河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第一章第3節(jié)二次根式

第三節(jié)二次根式【課標(biāo)要求】☆了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念．☆了解二次根式加、減、乘除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算．☆能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍．【教材對(duì)接】人教：八下第十六章P1～20；冀教：八上第十五章P89～106；北師：八上第二章P41～48.二次根式的相關(guān)概念1．二次根式：一般地，我們把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，而eq\r(a)有意義的條件是a≥0．2．最簡(jiǎn)二次根式：一般地，如果一個(gè)二次根式滿足下面兩個(gè)條件，那么，我們把這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式．(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．【基礎(chǔ)練1】(1)把eq\r(\f(1,32))化成最簡(jiǎn)二次根式為(C)A．32eq\r(32)B．eq\f(1,32)eq\r(2)C．eq\f(1,8)eq\r(2)D．eq\f(1,4)eq\r(2)(2)若代數(shù)式eq\r(a－5)＋|b－1|＋c2＋a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則此代數(shù)式的最小值為(B)A．0B．5C．4D．－5(3)若二次根式eq\r(3a＋5)是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a＝2．二次根式的性質(zhì)3．(1)eq\r(a)≥0(a≥0).(雙重非負(fù)性)(2)(eq\r(a))2＝a(a≥0).(3)eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))(4)eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0).【基礎(chǔ)練2】(2021·河北中考樣題)如圖，在數(shù)軸上所表示的x的取值范圍中，有意義的二次根式是(B)A.eq\r(x－3)B．eq\r(x＋3)C．eq\f(1,\r(x－3))D．eq\f(1,\r(x＋3))二次根式的運(yùn)算4．(1)加減運(yùn)算：在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的項(xiàng)進(jìn)行合并．(2)二次根式的乘法：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0).(3)二次根式的除法：eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0).(4)在二次根式的運(yùn)算中，實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和法則同樣適用．二次根式的混合運(yùn)算順序是：先算乘除，后算加減；有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)內(nèi)的(或先去括號(hào))．【溫馨提示】二次根式運(yùn)算的結(jié)果可以是數(shù)或整式，也可以是最簡(jiǎn)二次根式，如果二次根式的運(yùn)算結(jié)果不是最簡(jiǎn)二次根式，必須進(jìn)行化簡(jiǎn)．【基礎(chǔ)練3】(1)已知eq\r(20n)是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n等于(D)A．2B．3C．4D．5(2)已知x＝eq\f(3,2)，化簡(jiǎn)eq\r(（x－2）2)＋|x－5|的結(jié)果是4．二次根式的估算5．估計(jì)二次根式在哪兩個(gè)整數(shù)之間(1)先對(duì)二次根式平方，如(eq\r(6))2＝6；(2)找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個(gè)開(kāi)得盡方的整數(shù)，如4和9；(3)對(duì)這兩個(gè)整數(shù)開(kāi)方，如eq\r(4)＝2，eq\r(9)＝3；(4)確定這個(gè)根式在這兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間，如2＜eq\r(6)＜3；(5)較小的整數(shù)即為這個(gè)根式的整數(shù)部分，小數(shù)部分為這個(gè)根式與其整數(shù)部分的差，如eq\r(6)的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為eq\r(6)－2；(6)要確定eq\r(a)±b(a≥0)的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間，只需在(4)的結(jié)果上根據(jù)不等式性質(zhì)，在不等號(hào)兩邊分別加上或減去b，如3＜eq\r(6)＋1＜4，1＜eq\r(6)－1＜2.6．確定二次根式離哪個(gè)整數(shù)較近(1)先確定二次根式在哪兩個(gè)整數(shù)之間，如2<eq\r(6)<3；(2)求這兩個(gè)整數(shù)的平均數(shù)，(2＋3)÷2＝2.5；(3)對(duì)平均數(shù)和二次根式進(jìn)行平方：若二次根式的平方大于平均數(shù)的平方，則離較大的整數(shù)近，否則離較小的整數(shù)近，如2.52＝6.25>(eq\r(6))2，eq\r(6)離2較近；(4)記住常見(jiàn)的二次根式的近似值，可以直接進(jìn)行估值或比較大小，如eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，黃金分割數(shù)eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.【基礎(chǔ)練4】(1)估計(jì)eq\r(13)＋1的值在(C)A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間(2)a，b是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，若a<eq\r(11)<b，則a＋b＝7，且eq\r(11)離整數(shù)3最近．eq\a\vs4\al(二次根式的概念與性質(zhì))【例1】下列說(shuō)法正確的是(C)A．若eq\r(a2)＝a，則a可取一切實(shí)數(shù)B．當(dāng)a≥eq\f(3,4)時(shí)，eq\r(3－4a)才有意義C．若a＜0，b＞0，則eq\r(a2b)＝－aeq\r(b)D．5的平方根是eq\r(5)【解題思路】A.若eq\r(a2)＝a，則a≥0，故說(shuō)法錯(cuò)誤；B.當(dāng)3－4a≥0，即a≤eq\f(3,4)時(shí)，eq\r(3－4a)才有意義，故說(shuō)法錯(cuò)誤；C.若a＜0，b＞0，則eq\r(a2)＝|a|＝－a，故eq\r(a2b)＝－aeq\r(b)，故說(shuō)法正確；D.5的平方根是±eq\r(5)，故說(shuō)法錯(cuò)誤．1．(2021·黃石中考)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x＋1))＋(x－2)0的自變量x的取值范圍是(C)A．x≥－1B．x＞2C．x＞－1且x≠2D．x≠－1且x≠22．(2021·杭州中考)下列計(jì)算正確的是(A)A．eq\r(22)＝2B．eq\r(（－2）2)＝－2C．eq\r(22)＝±2D．eq\r(（－2）2)＝±23．下列式子一定成立的是(B)A．eq\r(（a2－2）2)＝a2－2B．eq\r(（a2＋2）2)＝a2＋2C．eq\r(（a＋1）（a＋2）)＝eq\r(a＋1)×eq\r(a＋2)D．eq\r(\f(2a,3b))＝eq\f(\r(2a),\r(3b))eq\a\vs4\al(二次根式的估算與運(yùn)算)【例2】如圖，在數(shù)軸上標(biāo)注了四段范圍，則表示－eq\r(10)的點(diǎn)落在(C)A．段①B．段②C．段③D．段④【解題思路】分別利用已知數(shù)據(jù)的平方得出eq\r(10)最接近的數(shù)據(jù)即可得出答案．【例3】在數(shù)軸上，把表示eq\r(12)的點(diǎn)移動(dòng)eq\r(3)個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)為(C)A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)或3eq\r(3)D．3eq\r(2)＋eq\r(3)【解題思路】分兩種情況討論，即把表示eq\r(12)的點(diǎn)向右移動(dòng)eq\r(3)個(gè)單位長(zhǎng)度和把表示eq\r(12)的點(diǎn)向左移動(dòng)eq\r(3)個(gè)單位長(zhǎng)度，由此計(jì)算得出答案．4．(2021·河北中考樣題)下列無(wú)理數(shù)中，與4最接近的是(C)A．eq\r(11)B．eq\r(13)C．eq\r(17)D．eq\r(19)5．如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，O，C，D分別表示數(shù)－2，－1，0，1，2，則表示數(shù)2－eq\r(5)的點(diǎn)P應(yīng)落在(B)A．線段AB上B．線段BO上C．線段OC上D．線段CD上6．下列運(yùn)算中正確的是(B)A．eq\r(3)＋eq\r(4)＝eq\r(5)B．(4eq\r(2)＋3eq\r(6))×eq\r(2)＝8＋6eq\r(3)C．eq\r(3)÷eq\r(\f(1,3))＝1D．(eq\r(6)＋eq\r(7))(eq\r(6)－eq\r(7))＝17．計(jì)算eq\r(5)×eq\r(15)－eq\r(12)的結(jié)果是3eq\r(3)．eq\a\vs4\al(與規(guī)律有關(guān)的計(jì)算)【例4】將一組數(shù)：eq\r(2)，2，eq\r(6)，2eq\r(2)，eq\r(10)，…，2eq\r(51)按下列方式排列：eq\r(2)2eq\r(6)2eq\r(2)eq\r(10)2eq\r(3)eq\r(14)43eq\r(2)2eq\r(5)eq\r(22)2eq\r(6)eq\r(26)2eq\r(7)eq\r(30)4eq\r(2)eq\r(34)6……若3eq\r(2)的位置記為(2，3)，2eq\r(7)的位置記為(3，2)，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為(17，2)．【解題思路】∵2eq\r(51)＝eq\r(204)，∴這組數(shù)中最大的有理數(shù)是eq\r(196)＝14.設(shè)196是這組數(shù)中的第n個(gè)數(shù)，則2n＝196，解得n＝98.觀察發(fā)現(xiàn)，每6個(gè)數(shù)排成一行．又∵98÷6＝16……2，∴eq\r(196)是第17行的第2個(gè)數(shù)，由此即可得出這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置．8．先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．例如，eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(3＋2×1×\r(2))＝eq\r(12＋（\r(2)）2＋2×1×\r(2))＝eq\r(（1＋\r(2)）2)＝|1＋eq\r(2)|＝1＋eq\r(2).,解決問(wèn)題：(1)模仿上例的過(guò)程填空：eq\r(14＋6\r(5))＝eq\r(14＋2×3×\r(5))＝____________＝____________＝____________＝____________；(2)根據(jù)上述思路，試將下列各式化簡(jiǎn)：①eq\r(28－10\r(3))；②eq\r(1＋\f(\r(3),2)).解：(1)eq\r(32＋（\r(5)）2＋2×3×\r(5))；eq\r(（3＋\r(5)）2)；|3＋eq\r(5)|；3＋eq\r(5)；(2)①原式＝eq\r(52＋（\r(3)）2－2×5×\r(3))＝eq\r(（5－\r(3)）2)＝|5－eq\r(3)|＝5－eq\r(3)；②原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2).二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算(5年3考)1．(2021·河北中考)與eq\r(32－22－12)結(jié)果相同的是(A)A．3－2＋1B．3＋2－1C．3＋2＋1D．3－2－12．(2020·河北中考)已知：eq\r(18)－eq\r(2)＝aeq\r(2)－eq\r(2)＝beq\r(2)，則ab＝6．3．(2018·河北中考)計(jì)算：eq\r(\f(－12,－3))＝2．4．(2021·石家莊一模)下列