一種多態(tài)不確定性環(huán)境下固廢管理問題的區(qū)間模糊優(yōu)化模型

一種多態(tài)不確定性環(huán)境下固廢管理問題的區(qū)間模糊優(yōu)化模型

固碳管理與人們的生活密切相關。這是城市化和現(xiàn)代化進程中最重要的環(huán)境保護問題之一。為了進行科學、技術的科學發(fā)展，近年來，國內外環(huán)境管理部門、應用數學和城市規(guī)劃方法的工作者進行了深入研究和城市固碳管理。最值得注意的是，國外的一些研究人員在使用現(xiàn)代數學建模方法和科學計算方法的基礎上，建立了固體殘渣管理的數學模型，并設計了相應的解算方法。一些研究成果可以在以后的文獻中發(fā)表。在文獻中，作者根據對環(huán)境的不利影響和環(huán)境容忍度的分析，設計了固體垃圾管理系統(tǒng)模型和決策方法。在文獻中，建立了固體垃圾管理的線性模型，并采用了最優(yōu)的固體垃圾管理策略。該文件的目標是最大限度地降低行政成本，使用線性模型研究固體垃圾管理的區(qū)域風險。文獻利用動態(tài)模型研究了區(qū)域規(guī)模下廢物填埋和焚燒爐安裝的最佳規(guī)模和時間問題。然而,以上研究成果均是在確定環(huán)境下討論固廢管理問題.考慮到實際解決固廢管理問題過程中,常常存在許多不確定性因素,如填埋場和焚燒爐的處理能力,不同時期的垃圾處理量,不同時期不同城市的垃圾運輸成本和處理成本等等.因此,研究利用合適的不確定性參數(如區(qū)間數、模糊數、隨機數或模糊區(qū)間數等)描述城市固廢管理環(huán)境并建立相應的數學模型,必然能給環(huán)境管理部門提供更科學的管理策略.文獻在不確定性環(huán)境下建立了廢物管理問題的混合區(qū)間模糊線性規(guī)劃模型.該模型把運輸成本、設備運輸費用、填埋場處理能力等假設成區(qū)間參數,把焚燒爐的處理能力和安全系數假設成模糊參數,利用區(qū)間參數的左右邊界方法對模型進行求解,得到區(qū)間決策方案.文獻中,萬中等人結合燒結法氧化鋁配料優(yōu)化問題和V帶傳動設計優(yōu)化問題,針對實際環(huán)境中存在的多態(tài)不確定性,首次提出了多態(tài)不確定規(guī)劃的概念,建立了相關問題的多態(tài)不確定性優(yōu)化模型,并設計了求解這類問題的柔性優(yōu)化方法.本文將在上述研究成果的基礎上,建立一類固廢管理問題的區(qū)間模糊優(yōu)化模型,并基于改進的區(qū)間可能度的方法,對給定的權重系數和置信水平,推導原模型的確定型等價類,從而把區(qū)間模糊優(yōu)化問題轉化為普通的線性規(guī)劃問題求解.與不同的是,本文是以改進的區(qū)間可能度的方法,將上述模型轉化為確定性的模型進行求解,得到的是確定的最優(yōu)決策變量值,而不是區(qū)間數.1固廢管理問題的最優(yōu)模型本文主要針對固廢管理系統(tǒng)中的城市垃圾處理問題進行建模,設定規(guī)劃時段為15年,具體分為3個時段,每個時段的長度是5年.出于簡化考慮,不考慮垃圾種類.垃圾的處理設施主要包括兩類:垃圾填埋場和焚燒爐.每個處理設施都有對應的處理成本和處理能力.焚燒爐可以通過焚燒產生經濟效益,而焚燒產生的垃圾廢液需要送到填埋場去處理.在這個過程中會有運輸成本和處理設施成本,因此模型的目標函數是垃圾處理成本最小,約束條件主要有垃圾填埋場、焚燒爐的處理能力和城市廢棄物的處理需求.模型中的模糊參數包括焚燒爐的最大處理能力和安全系數,而其余的參數均為區(qū)間參數.類似于文獻,我們建立如下固廢管理問題的優(yōu)化模型:minf±=18253∑j=13∑k=1{2∑i=1xijk(ΤR±ijk+ΟΡ±ik)+x2jk[FE±(FΤ±k+ΟΡ±1k)-RE±k]}s.t.18253∑j=13∑k=1(x1jk+x2jkFE±)≤ΤL±,3∑j=1x2jk(1+?θk)≤Τ?E,?k2∑i=1xijk≥WG±jk,?j,k,xijk≥0,?i,j,k.(1)模型(1)中的符號的定義見表1:其中R表示模糊數的集合,R±表示區(qū)間數的集合.模型(1)中的第一個約束條件表示垃圾填埋場處理的垃圾總量不能超過垃圾填埋場的處理能力,第二個約束條件表示焚燒爐的處理能力約束,第三個約束條件表示處理的廢棄物總量不小于城市廢棄物的處理需求.在這種情況下,傳統(tǒng)的線性規(guī)劃的求解方法已經不再適用.文獻利用的區(qū)間參數的左右邊界方法對模型進行求解,最終得到區(qū)間決策方案.本文將基于一種改進的區(qū)間可能度的方法,把上述模型轉化為確定性的模型進行求解,并給出確定性最優(yōu)決策變量值,而不是區(qū)間數.2改進的區(qū)間線性規(guī)劃方法這一節(jié)我們研究含區(qū)間模糊混合參數的優(yōu)化模型(1)的確定型等價式.推導過程分為兩步,首先是將模型中的模糊約束條件轉化為含區(qū)間數的約束條件.考察下面的模糊線性規(guī)劃問題:minf=n∑j=1cjxjs.t.∑j=1?aijxj≤?bi,i=1,2,?,mxj≥0,j=1,2,?,n(2)其中?aij∈R,?bi∈R,cj∈R.先敘述模糊集的α截集的概念.定義1(α截集)設?A是定義在論域X上的模糊集,μ?A(x)是對應的隸屬函數.對于0≤α≤1,集合?Aα={x∈X|μ?A(x)≥α}稱為?A的α截集.由模糊數學理論可知,當μ?A是擬凹函數時,?Aα是一個區(qū)間.如?A是梯形模糊集時,其隸屬函數:μ?A(x;a,b,c,d)={0,x≤a,x≥dx-bb-a,a<x≤b1,b<x≤cd-xd-c,c<x≤d(3)其中a<b<c<d,它的α截集是?Aα=[(1+α)b-αa,(1-α)d+αc].為敘述簡單,本文假設所有模糊集的隸屬函數均為擬凹函數.利用α截集的概念,我們可以將模糊線性規(guī)劃轉化為含區(qū)間參數的線性規(guī)劃,即:定理1x*是模型(2)的解當且僅當對任何α∈,x*是如下模型的解:minf=n∑j=1cjxjs.t.n∑j=1[a-ij,a+ij]xj≤[b-i,b+i],(i=1,2,??m)xj≥0,(j=1,2,??n)(4)其中[a-ij,a+ij]表示模糊數?aij的近似α截集,[b-i,b+i]表示模糊集?bi的近似α截集.證使用定義1中的水平截集的概念,把模型(2)轉化為區(qū)間線性規(guī)劃問題.由分解定理,?bi可以用水平截集表示為:?bi=∪α∈α(?bi)α式(2)中的模糊約束條件的左邊可以用水平截集表示為:n∑j=1?aijxj=∪α∈α(n∑j=1(?aij)αxj)于是∪α∈α(n∑j=1(?aij)αxj)≤∪α∈α(?bi)α假設用k個水平截集近似構成模糊集合,即k∪s=1αs(n∑j=1(?aij)αsxj)≤k∪s=1αs(?bi)αs化簡后得到:n∑j=1(k∪s=1αs(?aij)αs)xi≤k∪s=1αs(?bi)αs由模糊數學理論可知,隸屬函數是擬凹函數的模糊集的α截集是閉區(qū)間,s個閉區(qū)間的并集依然是閉區(qū)間.令k∪s=1αs(?aij)αs=[a-ij,a+ij]k∪s=1αs(?bi)αs=[b-i,b+i]則模型(2)的約束條件轉化為區(qū)間形式,即有:n∑j=1[a-ij,a+ij]xj≤[b-i,b+i],i=1,2,?,m定理1得證.定理1給出了模糊規(guī)劃模型轉化為區(qū)間線性規(guī)劃模型的方法.在近似模糊集時選取的水平截集的個數可根據實際需要而定.為簡單起見,我們取k=1.接下來,我們基于改進的區(qū)間可能度方法推導區(qū)間線性規(guī)劃的確定型等價式.首先我們給出刻畫區(qū)間大小關系的可能度算子的公理化定義.定義2設Γ表示所有區(qū)間數構成的集合,RI表示所有區(qū)間數之間大小關系構成的集合.如果算子P:RI→滿足如下條件:1)當A=[a-,a+],B=[b-,b+]時,Ρ(A≤B)=1當且僅當a+≤b-,2)當A=[a-,a+],B=[b-,b+]時,Ρ(A≤B)=0當且僅當a-≥b+,3)Ρ(A≤B)=1-Ρ(A≥B),4)Ρ(A≤B)=Ρ(A≥B)當且僅當A=B.則稱P是RI上的可能度算子.可以驗證如下定義的算子:Ρ([a-,a+]≤[b-,b+])={0,a-≥b+(5a)0.5b+-a-a+-a-?b+-a-b+-b-,b-≤a-<b+≤a+(5b)b+-a-a+-a-+0.5b+-b-a+-a-,a-<b-<b+≤a+(5c)b+-a-a+-a-+a+-b-a+-a-?b+-a+b+-b-+0.5a+-b-a+-a-?a+-b-b+-b-,a-≤b-<a+<b+(5d)b+-a+b+-b-+0.5a+-a-b+-b-,b-≤a-<a+<b+(5e)1,a+≤b-(5f)是RI上的可能度算子.基于上述改進的區(qū)間可能度算法,可將含區(qū)間參數的優(yōu)化問題轉化為普通約束優(yōu)化問題求解.我們可以證明如下結論:定理2對任何β∈,區(qū)間規(guī)劃模型minf±=n∑j=1c±jxjs.t.n∑j=1a±ijxj≤b±i,i=1,2,?,mxj≥0,j=1,2,?,n(6)的解等價于如下模型的解:minf=λf-+(1-λ)f+=λn∑J=1c-jxj+(1-λ)n∑j=1c+jxjs.t.Ρ(n∑j=1a±ijxj≤b±i)≥β,i=1,2,?,m?xj≥0,j=1,2,?,n.(7)證基于式(5)中給出的可能度算子的定義,模型(6)中的區(qū)間約束條件可以引入可能度參數β,使其轉化為確定性的約束條件,即Ρ(n∑j=1a±ij≤b±i)≥β,i=1,2,?,m注1求解問題(7)時,按式(5)定義的可能度算子,原問題中每一個約束最多可能對應4種情形.具體地說,1)當β=0時,只需滿足式(5a)的區(qū)間邊界約束.此時的約束條件轉化為:n∑j=1a-ijxj>b+i,i=1,2,?,m.2)當β=1時,只需滿足式(5f)的區(qū)間邊界約束.此時約束條件轉化為:n∑j=1a+ijxj<b-i,i=1,2,?,m.3)當β∈(0,1)時,式(5)中(5b)到(5e)4種情況都符合條件.若模型(6)中有m個區(qū)間約束條件,由于每個約束條件的可能度計算式分為4種情況,因此原問題對應著4m個子模型.求解這些子問題,并比較求解結果,則可得到有效的固廢處理方案.例如,對特定范圍的可能度β,若式(5c)得到滿足,則對應的子模型為如下一個優(yōu)化問題:minf=λf-+(1-λ)f+s.t.n∑j=1(b+i-a+ijxja+ijxj-a-ijxj+0.5b+i-b-ia+ijxj-a-ijxj)≥β,i=1,2,?,m,n∑j=1a-ijxj<b-i<b+i≤n∑j=1a+ijxj,i=1,2,?,m,xj≥0,j=1,2,?,n,(8)當要求β足夠大時,則子模型的約束條件由式(5d)和(5e)決定,或僅由式(5e)決定.基于定理1和定理2,通過引入權重系數λ,水平截集α和可能度β,則直接得到如下推論.推論1區(qū)間模糊規(guī)劃模型:minf±=n∑j=1c±jxjs.t.∑j=1a±ijxj≤b±i,i=1,2,?,k,n∑j=1?aijxj≤?bi,i=k+1,k+2,?,m,xj≥0,j=1,2,?,n,(9)的確定型等價類為:minf=λf-+(1-λ)f+s.t.Ρ(∑j=1naij±xj≤bi±)≥β,i=1,2,?,k,Ρ(∑j=1n(a?ij)αxj≤(b?i)α)≥β,i=k+1,k+2,?,m,xj≥0,j=1,2,?,n,(10)其中(a?ij)α,(b?i)α分別表示模糊集a?ij,b?i的近似α截集.當β足夠大時,由推論1可寫出模型(1)的確定型等價類.推論2模型(1)的確定型等價類為:minf=λf-+(1-λ)f+s.t.ΤL+ΤL+-ΤL--0.5(ΤL-)2-(1825∑j=13∑k=13(x1jk+x2jkFE+))2∑j=13∑k=13x2jk(FE+-FE-)≥β,ΤE+ΤE+-ΤE--0.5(ΤE-)2-(∑j=13x2jk(1+θk+))2∑j=13x2jk(θk+-θk-)≥β,∑i=12xijk-WGjk-WGjk+-WGjk-≥β,1825∑j=13∑k=13(x1jk+x2jkFE-)≤ΤL-,∑j=13x2jk(1+θk-)≤ΤE-,ΤL-≤1825∑j=13∑k=13(x1jk+x2jkFE+)≤ΤL+,ΤE-≤∑j=13x2jk(1+θk+)≤ΤE+,WGjk-≤∑i=12xijk≤WGjk+,(11)其中λ,α,β∈,(θ?k)α=[θk-,θk+],(ΤE?)α=[ΤE-,ΤE+],f-=1825∑j=13∑k=13{∑i=12xijk(ΤRijk-+ΟΡik-)+x2jk[FE-(FΤk-+ΟΡ1k-)-REk+]},f+=1825∑j=13∑k=13{∑i=12xijk(ΤRijk++ΟΡik+)+x2jk[FE+(FΤk++ΟΡ1k+)-REk-]}.注2模型(11)的求解過程中需要給定權重系數、區(qū)間可能度和截集水平3個參數值.文獻在研究隨機環(huán)境下的多目標優(yōu)化問題的求解方法時,提出了此類參數值由決策者根據實際需要自己確定合理取值的交互式算法.文獻在研究V帶傳動設計優(yōu)化問題時提出了類似算法.仿照,我們可類似設計求解固廢管理問題的交互式算法.3城市固廢處理的優(yōu)化模型與求解這一節(jié),我們將把本文提出的模型與求解方法應用于求解一個具體的固廢管理問題.問題背景的刻畫和相關的參數取值的依據可參照文獻.該固廢管理問題中涉及3個城市的垃圾處理問題.處理過程分