第04講 三角形的外角（6種題型）（原卷版）

第04講三角形的外角（6種題型）【知識(shí)梳理】1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝切蝺?nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理、證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證明角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂驗(yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．【考點(diǎn)剖析】題型一、三角形的外角例1.（1）如圖，AB和CD交于點(diǎn)O，求證：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如圖，求證：∠D=∠A＋∠B+∠C．題型二：三角形的外角和例2：如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？題型三、三角形的內(nèi)角、外角綜合例3.如圖所示，已知DE分別交△ABC的邊AB、AC于D、E，交BC的延長(zhǎng)線于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數(shù)．【變式】如圖所示，已知△ABC中，P為內(nèi)角平分線AD、BE、CF的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，試說(shuō)明∠BPD與∠CPG的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．題型四：應(yīng)用三角形的外角求角的度數(shù)例4：如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數(shù).例5.如圖所示，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．【變式】（一題多解）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).題型五：用三角形外角的性質(zhì)把幾個(gè)角的和分別轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角和例6.已知：如圖為一五角星，求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【變式】（2022·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度數(shù)；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．題型六：三角形外角的性質(zhì)和角平分線的綜合應(yīng)用例7.如圖①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點(diǎn)E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度數(shù)；(2)猜想：∠E與∠A有什么數(shù)量關(guān)系(寫(xiě)出結(jié)論即可)；(3)如圖②，點(diǎn)E是△ABC兩外角平分線BE、CE的交點(diǎn)，探索∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式】（2022·河南鄭州·八年級(jí)期末）如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則__________．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·云南楚雄·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的外角，若，，則（

）A．40° B．50° C．55° D．60°2．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知直線，將一塊含30°角的直角三角板按如圖方式放置（），若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，點(diǎn)在射線上，于，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將一副三角板拼成如圖所示的圖形（，，，），交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，的大小為（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知直線，則(

)A． B． C． D．8．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．（2023春·陜西西安·八年級(jí)西北大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，∠1的大小為_(kāi)_____．

12．（2021秋·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，若，，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．則______．13．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，、的角平分線交于點(diǎn)，若，，則____．

14．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角尺如圖擺放，其中，，，，則______．

15．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，若，則______．

16．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)為外角的平分線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．以下結(jié)論①，②，③，④，其中正確的是_________（填序號(hào)）．17．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，在中，，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，則________．18．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，平分，，分別交，，，的延長(zhǎng)線于E，H，F(xiàn)，G，已知下列三個(gè)式子：①；②；③．其中正確的是________．（填序號(hào)）

三、解答題19．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，分別交的邊，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于，，，，求的度數(shù)．20．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，在上，，在上取一點(diǎn)使，求的度數(shù)．21．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，分別平分，，它們交于點(diǎn)，求證：．22．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，平分．若，．求：的度數(shù)．

23．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）在中，，，，求的度數(shù)．

24．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過(guò)程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒(méi)有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請(qǐng)猜想與的關(guān)系是．25．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）探究：中華人民共和國(guó)國(guó)旗上的五角星的每個(gè)角均相等，小明為了計(jì)算每個(gè)角的度數(shù)，畫(huà)出了如圖①的五角星，每個(gè)角均相等，并寫(xiě)出了如下不完整的