函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)2021/5/91目標(biāo)引領(lǐng)：1、利用上節(jié)課導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性作鋪墊,借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導(dǎo)數(shù)的極值定義,利用定義求函數(shù)的極值.2、感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中一般性和有效性，通過(guò)學(xué)習(xí)體會(huì)極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維意識(shí)。

2021/5/92aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).復(fù)習(xí)回顧：1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）>0,那么函數(shù)y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）<0,那么函數(shù)y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).2021/5/932.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

f/（x）

;③解不等式

f/（x）>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解不等式f/（x）<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.2021/5/943、已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7，求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并畫(huà)出其圖象;復(fù)習(xí)回顧：觀察畫(huà)出的圖象，回答下面問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：在點(diǎn)x=0附近的圖象有什么特點(diǎn)？問(wèn)題2：函數(shù)在x=0處的函數(shù)值和附近函數(shù)值之間有什么關(guān)系？問(wèn)題3：在點(diǎn)x=0附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)有何變化規(guī)律？問(wèn)題4：函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)是多少？2021/5/95x=0x<0x>0單調(diào)遞增f’(x)>0單調(diào)遞減f’(x)<0f’(0)＝0

x

f’(x)+0-f(x)極大值點(diǎn)f(0)極大值單調(diào)遞增單調(diào)遞減分析討論：函數(shù)在x=0附近的變化規(guī)律：

你能?chē)L試給出極大值的定義嗎？f(x)2021/5/96【函數(shù)極大值的定義】

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義若x0滿足1.f/(x)=0.2.在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),滿足“左正右負(fù)”,oax0bxy2021/5/97你能?chē)L試給出函數(shù)在x=2處的結(jié)論嗎？x>2x<2x=2x>2x<2x=2

f’(x)+0-f(x)單調(diào)遞增f(2)單調(diào)遞減極小值點(diǎn)極小值

你能?chē)L試給出極大值的定義嗎？2021/5/98【函數(shù)極小值的定義】

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義若x0滿足1.f/(x)=0.2.在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),滿足“左負(fù)右正”,oaX0bxy極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,x0叫做函數(shù)的極值點(diǎn).2021/5/99思考3、觀察圖1.3.10，回答以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：找出圖中的極值點(diǎn)，并說(shuō)明哪些點(diǎn)為極大值點(diǎn)，哪些點(diǎn)為極小值點(diǎn)？問(wèn)題2：極大值一定大于極小值嗎？問(wèn)題3：函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值和極小值具有唯一性嗎？問(wèn)題4：區(qū)間的端點(diǎn)能成為極值點(diǎn)嗎？問(wèn)題5：極值是相對(duì)于函數(shù)的定義域而言的嗎？2021/5/910(1)極值是一個(gè)局部概念,反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況;(2)極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(3)函數(shù)的極大(小)值可能不止一個(gè),而且函數(shù)的極大值未必大于極小值;【關(guān)于極值概念的幾點(diǎn)說(shuō)明】(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。2021/5/911例1.（1）下圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)？（2）如果把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù)的圖象，哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)?2021/5/912x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

當(dāng)f

(x)=0時(shí)，x

=0，而x

=0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).f

(x0)

=0x0

是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)x0

是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件思考4：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？能舉例說(shuō)明嗎？導(dǎo)數(shù)為0是可導(dǎo)函數(shù)在此處取極值點(diǎn)的什么條件？2021/5/913例、求函數(shù)的極值．

例題講解解：當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+極大值y2(-2,2)-2x極小值令，解得當(dāng)時(shí)，y有極大值，并且當(dāng)時(shí)，y有極小值，并且2021/5/914（1）求導(dǎo)數(shù)f/(x)；（2）解方程f/(x)=0（3）通過(guò)列表檢查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)與極值.【求函數(shù)極值的步驟】2021/5/9152021/5/916例2xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+所以，當(dāng)x=-1是，函數(shù)的極大值是-2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的極小值是2導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是交替出現(xiàn)的嗎？不是極大值極小值2021/5/917求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號(hào)，