2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國通用）：專題08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型（原卷版）

專題08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。平分平行（射影）構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰1）角平分線加平行線必出等腰三角形．模型分析：由平行線得到內(nèi)錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·河南濮陽·統(tǒng)考二模）如圖，直線，點、分別在、上，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交、于點、；分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點；作射線交于點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023.湖南長沙八年級期中）如圖，點O為△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線的交點，OD//AB交BC于點D，OE//AC交BC于點E．若AB=5cm，BC=10cm，AC=9cm，則△ODE的周長為(

)A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm例3．（2023·廣東·八年級期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點，CF平分∠BCD交AD于F點，則EF的長為cm．例4.（2023.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．例5．（2023.山東八年級期末）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型1）內(nèi)角平分線定理圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形。結(jié)論：=c：a：b。例1．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，是的平分線，設(shè)和的面積分別是，，則．例2．（2023·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的三邊，，長分別是3，4，5，其三條角平分線將分為三個三角形，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題：角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個定理的部分證明過程．證明：如圖2，過點C作．交BA的延長線于點E．…任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；(2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長．例4、△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D，求證：．例5.（2022秋·北京·八年級北京八十中?？计谥校┰谥?，D是邊上的點（不與點B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點D是邊的中點時，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．課后專項訓(xùn)練1．（2023春·山東淄博·九年級校考期中）如圖，中，，點I為各內(nèi)角平分線的交點，過I點作的垂線，垂足為H，若，，，那么的值為（）A．1 B． C．2 D．2．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，相交于點于，，下列四個結(jié)論：①；②；③若的周長為，則；④若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個．

A． B． C． D．3．（2023秋·四川南充·八年級?？计谀┤鐖D，內(nèi)角和外角的平分線交于點，交于點，過點作交于點，交于點，連接，有以下結(jié)論；①；②；③若，則；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，垂足為D，平分，交于點E，交于點F．若，則的長為（）A． B．3 C． D．5．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF6．（2023·貴州·中考模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（）A．6 B．7 C．8 D．97．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．是的平分線 B．C．點在線段的垂直平分線上 D．8．（2023·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC＝6，AB＝10，則DE的長為（）A． B．3 C． D．9．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，分別是，的平分線，過點D作，分別交，于點E，F(xiàn)．若，，則的長為．10．（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點為的邊上一點，點分別在邊上，連接，若，則的度數(shù)為．

11．（2023秋·安徽滁州·八年級統(tǒng)考期末）中，D是邊上的點（不與點B，C重合），連接．

（1）如圖1，當(dāng)平分時，若，，則；（2）如圖2，平分，延長到E，使得，連接，如果，，，則.12.（2023.廣東九年級期中）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=________.13．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，是斜邊上的高，的平分線交于點，交于點．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，．求的長度．

14．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點，求證：是等腰三角形．

15．（2023廣東江門八年級月考）（1）如圖1，已知，在中，，平分，平分，過點作，分別交、于、兩點，則圖中共有________個等腰三角形：與、之間的數(shù)量關(guān)系是________，的周長是________．（2）如圖2，若將（1）中“中，”改為“若為不等邊三角形，，”其余條件不變，則圖中共有________個等腰三角形；與、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出的周長．（3）已知：如圖3，在外，，且平分，平分的外角，過點作，分別交、于、兩點，則與、之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？寫出結(jié)論并證明．16.（2022秋·福建廈門·八年級廈門市湖里中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為的角平分線．（1）如圖1，若于點，交于點，，．則________；（2）如圖2，若，，的面積是10，求的面積；（3）如圖3，若，，，請直接寫出的長（用含，的式子表示）17．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考二模）如圖，，按照下列步驟作圖：①以點A為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交、于E、F兩點；②分別以E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③作射線，交于點M．(1)試根據(jù)作圖過程，說明是的平分線的理由；(2)若，求的度數(shù)．18．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）愛動腦筋的小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完角平分線的性質(zhì)一節(jié)后意猶未盡經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)里面還有一個有趣的結(jié)論：(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線，可得到結(jié)論：．小明的解法如下：過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，∵是的角平分線，且，，∴，，∵，∴(2)【類比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長線交于點D．求證：．(3)【直接應(yīng)用】如圖3所示，中，，是交于D，若，，在不添加輔助線的情況下直接寫出．(4)【拓展應(yīng)用】如圖4所示，在中，，，，將先沿的平分線折疊，B點剛好落在上的E點，剪掉重疊部分（即四邊形ABDE），再將余下部分（）沿的平分線折疊，再剪掉重疊部分（即四邊形DEGF），求出剩余部分的面積．19．（2023·河南駐馬店·?？既＃╅喿x以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》是2006年科學(xué)出版社出版的圖書，作者是（美）喬治·波利亞．本書通過對各種類型生動而有趣的典型問題（有些是非數(shù)學(xué)的））進(jìn)行細(xì)致剖析，提出它們的本質(zhì)特征，從而總結(jié)出各種數(shù)學(xué)模型．共高三角形：有一條公共高的三角形稱為共高三角形．共高定理：如圖①，設(shè)點M在直線上，點P為直線外一點，則有下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖①，過點P作于點Q，．．．．．．按要求完成下列任務(wù)：(1)請你按照以上證明思路，結(jié)合圖①完成剩余的證明；(2)如圖②，，①畫出的平分線（不寫畫法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）；②若的平分線交于D，求證：；(3)如圖③，E是平行四邊形邊上一點，連接并