2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國(guó)通用）：專(zhuān)題13 全等模型-倍長(zhǎng)中線(xiàn)與截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（原卷版）

專(zhuān)題13全等模型-倍長(zhǎng)中線(xiàn)與截長(zhǎng)補(bǔ)短模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就全等三角形中的重要模型（倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型【模型解讀】中線(xiàn)是三角形中的重要線(xiàn)段之一，在利用中線(xiàn)解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”添加輔助線(xiàn)．所謂倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，就是將三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線(xiàn)時(shí)用，不太會(huì)有自己畫(huà)中線(xiàn)的時(shí)候）。【常見(jiàn)模型及證法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn).證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點(diǎn)型:如圖2，為的中點(diǎn).證明思路：若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則;若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則.3、中點(diǎn)+平行線(xiàn)型：如圖3,，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).證明思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)(或交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn))，則.例1．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線(xiàn)的取值范圍是______；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例2．（2023·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過(guò)程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請(qǐng)判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例3．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類(lèi)比遷移：（1）如圖2，AD是的中線(xiàn)，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類(lèi)比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過(guò)程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線(xiàn)段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線(xiàn)段DE，F(xiàn)是線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線(xiàn)段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．例4．（2022·河南商丘·一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．(1)類(lèi)比遷移：如圖2，AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類(lèi)比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD＝FD，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程．(2)方法運(yùn)用：如圖3，在等邊△ABC中，D是射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線(xiàn)段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線(xiàn)段DE．F是線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，連接DF，CF．請(qǐng)你判斷線(xiàn)段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；模型2.截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系。該類(lèi)題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線(xiàn)等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。截長(zhǎng)：指在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于已知線(xiàn)段；補(bǔ)短：指將短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線(xiàn)段。【常見(jiàn)模型及證法】（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線(xiàn)段上截取一段等于某一短線(xiàn)段，再證剩下的那一段等于另一短線(xiàn)段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線(xiàn)段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線(xiàn)段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線(xiàn)與∠CBA的平分線(xiàn)相交于E，CE的連線(xiàn)交AP于D．求證：AD+BC=AB．例2．（2023·廣東肇慶·?？家荒＃┱n堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線(xiàn)的畫(huà)法是：延長(zhǎng)至F，使=______，連接請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線(xiàn)的畫(huà)法，并在圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線(xiàn)；(2)小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題（書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程）；(3)小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．例3．（2023·廣西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線(xiàn)段AE、AB、DE的長(zhǎng)度滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫(xiě)出答案）；(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線(xiàn)段AB、BD、DE、AE的長(zhǎng)度滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．例4．（2023·廣東·九年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，．求證：．思考：“角平分線(xiàn)+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線(xiàn)并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)可能是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）．A．2 B． C． D．33．（2022·廣東湛江·?？级＃┮阎喝鐖D，中，E在上，D在上，過(guò)E作于F，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．4．（2023秋·江西九江·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長(zhǎng)為．5．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線(xiàn)的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線(xiàn)的取值范圍，在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線(xiàn)的取值范圍是___________；（2）問(wèn)題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請(qǐng)你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系．

6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，°，為邊上一點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證；(2)若，，求證：四邊形為矩形．

7．（2023·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線(xiàn)的取值范圍是_______；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，DF交于點(diǎn)F，連接，求證：；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．8．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖1，AD是△ABC的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．9．（2022秋·北京昌平·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的長(zhǎng)；（2）用等式表示線(xiàn)段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．10．（2022秋·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點(diǎn)，作交外角平分線(xiàn)于點(diǎn)，探究，和的數(shù)量關(guān)系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，連接，若，直接寫(xiě)出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：①；②．11．（2023秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）(1)閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，．求證：．思考：“角平分線(xiàn)+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線(xiàn)并完成證明．(2)問(wèn)題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．12．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，平分，連接，，．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，交于E，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．13．（2023春·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線(xiàn)的畫(huà)法是：延長(zhǎng)至F，使=______，連接請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線(xiàn)的畫(huà)法，并在圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線(xiàn)；(2)小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題（書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程）；(3)小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．14．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC為等邊三角形，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C，在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿(mǎn)足∠BDC＝60°。（1）如圖1，在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點(diǎn)F、G在直線(xiàn)l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線(xiàn)l兩側(cè)，其余條件不變時(shí)（如圖3），線(xiàn)段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．15．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．某同學(xué)做了如下探究，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)該是______．（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．16．（2022·河南·九年級(jí)期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線(xiàn)字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．【解決問(wèn)題】受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：BE＋CF＞EF，（2）若∠A＝90°，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．、17．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）已知點(diǎn)O是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是________．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；18．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得