2021年全國高考（乙卷）文科數(shù)學(xué)真題（帶解析）

2021年全國高考（乙卷）文科數(shù)學(xué)真題（帶解析）

一、單選題

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則C(T/—V)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4)

2.設(shè)iz=4+3i,則z=()

A.—3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3.已知命題〃：HxeR,sinx<l；命題>i,則下列命題中為真命題的

是（）

A."qB.-PMC.〃人FD.」（pvq）

YX

4.函數(shù)/（x）=sin§+cosw的最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和逝B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

x+y>4,

5.若演y滿足約束條件,x-yK2,則z=3x+y的最小值為（）

）43,

A.18B.10C.6D.4

2兀257r

6.cos----cos——=()

1212

1百V3

A.—B.n

2322

7.在區(qū)間（0，（隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于1的概率為（

)

12J3

8.下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=X2+2犬+4B.

C.y=2x+22-xD.

Inx

1—Y

9.設(shè)函數(shù)/（x）=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

1+x

A./(x-l)-lB./(X-1)+1C./(X+1)-1D./(X+1)+1

10.在正方體A8CD-4gC12中，P為四。的中點，則直線PB與Aq所成的角為

()

兀%兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

11.設(shè)8是橢圓C：g+y2=i的上頂點，點p在c上，則|尸網(wǎng)的最大值為()

A.-B.>/6C.>/5D.2

2

12.設(shè)a^O,若x="為函數(shù)〃x)=a(x—a)2(x—3的極大值點，則()

A.a<bB.a>hC.ab<a2D.ab>a1

二、填空題

13.已知向量a=(2,5),B=(4,4),若W/b，則4=.

22

14.雙曲線上—匯=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為.

45

15.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c,面積為6，8=60。>a2+c2=3ac>

貝!)Z?=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐

的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案

即可).

圖④

試卷第2頁，總4頁

三、解答題

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高,

用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為［和］，樣本方差分別記為

S：和S；.

⑴求嚏,y,S；；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果

y-x>2,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,

否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.如圖，四棱錐P—A8CD的底面是矩形，。。_1底面48。，M為的中點,

且依

(1)證明：平面E4」W_L平面尸

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-A3CD的體積.

19.設(shè)｛4｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足勿=詈.己知%,3%,9a3成

等差數(shù)列.

(1)求｛4｝和也｝的通項公式；

(2)記S“和T?分別為｛%｝和也｝的前n項和.證明：T“〈苣.

20.己知拋物線C：y=2px(p>0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求C的方程;

(2)已知0為坐標(biāo)原點，點尸在C上，點Q滿足畫=90聲，求直線。。斜率的最

大值.

21.已知函數(shù)/(X)=/-%2+公+].

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=/(x)的公共點的坐標(biāo).

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，OC的圓心為C(2,l),半徑為1.

(1)寫出OC的一個參數(shù)方程；

(2)過點尸(4,1)作OC的兩條切線.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐

標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

23.已知函數(shù)/(力=,_。|+卜+3|.

(1)當(dāng)。=1時，求不等式/(x)26的解集；

(2)若/'(x)>—a,求〃的取值范圍.

試卷第4頁，總4頁

參考答案

1.A

【分析】

首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.

【詳解】

由題意可得：MUN={1,2,3,4},則詼（MUN）={5}.

故選：A.

2.C

【分析】

由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則即可求得z的值.

【詳解】

1d-r陽4+3z（4+3z）z4z-3.

由1題M懸可得：z=------———=----=3-4z.

ii2-1

故選：c.

3.A

【分析】

由正弦函數(shù)的有界性確定命題P的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題夕的真假性，由此確

定正確選項.

【詳解】

由于一iWsinxWl,所以命題。為真命題；

由于兇20,所以e^Nl，所以命題夕為真命題；

所以〃人q為真命題，r，、pATI、—為假命題.

故選：A.

4.C

【分析】

利用輔助角公式化簡/（X）,結(jié)合三角函數(shù)最小正周期和最大值的求法確定正確選項.

【詳解】

答案第1頁，總16頁

/\T_2p_

由題，〃x）=J5sin；+￡,所以的最小正周期為丁J最大值為五.

\34y~

故選：C.

5.C

【分析】

由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為y=-3x+z,數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，

x+y=4/、

由<:可得點A（l,3）,

y=3

轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=-3x+z,

上下平移直線y=-3x+z,數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點A時,z取最小值，

此時ZmM=3xl+3=6.

故選：C.

6.D

【分析】

由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得cos2--cos2—=cos2--sin2—,再由二倍角公式即可得

12121212

解.

【詳解】

答案第2頁，總16頁

27C25萬2127T712乃.，兀

由題意，cos-----cos—=cos----cos=cos----snT—

121212萬一五1212

715/3

=cos—=——

62

故選：D.

7.B

【分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.

【詳解】

設(shè)^=“區(qū)間(0,；隨機取1個數(shù)”

1■-。?

A="取到的數(shù)小于;”=卜|0<x<|,所以「⑷啕3_=2

103

2

故選：B.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于g”對應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準(zhǔn)

確求出.

8.C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等“，即可

得出3,。不符合題意，。符合題意.

【詳解】

對于A,y=x2+2x+4=(x+l『+3N3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取等號，所以其最小值為3,

A不符合題意：

對于B,因為0<卜由M41,y=|sinx|+/2〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inji|=2時取等號,

等號取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意;

答案第3頁，總16頁

4

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2*〉0，y=2x+22-x=2V+—>2V4=4,當(dāng)且僅當(dāng)

2、=2,即x=l時取等號，所以其最小值為4,C符合題意：

對于D,y=lnx+/一,函數(shù)定義域為(O,1)U(L+R)，而InxeR且InxoO,如當(dāng)

\nx

lnx=-l,y=-5,D不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函

數(shù)的性質(zhì)即可解出.

9.B

【分析】

分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

【詳解】

1-Y2

由題意可得一=-1+--，

14-X1+X

2

對于A,/'(X—1)—1=一—2不是奇函數(shù)；

X

2

對于B,7(%-1)+1=一是奇函數(shù)；

X

2

對于C,/(x+l)-l=------2,定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)：

x+2

2

對于D,f(x+l)+l=-,定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).

故選：B

【點睛】

本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題.

10.D

【分析】

答案第4頁，總16頁

平移直線至BG，將直線P8與A￡)|所成的角轉(zhuǎn)化為依與BQ所成的角，解三角形即

可.

【詳解】

如圖，連接B￡,PG，P8,因為AA〃BG，

所以NPBG或其補角為直線PB與AR所成的角,

因為BB,1平面A4G9，所以8與d.PC,，又PC]±B1D1,c旦。=耳，

所以PG_L平面PBB、,所以PC,1PB,

設(shè)正方體棱長為2,則BC,=2夜,Pg=(=后，

sinZPBC,==所以NPBG=1-

力。z6

故選：D

11.A

【分析】

2

設(shè)點。(面,%)，由依題意可知，8(0,1),日+y；=1,再根據(jù)兩點間的距離公式得到|P呼,

然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【詳解】

設(shè)點P(Xo，%)，因為8(0,1)，羨+￥=1，所以

答案第5頁，總16頁

網(wǎng)2=xj+(%-1)-=5(1-y：)+(y0-i)~=一4y；一2%+6=-410一g1+生，

而一所以當(dāng)先=；時，|PB|的最大值為

故選：A.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質(zhì)，由兩點間的距離公式，并利用消元思想以及二次

函數(shù)的性質(zhì)即可解出.

12.D

【分析】

結(jié)合對。進行分類討論，畫出/(X)圖象，由此確定正確選項.

【詳解】

若則/(x)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故Mb.

依題意，苫=。為函數(shù)/(切=。(_<_4)2(；1—?的極大值點，

當(dāng)”0時，由龍>人，/(x)W(),畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知b<a,a<0,故ab〉".

當(dāng)a>0時，由時，/(x)>0,畫出/(x)的圖象如下圖所示:

答案第6頁，總16頁

由圖可知Z?>a,a>0,故a/?〉。?.

綜上所述，a?！?成立.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

_8

13.一

5

【分析】

利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于4的方程，解方程即可求得實數(shù)X的值.

【詳解】

由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4—/lx5=0,

Q

解方程可得：2=".

Q

故答案為：—.

14.75

【分析】

先求出右焦點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求解.

【詳解】

由已知，c==6*=3,所以雙曲線的右焦點為(3,0),

|3+2x0-8|5/-

所以右焦點(3,0)到直線x+2y-8=0的距離為近+??=忑=力.

故答案為：亞

答案第7頁，總16頁

15.2^

【分析】

由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】

由題意，S.A8C=gacsin8==6，

所以ac=4,/+c2=12,

所以廿=。2+。2-2accos5=12—2x4xg=8,解得6=2加（負(fù)值舍去）.

故答案為：2夜.

16.③④（答案不唯一）

【分析】

由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【詳解】

選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABC?！?4G。中，AB=BC=2,BB[=1,

E,尸分別為棱B|C，BC的中點，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐E-AZ*.

故答案為：③④.

答案第8頁，總16頁

【點睛】

三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和

數(shù)量關(guān)系.

17.(1)7=10,1=10.3,S；=0.036,S；=0.04；(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均

值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

【分析】

(1)根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.

(2)根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合(1)的結(jié)論進行判斷.

【詳解】

、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

(1)x=---------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------=10.3,

10

。20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+O.32

Si=------------------------------------=0.036,

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

=0.04.

10

2

(2)依題意，3=0.3=2x0.15=2V0.15=2V0.025，2小。36；。04=2>y0038，

歹—了<2、支!且，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

V10

18.(1)證明見解析；(2)X2.

3

【分析】

(1)由底面A8CD可得又PBL4W，由線面垂直的判定定理可得

AM，平面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面，平面PBD；

(2)由(1)可知，AM由平面知識可知，&DAB?&ABM,由相似比可求出A。，

再根據(jù)四棱錐尸-ABCD的體積公式即可求出.

【詳解】

(1)因為尸。，底面ABC。，AMu平面A8C。，

所以P￡>_L4W,

答案第9頁，總16頁

又PBLAM，PBC\PD=P,

所以A〃_L平面尸比＞，

而AMu平面PAM，

所以平面RAMJ?平面PBD.

(2)由(1)可知，AM,平面所以AA7_LBZ),

從而A/MB?AABM，設(shè)AD=2X,

則處.="，即2/=1，解得x=YZ,所以A￡)=0.

ABAD2

因為P0_L底面ABC。，

故四棱錐P-ABCO的體積為V=；x(lx亞卜1=#.

【點睛】

本題第一問解題關(guān)鍵是找到平面Q4"或平面PBD的垂線，結(jié)合題目條件PB_L4W，所

以垂線可以從心,AM中產(chǎn)生，稍加分析即可判斷出AM_L平面PQ，從而證出；第二問

關(guān)鍵是底面矩形面積的計算，利用第一問的結(jié)論結(jié)合平面幾何知識可得出GAB?AABM，

從而求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積.

1n

19.(1)a?-(-r',bH=—；(2)證明見解析.

【分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)及可得到9d-6q+1=0,解方程即可；

利用公式法、錯位相減法分別求出S,,,7；,再作差比較即可.

【詳解】

因為｛%｝是首項為1的等比數(shù)列且%,3%,9a3成等差數(shù)列，

所以6a2=q+9。3，所以6%4=。|+9qq2,

即9/一6夕+1=0,解得q=；,所以

na?n

所以2=于二三.

答案第10頁，總16頁

1x（1-）

（2）證明：由（1）可得S“=--------4

1——

3

丁12n-\n

（亍系+…+k?、?/p>

1-12n-\n

/=?+予+…+丁+訶，②

^2_1111nQVTn1八1、〃

①-②得矛,=§+系+寸…+謔-訶i--訶=5（1行）-利，

1------

3

31n

所以7；=己（1,―,

"43"2.3"

所以7；—鼠=3（1—工）一一----（1-—）=---<0,

"243"2-3"43"2?3”

V

所以（<才?

【點晴】

本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)

學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)

類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.

20.(1)y2=4x；(2)最大值為L

3

【分析】

(1)由拋物線焦點與準(zhǔn)線的距離即可得解;

(2)設(shè)。(%,%)，由平面向量的知識可得尸(10天-9,10%)，進而可得無。=25打+9,

再由斜率公式及基本不等式即可得解.

【詳解】

(1)拋物線。：丁2=2〃/(〃>0)的焦點/仁,0),準(zhǔn)線方程為x=

由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為-1一■iJupnZ,

所以該拋物線的方程為y2=4x；

(2)設(shè)虱題,%),則而=9^-9%),

答案第11頁，總16頁

所以尸(10%一9,10%)，

由P在拋物線上可得(10%)2=4(10%—9),即/=25K+9,

k=%=%10%

所以直線OQ的斜率°QX。25y：+9-254+9,

10

當(dāng)No=°時，k（）Q=°;

k10

當(dāng)獷°時,

%

9

當(dāng)先＞。時，因為25%+—2230,

%

193

止匕時0〈自24—，當(dāng)且僅當(dāng)25%=一，即%=己時，等號成立;

3y。5

當(dāng)為＜0時，統(tǒng)＜0：

綜上，直線OQ的斜率的最大值為g.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用平面向量的知識求得點。坐標(biāo)的關(guān)系，在求斜率的最

值時要注意對先取值范圍的討論.

21.(1)答案見解析；(2)(l,a+l)和(一1,一1一a).

【分析】

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可

求得公共點坐標(biāo).

【詳解】

⑴由函數(shù)的解析式可得：/'(x)=3x2-2x+a,

導(dǎo)函數(shù)的判別式△=4-12a,

答案第12頁，總16頁

當(dāng)△=4—12a時，/'（力20,/（力在區(qū)上單調(diào)遞增,

1—J1—3a1+J1—3a

/'(x)=0的解為:,x,=-------------

3---2

當(dāng)xe-oo,—己——時，/（x）＞0J（x）單調(diào)遞增;

,(1—Jl—3a1+J1—3a),

當(dāng)xw-——，—\——時,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

\337

當(dāng)xe1+J;"*時，/1x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

綜上可得：當(dāng)時，/（x）在R上單調(diào)遞增,

1—Jl—3a](1+J1—3a],

當(dāng)。＜已時，/（X）在^上

l-Jl-3a1+」1-3。

單調(diào)遞增，在—————上單調(diào)遞減.

33

⑵由題意可得：/（而）=*—片+6/+1,/'（Xo）=3xj—2毛+a,

則切線方程為：y-（片一片+6/+1）=（3x；—2x0+a）（x—x。）,

切線過坐標(biāo)原點，則：（）一（君一片+?Xo+l）=（3x；—2/+。）（（）一%0）,

整理可得：2"-需一1=0,即：（/一1乂2年+/+1）=0,

,1=1+

解得：x0=l,則/（%）=/（l）=l_l+a+l=a+l，/'（x0）=/（）?

切線方程為：y=（a+l）x,

與/（x）=.r'—.v*+ax+1聯(lián)立得/一X2+ax+1=（a+l）x,

化簡得/一/一x+i=（）,由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是

了3一萬2一%+1的一個因式，；.該方程可以分解因式為（工一1乂/—1）=0,

解得X=l,x2=-1,

答案第13頁，總16頁

/(T)=T_a，

綜上，曲線y=/(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=/(K)的公共點的坐標(biāo)為(IM+1)和

(―1,—1—

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問

題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)

曲線的公共點坐標(biāo)時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點)，要通過聯(lián)

立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標(biāo)，這

樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般

都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.

x=2+cosaTT

22.(1)〈,(a為參數(shù))；(2)2/?cos(6+—)=4-，3或

y=l+sina