高中數(shù)學(xué)-極值點的偏移-考點例題詳解

[名校]高中數(shù)學(xué)-極值點的偏移-考點例題詳解一、極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)f（x）滿足定義域內(nèi)任意自變量x都有f（x）=f（2m-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=m對稱；可以理解為函數(shù)f（x）在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f（x）為單峰函數(shù)，則x=m必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若f（x）的兩根的中點為（x1+x2）/2，則剛好有（x1+x2）/2=x0，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)x=m左側(cè)的任意自變量都有f（x）<f（2m-x）或f（x）>f（2m-x），則函數(shù)f（x）極值點m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)x1,x2滿足f（x1）=f（x2），則（x1+x2）/2與極值點m必有確定的大小關(guān)系：若m<（x1+x2）/2，則稱為極值點左偏；若m>（x1+x2）/2，則稱為極值點右偏.[KS5UK二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個不同的零點x1,x2，且滿足f（x1）=f（x2）求證：x1+x2>2x0（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)存在兩個不同的零點x1,x2滿足f（x1）=f（x2），求證：x1+x2>2x0為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個不同的零點x1,x2，令（x1+x2）/2=x0

，求證：f‘（x）>0；4.若函數(shù)存在兩個不同的零點x1,x2，令（x1+x2）/2=x0

，求證：f‘（x）>0.一、極值點偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在區(qū)間（a，b）上只有一個極大（?。┲迭cx0，方程f（x）=0的解分別為x1，x2，且a<x1<x2<b（1）若f（x1）<f（2x0-x2），則(x1+x2)/2<(>)x0，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（x1，x2）上極（?。┐笾迭cx0右（左）偏；（2）若f（x1）>f（2x0-x2），則(x1+x2)/2<(>)x0，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（x1，x2）上極（?。┐笾迭cx0右（左）偏.證明：（1）因為對于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在區(qū)間（a，b）只有一個極大（小）值點x0，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為（a，x0），單調(diào)遞減（增）區(qū)間為(x0,b)，由于a<x1<x2<b，有x1<x0，且2x0-x2<x0，又f（x1）<f（2x0-x2），故x1<(>)（2x0-x2），所以(x1+x2)/2<(>)x0，即函數(shù)極（小）大值點x0右（左）偏；（2）證明略.二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)f(x)的極值點x0；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)F(x）=f（x0+x）-f（x0-x）；（3）確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；（4）結(jié)合F(0)=0，判斷的符號，從而確定f（x0+x）、f（x0