2023-2024學(xué)年河北省滄州市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省滄州市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．等比數(shù)列{an}中，每項均為正數(shù)，且a3a8＝81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（）A．5 B．10 C．20 D．404．已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)．若對任意，都有，則（

）A．9 B．15 C．17 D．335．已知是偶函數(shù)，且對任意，，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．6．如圖，與的面積之比為2，點P是區(qū)域內(nèi)任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)的一個對稱中心為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則可取（

）A． B． C．1 D．2二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題中正確的有（

）A．若，則△ABC一定是等邊三角形B．若，則△ABC一定是等腰三角形C．是成立的充要條件D．若，則△ABC一定是銳角三角形10．若函數(shù)，則（

）A． B．有兩個極值點C．曲線的切線的斜率可以為 D．點是曲線的對稱中心11．已知函數(shù)與的定義域均為，分別為的導(dǎo)函數(shù)，，，若為奇函數(shù)，則下列等式一定成立的是（

）A． B．.C． D．12．已知函數(shù)，則（

）A．是的極大值點B．有且只有1個零點C．存在正實數(shù)，使得對于任意成立D．若，，則第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則.14．已知等比數(shù)列前項和（其中.則的最小值是.15．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：且，則的解集為.16．已知函數(shù)，若任意，存在，滿足，則實數(shù)t的取值范圍是．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知函數(shù)(1)的單調(diào)區(qū)間.(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值.18．已知內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，且，求：(1)求角A的大??；(2)求邊中線長的最小值.19．已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.20．已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)a的最大值．21．已知函數(shù)有兩個不同的零點，.(1)求的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列，其前項和為，證明.1．C【分析】解出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，因此，.故選：C.2．A【分析】由已知，利用復(fù)數(shù)的除法，求出，得到，可知的虛部.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，所以，的虛部為.故選：A3．C【分析】由對數(shù)運算法則，等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】是等比數(shù)列，則，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．故選：C．4．C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性即可求解，進(jìn)而可得，代入即可求解.【詳解】因為是R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使由方程，得，則，所以設(shè)，由于均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，且3，所以，所以，故故選：C5．B【分析】由題意得偶函數(shù)在上為增函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為判斷到y(tǒng)軸的距離的大小問題求解．【詳解】∵對任意，，∴函數(shù)在上為增函數(shù)．又函數(shù)為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，∴，即．故選B．已知函數(shù)為偶函數(shù)判斷函數(shù)值的大小時，由于函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性不同，所以可根據(jù)單調(diào)性將比較函數(shù)值大小的問題轉(zhuǎn)化為比較變量到對稱軸的距離的大小的問題求解，解題時可結(jié)合圖象進(jìn)行求解，考查判斷和計算能力，屬于中檔題．6．C【分析】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)垂直平分于點，的，當(dāng)點與點重合和點與點重合時，分別求得的最值，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)垂直平分于點，因為與的面積之比為2，則，當(dāng)點與點重合時，可得，此時，即的最小值為；當(dāng)點與點重合時，可得，此時，即，此時為最大值為，所以的取值范圍為.故選：C.7．B【分析】根據(jù)在上遞增，利用同構(gòu)法求解即可．【詳解】解：構(gòu)造，則在上顯然遞增，由得，即，，，令，則，由得，遞增，由得，遞減，，．故選：B．本題解題的關(guān)鍵是看到“指對跨階”要想到同構(gòu)，同構(gòu)后有利于減少運算，化煩為簡．8．A【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，再由在上單調(diào)遞減，得到，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)的一個對稱中心為，可得，則，解得，因為，所以，所以，所以當(dāng)，因為在上單調(diào)遞減，則，解得，結(jié)合選項，只有A選項，符合題意.故選：A.9．AC【分析】根據(jù)正弦定理和三角變換公式可判斷ABC的正誤，根據(jù)余弦定理可判斷D的正誤.【詳解】對于A，由正弦定理可得，故，而為三角形內(nèi)角，故，故三角形為等邊三角形，故A正確.對于B，由正弦定理可得，故，故或，而，故或即或，故三角形為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤.對于C，等價于，而后者等價于，即，其中為三角形外接圓半徑，故的充要條件為，故C正確.對于D，由可得，故為銳角，但不能保證三角形為銳角三角形，故D錯誤.故選：AC.10．BD【分析】A項，求導(dǎo)賦值可得；B項，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性再求極值；C項，研究導(dǎo)函數(shù)值域即可；D項，證明.【詳解】選項A，由題意得，所以，解得，A錯誤；選項B，由，則，，由得，或，則當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值.所以有兩個極值點，B正確；選項C，，所以曲線的切線的斜率不可能為，C錯誤；選項D，因為,所以點是曲線的對稱中心，D正確.故選：BD.11．ACD【分析】將用代入已知等式可構(gòu)造方程組得到，由此可得關(guān)于對稱；結(jié)合為偶函數(shù)可推導(dǎo)得到是周期為的周期函數(shù)，則可得C正確；令，代入中即可求得A正確；令，由可推導(dǎo)得到D正確；設(shè)，由可知，結(jié)合可知，由此可得，知B錯誤.【詳解】由得：，，關(guān)于中心對稱，則，為奇函數(shù)，，左右求導(dǎo)得：，，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，，是周期為的周期函數(shù)，，C正確；，，又，，A正確；令，則，，又，，，即，D正確；，，設(shè)，則，，又為奇函數(shù)，，，即，B錯誤.故選：ACD.結(jié)論點睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：①若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若關(guān)于對稱，則關(guān)于點對稱；若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱.12．BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點、零點、不等式恒成立、構(gòu)造函數(shù)等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，定義域為，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以是的極小值點，A選項錯誤.設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，，所以存在唯一零點，且，B選項正確.C選項，由對于任意成立，即對于任意成立，構(gòu)造函數(shù)，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，沒有最小值，且，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，所以C選項錯誤.D選項，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞減，則，則，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時，成立，所以D選項正確.故選：BD利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值點，主要是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值點.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，除了利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間外，還可結(jié)合零點存在性定理來進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的過程中，若一次求導(dǎo)無法得到答案，可考慮多次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.13．##【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，可得.故14．4【分析】由等比數(shù)列{an}前n項和可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因為等比數(shù)列{an}前n項和，∴，，∴，，又，∴，即，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故4.15．【分析】設(shè)，求得，得到在上單調(diào)遞減，結(jié)合，得不等式的解集，進(jìn)而得到不等式的解集.【詳解】根據(jù)題意，由，可得，設(shè)，可得，則在上單調(diào)遞減，又由，可得，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，不等式的解集與的解集相同，所以不等式的解集為.故答案為.16．【分析】由，求得，根據(jù)題意得到，再由，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，則，可得，即，因為任意，存在，滿足，是的值域的子集，因為，可得，則，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為.17．(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增(2)最小值為，最大值為.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）利用函數(shù)在的單調(diào)遞增可得.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)

時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在處取最小值為，在處取最大值為.18．(1)(2)【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理進(jìn)行角變邊即求得結(jié)果；（2）由平面向量可知，兩邊平方，用三角形的邊及角表示并結(jié)合基本不等式得出結(jié)果.【詳解】（1），由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，.，即，又，所以.（2）由（1）知，，的面積為，所以，解得.由平面向量可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故邊中線的最小值為.19．（1），；（2），.【分析】（1）利用與的關(guān)系，即可求出的通項公式；（2），利用分組求和即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，①，②①-②得，，當(dāng)時，滿足通項公式，，.（2），，.20．(1)(2)4【分析】（1）利用函數(shù)解析式求切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，點斜式求切線方程；（2）時，不等式恒成立；當(dāng)時，不等式等價于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，可求整數(shù)a的最大值．【詳解】（1）若，則，，則切點坐標(biāo)為，，則切線斜率，所以切線方程為，即．（2）由，得，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，設(shè)，，設(shè)，，則在單調(diào)遞增，，，所以存在使得，即．時，，即；時，，即，則有在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以，因為，所以，所以整數(shù)a的最大值為4．方法點睛：不等式問題，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.21．(1)(2)【分析】（1）由分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.（2）由整理得，利用換元法表示，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)證得，結(jié)合（1）求得的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為.令，得，令，則，令，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，當(dāng)x趨近于0時，y趨近于；當(dāng)x趨近于時，y趨近于，所以.（2），兩式相減，得.令，則，故，記，則，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由于，所以當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即，而，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即.根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)來求參數(shù)的取值范圍，可采用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行研究，具體步驟是：首先令，然后分離參數(shù)，接著構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造的函數(shù)，再結(jié)合零點個數(shù)來求得參數(shù)的取值范圍.22．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求得，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)性和值域，即可求得參數(shù)范圍；（2）根據(jù)（