三角函數(shù)教學(xué)研究與分析

contents目錄CONTENT01本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)單擊此處添加正文03學(xué)生遇到的困難及解決辦法單擊此處添加正文05本章的課程目標(biāo)、地位及作用單擊此處添加正文02本章內(nèi)容的前后聯(lián)系學(xué)生遇到的困難及解決辦法單擊此處添加正文04本章教學(xué)建議單擊此處添加正文06如何貫徹大單元教學(xué)單擊此處添加正文三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性和最大（?。┲档刃再|(zhì)；探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。內(nèi)容包括：角與弧度、三角函數(shù)概念和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、三角函數(shù)應(yīng)用。課程標(biāo)準(zhǔn)

三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù)，在高考中歷來是重點(diǎn)熱點(diǎn)之一；在高中數(shù)學(xué)課程中把“函數(shù)概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)應(yīng)用”視為一個整體；幫助學(xué)生從整體上把握三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，理解“三角函數(shù)”與“函數(shù)概念與性質(zhì)”及“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)”等內(nèi)容的聯(lián)系，掌握利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法和技能，通過三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

結(jié)構(gòu)體系地位作用本章的地位與作用本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系角與弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性。三角函數(shù)的概念與性質(zhì)123（４）三角恒等變換經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）。（５）三角函數(shù)應(yīng)用會用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型。本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)本章內(nèi)容的與前后知識的橫縱聯(lián)系數(shù)學(xué)外部的基礎(chǔ)

學(xué)生每天都能接觸到周期性現(xiàn)象，這是日常生活中積累的對“周而復(fù)始”現(xiàn)象的認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)．物理中已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓周運(yùn)動、簡諧振動、交變電流等，地理中學(xué)習(xí)的季節(jié)輪替、潮汐變化等，生物中學(xué)習(xí)的各種動植物的生長規(guī)律等．總之，相關(guān)學(xué)科中積累的關(guān)于周期性變化規(guī)律的知識都可以成為三角函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)．本章內(nèi)容的與前后知識的橫縱聯(lián)系

在平面幾何中學(xué)習(xí)的圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識，初中對圓的研究，從中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形等多角度展開，將這些研究中得出的定性結(jié)果用三角函數(shù)概念表達(dá)出來，就可以直接得到三角函數(shù)的性質(zhì)．同時，平面幾何中的相關(guān)知識及其蘊(yùn)含的思想方法也能給證明三角函數(shù)的性質(zhì)提供思路，例如兩角差余弦公式的證明．平面幾何方面

在函數(shù)一般概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中積累的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)都是本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)：從函數(shù)的一般概念、表示與性質(zhì)等學(xué)習(xí)中，了解了研究函數(shù)的一般路徑、方法；通過冪、指、對函數(shù)的學(xué)習(xí)，基本掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過程與方法．特別重要的是，在這些學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的一般性思考問題的習(xí)慣，例如如何構(gòu)建一類函數(shù)的研究路徑，抽象一類函數(shù)概念的內(nèi)容、途徑與方法，如何從函數(shù)定義出發(fā)研究函數(shù)性質(zhì)，如何利用函數(shù)概念和性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等等．函數(shù)主題方面數(shù)學(xué)內(nèi)部的基礎(chǔ)探究能力缺乏,學(xué)習(xí)理念較為模糊.受初中三角函數(shù)學(xué)習(xí)思維的影響,一些學(xué)生誤認(rèn)為高中三角函數(shù)和初中三角函數(shù)學(xué)習(xí)方式一樣,僅需要掌握公式即可.殊不知,高中三角函數(shù)更加注重實(shí)踐和探究能力的培養(yǎng),那種不知變通、機(jī)械做題的方式已不能適應(yīng)高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)的要求.1忽視了基本概念的學(xué)習(xí).在高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)中,理應(yīng)具備嚴(yán)密的邏輯思維,但是極大部分學(xué)生忽視了基本概念的學(xué)習(xí),致使對三角函數(shù)的幾何意義和方程式理解僅停留在表面上,對于正弦和余弦曲線的畫法相互混淆.對三角函數(shù)公式的變形理解不到位.三角函數(shù)公式是三角函數(shù)學(xué)習(xí)中最為關(guān)鍵的部分,但是三角函數(shù)公式變式較多,理應(yīng)對三角函數(shù)變形的規(guī)則和技巧熟練掌握,但是在具體學(xué)習(xí)中,學(xué)生往往在三角函數(shù)公式的變式中存在著較大障礙,不能達(dá)到觸類旁通的效果三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合的能力欠缺.初中學(xué)習(xí)函數(shù)時只要通過限制點(diǎn)的方式就能畫出圖形,但在高中三角函數(shù)圖形繪畫中,除了兼顧單調(diào)性、凹凸性和周期性等基本性質(zhì)之外,在計算函數(shù)值時往往較為煩瑣,數(shù)形結(jié)合的能力較為欠缺.綜合遷移能力缺乏.雖然經(jīng)過初中、高中階段的學(xué)習(xí),大部分學(xué)生已經(jīng)具備了將單一知識點(diǎn)聯(lián)系成為有機(jī)整體的能力,但三角函數(shù)公式繁多且較為相似,由于學(xué)生綜合遷移能力較為缺乏,致使學(xué)生在解決具體問題時困難較大2345學(xué)生現(xiàn)狀剖析

已學(xué)的多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等，它們的對應(yīng)關(guān)系都是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映，但三角函數(shù)不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是幾何量(角與有向線段)之間的直接對應(yīng)，不是通過對口進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算得到函數(shù)值，這是一個復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)情境，學(xué)生不習(xí)慣于這樣的對應(yīng)關(guān)系，是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)．因此，在“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識上必須采取措施破除定勢，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要在落實(shí)“給定一個角，如何得到對應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程的基礎(chǔ)上再給定義．．三角函數(shù)的性質(zhì)，核心是周期性，由此引發(fā)豐富多彩的內(nèi)容：豐富的對稱性；以單位圓為媒介而建立起各三角函數(shù)之間的豐富關(guān)聯(lián)，例如由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動及其坐標(biāo)的變化規(guī)律(非常直觀)，推出各種各樣的三角公式、恒等變換公式等，這是其他函數(shù)所沒有的．研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法也有特殊性，即利用三角函數(shù)的定義，將圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系，這就是通過幾何直觀研究函數(shù)性質(zhì)，如單位圓關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱、關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱、關(guān)于y=±z成軸對稱，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)之間的關(guān)系，就是誘導(dǎo)公式．因此，研究三角函數(shù)性質(zhì)時所使用的數(shù)形結(jié)合，與通過觀察函數(shù)圖象而得出性質(zhì)所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合，有較大的不同．

總之，“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的直接反映”，這種研究方法是學(xué)生不熟悉的，有的學(xué)生甚至?xí)J(rèn)為這樣得到的不是函數(shù)性質(zhì)．三角函數(shù)概念與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，與單位圓建立了非常緊密的聯(lián)系，有利于學(xué)生理解三角函數(shù)的本質(zhì)，但同時也帶來不利影響．現(xiàn)實(shí)中的周期性現(xiàn)象并一定以角為自變量，因此在用三角函數(shù)解決實(shí)際問題時，需要有更復(fù)雜的分析與轉(zhuǎn)化工作．學(xué)生遇到的困難預(yù)判及解決辦法本章課時安排建議如下（合計約23課時）：5.1任意角與弧度制

約2課時5.2三角函數(shù)的概念

約3課時5.3誘導(dǎo)公式

約2課時5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)約4課時5.5三角恒等變換

約6課時5.6函數(shù)

約2課時5.7三角函數(shù)地應(yīng)用

約2課時小結(jié)

約2課時教學(xué)建議（1）弧度制：強(qiáng)調(diào)引入弧度制的必要性，加強(qiáng)用初中已學(xué)的弧長與半徑的關(guān)系解釋弧度制定義的合理性；（2）三角函數(shù)的定義：直接從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，然后再建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系；（3）刪除正弦線、余弦線和正切線；（4）誘導(dǎo)公式：從單位圓關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線y=x等的對稱性出發(fā)探究誘導(dǎo)公式，也就是通過圓的對稱性“代數(shù)化”，獲得誘導(dǎo)公式；（5）正弦函數(shù)圖像：體現(xiàn)函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系——圖象是函數(shù)的一種表示法，先根據(jù)定義畫出任意一點(diǎn)，掌握了任意一點(diǎn)的做法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點(diǎn)進(jìn)行描點(diǎn)，最后借助技術(shù)描任意多的點(diǎn)，連續(xù)成線畫三角函數(shù)的圖象，這里加強(qiáng)了信息技術(shù)的應(yīng)用。（6）三角恒等變換：仍然強(qiáng)調(diào)單位圓的作用，兩角差的余弦公式利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性進(jìn)行推導(dǎo)；（7）三角函數(shù)的應(yīng)用：體現(xiàn)函數(shù)應(yīng)用的層次性，將三角函數(shù)應(yīng)用的問題大致分為三類：第一類是勻速圓周運(yùn)動的問題，第二類是彈簧振子、交變電流等物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象的刻畫，第三類是現(xiàn)實(shí)生活中在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)周期性變化的問題。把握內(nèi)容的主要變化但是在實(shí)際生活中，由于三角函數(shù)模型常常具有一般性，需要采用從特殊到一般的研究策略，對誘導(dǎo)公式中涉及特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數(shù)進(jìn)行一般化處理，變?yōu)槿我饨铅僚cβ的和（或差）的三角函數(shù)計算問題，由和角公式自然就會生成二倍角公式.一方面，通過擴(kuò)充把運(yùn)算算理一般化，打通公式之間的邏輯關(guān)系；另一方面，為一般類型的三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究提供算法保障.然后，再進(jìn)一步提出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)的研究.基于換元法，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)已經(jīng)可以解決，自然引出：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象能否通過變換由三角函數(shù)y=sinx（或y=cosx）得出？最后，再舉例說明三角函數(shù)在科學(xué)與生活中的基本應(yīng)用.在知識學(xué)習(xí)中遵循循序漸進(jìn)的原則，滲透了由特殊到一般的思想，體現(xiàn)了知識生成、發(fā)展與應(yīng)用的完整過程.預(yù)備知識三角函數(shù)的概念定