影曲線方程。2021/5/939例13求所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域。上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:2021/5/940例14求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面

的交線在

xoy平面的投影曲線方程.

解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為

此曲線在xoy面上的投影曲線方程為

,它與所給平面的2021/5/941作圖練習(xí)2021/5/942(2)(1)1、畫(huà)圖:2021/5/943(3)2021/5/944(4)2021/5/945思考:交線情況如何?交線情況如何?(5)20