2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第二次階段學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第二次階段學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．2．已知全集，集合，那么陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．已知一個(gè)扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（

）A． B． C． D．24．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B．1 C． D．5．下列選項(xiàng)中，是“不等式在上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．7．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，均在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．8．我們知道二氧化碳是溫室性氣體，是全球變暖的主要元兇.在室內(nèi)二氧化碳含量的多少也會(huì)對(duì)人體健康帶來影響.下表是室內(nèi)二氧化碳濃度與人體生理反應(yīng)的關(guān)系：室內(nèi)二氧化碳濃度（單位：）人體生理反應(yīng)不高于1000空氣清新，呼吸順暢空氣渾濁，覺得昏昏欲睡感覺頭痛，嗜睡，呆滯，注意力無法集中大于5000可能導(dǎo)致缺氧，造成永久性腦損傷，昏迷甚至死亡《室內(nèi)空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》和《公共場所衛(wèi)生檢驗(yàn)辦法》給出了室內(nèi)二氧化碳濃度的國家標(biāo)準(zhǔn)為：室內(nèi)二氧化碳濃度不大于即為，所以室內(nèi)要經(jīng)常通風(fēng)換氣，保持二氧化碳濃度水平不高于標(biāo)準(zhǔn)值.經(jīng)測定，某中學(xué)剛下課時(shí)，一個(gè)教室內(nèi)二氧化碳濃度為，若開窗通風(fēng)后二氧化碳濃度與經(jīng)過時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系式為，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要開窗通風(fēng)時(shí)間至少約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8分鐘 B．9分鐘 C．10分鐘 D．11分鐘二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．下列命題中為真命題的是（

）A．函數(shù)與不表示同一個(gè)函數(shù)B．“”的充要條件是C．不等式的解集為D．若，，且滿足，則的最小值為11．關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小正周期是 B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在有4個(gè)零點(diǎn) D．的最大值為212．已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱是回旋函數(shù).給出下列四個(gè)命題，正確的命題是（

）A．函數(shù)（其中為常數(shù)，為回旋函數(shù)的充要條件是B．函數(shù)是回旋函數(shù)C．若函數(shù)為回旋函數(shù)，則D．函數(shù)是的回旋函數(shù)，則在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．計(jì)算：=.14．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．已知，，若，則．16．已知定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則=.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.19．已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，求的最大值.20．已知函數(shù)在時(shí)的最大值為1.(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)求使成立的的取值集合.21．隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢(shì).寧波醫(yī)療公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為80臺(tái).每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤時(shí)多少？22．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.(1)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)令函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)令函數(shù)，若對(duì)，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．D【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“”的否定是“”.故選：D2．A【分析】根據(jù)韋恩圖知陰影部分為，結(jié)合集合交集、補(bǔ)集的運(yùn)算求集合即可.【詳解】由題圖，陰影部分為，而或，且，所以.故選：A3．D【分析】根據(jù)扇形面積公式及其基本不等式求出扇形面積取得最大值時(shí)的扇形半徑和弧長，利用弧度數(shù)公式即可求出圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由已知得，扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，則圓心角，故選：D.4．D【分析】計(jì)算得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義計(jì)算得到答案．【詳解】，即，則．故選：D．5．A【分析】根據(jù)不等式恒成立的條件及其必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】令，其圖象開口向上，∵不等式在上恒成立，∴，解得，又∵，∴是的必要不充分條件，選項(xiàng),,則是的充要條件，選項(xiàng),,則是的充分不必要條件，選項(xiàng),,則是的充分不必要條件.故選：A.6．C【分析】利用正切型函數(shù)的對(duì)稱性可得出的表達(dá)式，再利用正切型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，，可得，，則，故函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)的一個(gè)最小正周期為.故選：C.7．B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于，在上單調(diào)遞增，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，在上單調(diào)遞增，所以，而在上單調(diào)遞增，所以，B選項(xiàng)正確.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，由于在上單調(diào)遞增，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以.故選：B8．C【分析】由，可求得的值，然后解不等式，可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，可得，則，由，可得，故該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要開窗通風(fēng)時(shí)間至少約為分鐘.故選：C.9．AD【分析】對(duì)兩邊平方得，結(jié)合的范圍得到，AD正確；結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到正弦和余弦值，進(jìn)而求出正切值，BC錯(cuò)誤.【詳解】，兩邊平方得：，解得：，D正確；故異號(hào)，因?yàn)椋?，A正確；因?yàn)?，結(jié)合，得到，解得：，故，BC錯(cuò)誤.故選：AD10．ABD【分析】選項(xiàng)A：函數(shù)定義域不同，進(jìn)而判斷函數(shù)不同即可；選項(xiàng)B：分析集合間的關(guān)系判斷；選項(xiàng)C：對(duì)進(jìn)行分類討論進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D：將變形為：，然后利用1的代換，根據(jù)基本不等式求解；【詳解】選項(xiàng)A:，定義域?yàn)?定義域不同，不表示同一函數(shù)，選項(xiàng)正確；’選項(xiàng)B：即，即，兩者等價(jià)，故“”的充要條件是，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：，當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若，，且滿足，所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)正確；故選:ABD11．BD【分析】選項(xiàng)A：舉反例說明；選項(xiàng)B：，，將函數(shù)化簡成然后判斷分析；選項(xiàng)C：將函數(shù)表示成然后分段判斷；選項(xiàng)D：結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；【詳解】選項(xiàng)A：令，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：當(dāng)，令得解得：當(dāng)，令得解得：或所以函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)樗杂炙缘淖畲笾禐?,選項(xiàng)正確；故選：BD.12．ACD【分析】A選項(xiàng)，得到，從而得到充要條件是；B選項(xiàng)，得到，不存在符合題意；C選項(xiàng)，化簡得到有解，則；D選項(xiàng)，賦值法結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到在區(qū)間上均至少有一個(gè)零點(diǎn)，得到在上至少有1011個(gè)零點(diǎn).【詳解】函數(shù)（其中a為常數(shù)，）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則，解得：，故函數(shù)（其中a為常數(shù)，）為回旋函數(shù)的充要條件是，A正確；是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，不存在，使得，故B錯(cuò)誤；在R上為連續(xù)函數(shù)，且，要想函數(shù)為回旋函數(shù)，則有解，則，C正確；由題意得：，令得：，所以與異號(hào)，或，當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理得：在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，同理可得：在區(qū)間上均至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，所以在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD13．10【分析】由指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，可得：原式本題主要考查了指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，其中解答中熟記指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】配方后得到函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得：為連續(xù)函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，，所以只需或，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故15．【詳解】因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,所以===,又因?yàn)?所以β=.16．【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的已知關(guān)系可得，即有，結(jié)合時(shí)，有時(shí)，且，即可求的值.【詳解】由，即有，由，即有，∴，即的周期為2，則，而，即，若令，則，當(dāng)時(shí)，知：，結(jié)合，∴時(shí)，，∴，故答案為.本題考查了利用函數(shù)的周期性及已知區(qū)間的解析式求函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)出函數(shù)的周期，并由已知區(qū)間解析式求目標(biāo)區(qū)間解析式，進(jìn)而求函數(shù)值.17．(1)或(2)答案見解析【分析】（1）利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解；（2）選①③，利用集合的基本運(yùn)算，結(jié)合數(shù)軸法即可得解；選②，由充分不必要條件推得集合的包含關(guān)系，再結(jié)合數(shù)軸法即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，而，所以，則或.（2）選①：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，即，滿足，則；當(dāng)時(shí)，，由得，解得；綜上：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；選②：因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，當(dāng)時(shí)，則，即，滿足題意，則；當(dāng)時(shí)，，則，且不能同時(shí)取等號(hào)，解得；綜上：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；選③：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，則，即，滿足，則；當(dāng)時(shí)，，由得或，解得或，又，所以或；綜上：或，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可得解；（2）找出已知角和所求角得關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式化簡即可得解.【詳解】（1），由，得，所以；（2）由，得，則.19．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，再根據(jù)結(jié)合系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）化簡可得，再根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性求最小值即可；（3）求得，再根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系求最大值分析即可【詳解】（1）由于是二次函數(shù)，可設(shè)，恒成立，恒成立，，又，

；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，.所以；（3），，對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，，綜上所述20．(1)(2)(3)【分析】（1）先利用三角恒等變換公式化簡解析式，再根據(jù)最大值求；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定區(qū)間；（3）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的取值集合.【詳解】（1）；因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，有最大值，所以，所以.（2），令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3），即，所以，所以，解得，所以使成立的的取值集合是.21．(1)(2)年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤為1600萬元【分析】（1）分和兩種情況下，結(jié)合投入成本的解析式求出的解析式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分與，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，基本不等式，求出兩種情況下的最大值，得到答案.【詳解】（1）由該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，投入成本萬元，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，最大，最大值為1500；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上可得，年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤為1600萬元22．(1)證明見解析；(2)；(3)；【分析】（1）由是奇函數(shù)，可知，，進(jìn)而列出關(guān)系式，求出，即可得到函數(shù)的解析式，然后利用定義法，可判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）由函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，整理得方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得到，求解即可；（3）由對(duì)任意的，都有恒成立，可得，求出，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】（1），且是奇函數(shù)，，，解得，．檢驗(yàn)，有解析式可知，定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是奇函數(shù)，滿足要求；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，，且，，，∴，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.同理可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，