2024年高考數(shù)學復習：30 概率壓軸大題理（原卷版）

30概率壓軸大題【題型一】馬爾科夫鏈基礎模型【典例分析】某餐廳供應1000名學生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇，調查資料顯示星期一選A菜的學生中有20%在下周一選B菜，而選B菜的學生中有30%在下周一選A菜，用An、Bn分別表示在第n個星期一選A菜、B菜的學生數(shù)，試寫出An與An－1的關系及Bn與Bn－1的關系．【提分秘籍】基本規(guī)律1.馬爾科夫鏈：在n+1時刻的狀態(tài)，只跟第n刻的狀態(tài)有關，與n-1，n-2,n-3。。。等時刻狀態(tài)是“沒有任何關系的”。2.和數(shù)列遞推通項結合【變式演練】1.小芳、小明兩人各拿兩顆質地均勻的骰子做游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為4的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點數(shù)之和不是4的倍數(shù)，則由對方接著投擲．（1）規(guī)定第1次從小明開始．（ⅰ）求前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率；（ⅱ）設游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為，求隨機變量的分布列與期望．（2）若第1次從小芳開始，求第次由小芳投擲的概率．2.一袋中有大小、形狀相同的2個白球和10個黑球，從中任取一球．如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該球不再放回，另補一個白球放到袋中．在重復次這樣的操作后，記袋中的白球個數(shù)為．（1）求；（2）設，求；（3）證明：．【題型二】馬爾科夫鏈之傳球模型【典例分析】現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人相互之間傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個人，依次類推．（1）通過三次傳球，球經過乙的次數(shù)為X，求X的分布列與期望；（2）設經過n次傳球后，球落在甲手上的概率為，①求，；②求，并簡要解釋隨著傳球次數(shù)的增多，球落在甲、乙、丙、丁每個人手上的概率相等．【提分秘籍】基本規(guī)律傳球模式是經典的馬爾科夫鏈應用。注意尋找里邊的數(shù)列遞關系?！咀兪窖菥殹?.足球運動被譽為“世界第一運動”．深受青少年的喜愛．（Ⅰ）為推廣足球運動，某學校成立了足球社團，由于報名人數(shù)較多，需對報名者進行“點球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：踢點球一次，若踢進，則被錄??；若沒踢進，則繼續(xù)踢，直到踢進為止，但是每人最多踢點球3次．下表是某同學6次的訓練數(shù)據(jù)，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率．為加入足球社團，該同學進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，他在測試中所踢的點球次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅱ）社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（直接寫出結果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大．2.中國女排，曾經十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實實，勤學苦練，無所畏懼，頑強拼搏，同甘共苦，團結戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對各行各業(yè)的勞動者起到了激勵、感召和促進作用，給予全國人民巨大的鼓舞.（1）看過中國女排的紀錄片后，某大學掀起“學習女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學生的身體素質明顯提高，將該大學近5個月體重超重的人數(shù)進行統(tǒng)計，得到如下表格：月份x12345體重超重的人數(shù)y640540420300200若該大學體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關關系，請預測從第幾月份開始該大學體重超重的人數(shù)降至10人以下？（2）在某次排球訓練課上，球恰由A隊員控制，此后排球僅在A隊員、B隊員和C隊員三人中傳遞，已知每當球由A隊員控制時，傳給B隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當球由B隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當球由C隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給B隊員的概率為.記，，為經過n次傳球后球分別恰由A隊員、B隊員、C隊員控制的概率.（i）若，B隊員控制球的次數(shù)為X，求；（ii）若，，，，，證明：為等比數(shù)列，并判斷經過200次傳球后A隊員控制球的概率與的大小.附1：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；.附2：參考數(shù)據(jù)：，.3.排球隊的名隊員進行傳球訓練，每位隊員把球傳給其他人的概率相等，由甲開始傳球（1）求前次傳球中，乙恰有次接到球的概率；（2）設第次傳球后球在乙手中的概率為，求．【題型三】游走模式【典例分析】質點在軸上從原點出發(fā)向右運動，每次平移一個單位或兩個單位，且移動一個單位的概率為，移動2個單位的概率為，設質點運動到點的概率為．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）用表示，并證明是等比數(shù)列；（Ⅲ）求．【提分秘籍】基本規(guī)律【變式演練】1.如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學生更是頻頻使用網(wǎng)絡外賣服務.市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡外賣在該市各大學的發(fā)展情況，在某月從該市大學生中隨機調查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡外賣消費金額不超過元）：消費金額（單位：百元）頻數(shù)由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學生網(wǎng)絡外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）.現(xiàn)從該市任取名大學生，記其中網(wǎng)絡外賣消費金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學期望；市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調查的大學生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結束.①設棋子移到第格的概率為，求證：當時，是等比數(shù)列；②若某大學生參與這檔“闖關游戲”，試比較該大學生闖關成功與闖關失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.2.如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字．質點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質點P前進一步(如由A到B)；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質點P前進兩步(如由A到C)，當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質點P前進三步(如由A到D)．在質點P轉一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．(1)求質點P恰好返回到A點的概率；(2)在質點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果中，用隨機變量ξ表示點P恰能返回到A點的投擲次數(shù)，求ξ的數(shù)學期望．3.2019年7曰1日至3日，世界新能源汽車大會在海南博鰲召開，大會著眼于全球汽車產業(yè)的轉型升級和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束，設遙控車移到第n格的概率為，試說明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.【題型四】藥物試驗模式【典例分析】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只更施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【提分秘籍】基本規(guī)律也是馬爾科夫鏈與數(shù)列的綜合應用【變式演練】1.冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎?嚴重急性呼吸綜合征?腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p(0<p<1).現(xiàn)取其中且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗，方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（1）若，試求p關于k的函數(shù)關系式p=f(k).（2）若p與干擾素計量相關，其中2)是不同的正實數(shù)，滿足x1=1且.(i)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(ii)當時采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值.2.2019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內開始傳播，專家組認為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為，假設每位密切接觸者不再接觸其他患者.（1）求一天內被感染人數(shù)為的概率與、的關系式和的數(shù)學期望；（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數(shù)學期望記為.（i）求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率，當取最大值時，計算此時所對應的值和此時對應的值，根據(jù)計算結果說明戴口罩的必要性.（?。ńY果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）3.現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進入動物試驗階段，將1000只動物平均分成100組，任選一組進行試驗．第一輪注射，對該組的每只動物都注射一次，若檢驗出該組中有9只或10只動物產生抗體，說明疫苗有效，試驗終止；否則對沒有產生抗體的動物進行第二輪注射，再次檢驗．如果被二次注射的動物都產生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進疫苗．設每只動物是否產生抗體相互獨立，兩次注射疫苗互不影響，且產生抗體的概率均為．（1）求該組試驗只需第一輪注射的概率（用含的多項式表示）；（2）記該組動物需要注射次數(shù)的數(shù)學期望為，求證：．【題型五】商場促銷【典例分析】垃圾分類，是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉變成公共資源的一系列活動的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價值和經濟價值，力爭物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法．到2020年底，先行先試的46個重點城市，要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng)；其他地級城市實現(xiàn)公共機構生活垃圾分類全覆蓋．某機構欲組建一個有關“垃圾分類”相關事宜的項目組，對各個地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進行相關報道．該機構從600名員工中進行篩選，篩選方法：每位員工測試，，三項工作，3項測試中至少2項測試“不合格”的員工，將被認定為“暫定”，有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試，兩項，如果這兩項中有1項以上（含1項）測試“不合格”，將也被認定為“暫定”，每位員工測試，，三項工作相互獨立，每一項測試“不合格”的概率均為．（1）記某位員工被認定為“暫定”的概率為，求；（2）每位員工不需要重新測試的費用為90元，需要重新測試的總費用為150元，除測試費用外，其他費用總計為1萬元，若該機構的預算為8萬元，且該600名員工全部參與測試，問上述方案是否會超過預算?請說明理由．【變式演練】1.某汽車品牌為了了解客戶對于其旗下的五種型號汽車的滿意情況，隨機抽取了一些客戶進行回訪，調查結果如下表：汽車型號IIIIIIIVV回訪客戶（人數(shù)）250100200700350滿意率0.50.30.60.30.2滿意率是指：某種型號汽車的回訪客戶中，滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值.假設客戶是否滿意互相獨立，且每種型號汽車客戶對于此型號汽車滿意的概率與表格中該型號汽車的滿意率相等.(1)從所有的回訪客戶中隨機抽取1人，求這個客戶滿意的概率；(2)從I型號和V型號汽車的所有客戶中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)用“”,“”,“”,“”,“”分別表示I,II,III,IV,V型號汽車讓客戶滿意，“”,“”,“”,“”,“”分別表示I,II,III,IV,V型號汽車讓客戶不滿意.寫出方差的大小關系.2.據(jù)長期統(tǒng)計分析，某貨物每天的需求量在17與26之間，日需求量（件）的頻率分布如下表所示：需求量17181920212223242526頻率0.120.180.230.130.100.080.050.040.040.03已知其成本為每件5元，售價為每件10元.若供大于求，則每件需降價處理，處理價每件2元.假設每天的進貨量必需固定.（1）設每天的進貨量為，視日需求量的頻率為概率，求在每天進貨量為的條件下，日銷售量的期望值（用表示）；（2）在（1）的條件下，寫出和的關系式，并判斷為何值時，日利潤的均值最大？【題型六】證明概率、期望等不等式【典例分析】某校數(shù)學興趣小組由水平相當?shù)膎位同學組成，他們的學號依次為1，2，3，…，n.輔導老師安排一個挑戰(zhàn)數(shù)學填空題的活動，活動中有兩個固定的題，同學們對這兩個題輪流作答，每位同學在四分鐘內答對第一題及四分鐘內答對第二題的概率都為，每個同學的答題過程都是相互獨立的挑戰(zhàn)的具體規(guī)則如下：①挑戰(zhàn)的同學先做第一題，第一題做對才有機會做第二題；②挑戰(zhàn)按學號由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪挑戰(zhàn)；③若第號同學在四分鐘內未答對第一題，則認為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號同學繼續(xù)挑戰(zhàn)；④若第號同學在四分鐘內答對了第一題，滿四分鐘后，輔導老師安排該生答第二題，若該生在四分鐘內又答對第二題，則認為挑戰(zhàn)成功挑戰(zhàn)在第輪結束；若該生在四分鐘內未答對第二題，則也認為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號同學繼續(xù)挑戰(zhàn)；⑤若挑戰(zhàn)進行到了第輪，則不管第n號同學答對多少題，下輪不再安排同學挑戰(zhàn).令隨機變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結束.（1）求隨機變量的分布列；（2）若把挑戰(zhàn)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑥：挑戰(zhàn)的同學先做第一題，若有同學在四分鐘內答對了第一題，以后挑戰(zhàn)的同學不做第一題，直接從第二題開始作答.令隨機變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結束.（?。┣箅S機變量的分布列；（ⅱ）證明.【變式演練】1.已知函數(shù).(1)證明：當時，；(2)從編號為1~100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20張，設抽取的20個號碼互不相同的概率為.證明：.2.口袋中有大小、形狀、質地相同的兩個白球和三個黑球．現(xiàn)有一抽獎游戲規(guī)則如下：抽獎者每次有放回的從口袋中隨機取出一個球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累計次數(shù)達到n＋1時，則終止取球且獲獎，其它情況均不獲獎．記獲獎概率為．（1）求；（2）證明：．3.一疫苗生產單位通過驗血方法檢驗某種疫苗產生抗體情況，需要檢驗血液是否有抗體現(xiàn)有份血液樣本每份樣本取到的可能性均等有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗若檢驗結果無抗體，則這k份的血液全無抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結果有抗體，為了明確這k份血液究竟哪幾份有抗體就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗總次數(shù)為k+1次假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果有無抗體都是相互獨立的，且每份樣本有抗體的概率均為．（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式樣本需要檢驗的總次數(shù)為．若，求關于k的函數(shù)關系式，并證明．【題型七】摸球與射擊模型【典例分析】設是給定的正整數(shù)（），現(xiàn)有個外表相同的袋子，里面均裝有個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第個袋中有個紅球，個白球．現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回）．（1）若，假設已知選中的恰為第2個袋子，求第三次取出為白球的概率；（2）若，求第三次取出為白球的概率；（3）對于任意的正整數(shù)，求第三次取出為白球的概率．【變式演練】1.射擊是使用某種特定型號的槍支對各種預先設置的目標進行射擊，以命中精確度計算成績的一項體育運動.射擊運動不僅能鍛煉身體，而且可以培養(yǎng)細致、沉著、堅毅等優(yōu)良品質，有益于身心健康.為了度過愉快的假期，感受體育運動的美好，法外狂徒張三來到私人靶場體驗射擊運動.（1）已知用于射擊打靶的某型號步槍的彈夾中一共有kk∈N?發(fā)子彈，假設張三每次打靶的命中率均為，靶場主規(guī)定：一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊.記標靶上的子彈數(shù)量為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.（2）張三在休息之余用手機逛站刷到了著名電視劇《津門飛鷹》中的經典橋段：中國隊長燕雙鷹和三合會何五姑玩起了俄羅斯輪盤.這讓張三不由得想起了半人半鬼，神槍第一的那句家喻戶曉的神話“我賭你的槍里沒有子彈”.由此，在接下來的射擊體驗中，張三利用自己的人脈關系想辦法找人更換了一把型號為M1917，彈容為6發(fā)的左輪手槍，彈巢中有m發(fā)實彈，其余均為空包彈.現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈.假設每次射擊相互獨立且均隨機.在進行nn∈N次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù).（?。┊攏∈N?時，探究數(shù)學期望EX（ⅱ）若無論m取何值，當射擊次數(shù)達到一定程度后都可近似認為槍中沒有實彈（以彈巢中實彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學期望為決策依據(jù)，當彈巢中實彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學期望<1時可近似認為槍中沒有實彈），求該種情況下最小的射擊次數(shù)n0.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301、2.一個袋子中裝有個紅球(n?5,n∈N)和5個白球，一次摸獎是從袋中同時摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．（1）試用表示一次摸獎就中獎的概率；（2）若n=5，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；（3）記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？【題型八】模擬壓軸題選講1.如圖，直角坐標系中，圓的方程為，，，為圓上三個定點，某同學從點開始，用擲骰子的方法移動棋子．規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個定點沿圓弧移動到相鄰下一個定點；②棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動；若擲出骰子的點數(shù)為奇數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動．設擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，．例如：擲骰子一次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，．（1）分別擲骰子二次，三次時，求棋子分別移動到，，處的概率；（2）擲骰子次時，若以軸非負半軸為始邊，以射線，，為終邊的角的余弦值記為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（3）記，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求.2.隨著科學技術的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡也已經逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：x12345y(萬人)2050100150180（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡游戲，送免費購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進.若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元.已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.附：在線性回歸方程中，.3.新冠抗疫期間，某大學應用數(shù)學專業(yè)的學生希望通過將所學的知識應用新冠抗疫，決定應用數(shù)學實驗的方式探索新冠的傳染和防控.實驗設計如下：在不透明的小盒中放有大小質地相同的個黑球和個紅球，從中隨機取一球，若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則黑球替換該紅球重新放回小盒中，此模型可以解釋為“安全模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個新冠患者，則移出將其隔離進行診治.(注：考慮樣本容量足夠大和治愈率的可能性，用黑球代替紅球)(1)記在第次時，剛好抽到第二個紅球，試用表示恰好第次抽到第二個紅球的概率；(2)數(shù)學實驗的方式約定：若抽到第個紅球則停止抽球，且無論第次是否能夠抽到紅球或第二個紅球，當進行到第次時，即停止抽球；記停止抽球時已抽球總次數(shù)為，求的數(shù)學期望.(精確到小數(shù)點后位)參考數(shù)據(jù)：，，，.4.在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對出現(xiàn)，例如，豌豆攜帶這樣一對遺傳因子：使之開紅花，使之開白花，兩個因子的相互組合可以構成三種不同的遺傳性狀：為開紅花，和一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花，生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對遺傳因子都包含一個父本的遺傳因子和一個母本的遺傳因子，而因為生殖細胞是由分裂過程產生的，每一個上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨立的，可以把第代的遺傳設想為第次試驗的結果，每一次試驗就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對具有性狀的父本來說，如果拋出正面就選擇因子，如果拋出反面就選擇因子，概率都是，對母本也一樣，父本、母本各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀，假設三種遺傳性狀，（或），在父本和母本中以同樣的比例出現(xiàn)，則在隨機雜交試驗中，遺傳因子被選中的概率是，遺傳因子被選中的概率是，稱、分別為父本和母本中遺傳因子和的頻率，實際上是父本和母本中兩個遺傳因子的個數(shù)之比，基于以上常識回答以下問題：（1）如果植物的上代父本、母本的遺傳性狀都是，后代遺傳性狀為，（或），的概率分別是多少？（2）對某一植物，經過實驗觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父本和母本中僅有遺傳性狀為，（或）的個體，在進行第一代雜交實驗時，假設遺傳因子被選中的概率為，被選中的概率為，其中、為定值且，求雜交所得子代的三種遺傳性狀，（或），所占的比例，，；（3）繼續(xù)對（2）中的植物進行雜交實驗，每次雜交前都需要剔除的個體.假設得到的第代總體中3種遺傳性狀，（或），所占的比例分別為：，，，設第代遺傳因子和的頻率分別為和，已知有以下公式，，（?。┳C明是等差數(shù)列；（ⅱ）求，，的通項公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進行下去，會有什么現(xiàn)象發(fā)生？模擬題1.三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每人等概率傳給另外兩人．第一次球從甲手中傳出．（1）第四次傳球結束，球恰好傳回甲手中的概率；（2）若第次傳球結束后，球在甲手中的概率為．（i）用表示（）；（ii）求{}的通項公式．2.足球運動被譽為“世界第一運動”.為推廣足球運動，某學校成立了足球社團由于報名人數(shù)較多，需對報名者進行“點球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：（1）下表是某同學6次的訓練數(shù)據(jù)，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.為加入足球社團，該同學進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，將他在測試中所踢的點球次數(shù)記為，求；（2）社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.（i）求，，（直接寫出結果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.3.現(xiàn)有正整數(shù)1，2，3，4，5，…，，一質點從第一個數(shù)1出發(fā)順次跳動，質點的跳動步數(shù)通過拋擲骰子來決定：骰子的點數(shù)小于等于4時，質點向前跳一步；骰子的點數(shù)大于4時，質點向前跳兩步.（I）若拋擲骰子二次，質點到達的正整數(shù)記為，求；（II）求質點恰好到達正整數(shù)5的概率.4.已知正三角形，某同學從點開始，用擦骰子的方法移動棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個頂點移動到另一個頂點；②棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點數(shù)大于3，則按逆時針方向移動：若擲出骰子的點數(shù)不大于3，則按順時針方向移動.設擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為：，，，例如：擲骰子一次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，（1）擲骰子三次時，求棋子分別移動到，，處的概率，，；（2）記，，，其中，，求.5.冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次.方式二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了