函數(shù)的極值與導數(shù)

1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)2021/5/91目標引領：1、利用上節(jié)課導數(shù)的單調性作鋪墊,借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導數(shù)的極值定義,利用定義求函數(shù)的極值.2、感受導數(shù)在研究函數(shù)性質中一般性和有效性，通過學習體會極值是函數(shù)的局部性質，增強數(shù)形結合的思維意識。

2021/5/92aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個區(qū)間內恒有,則為常數(shù).復習回顧：1.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系：一般地,設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內有導數(shù),如果在這個區(qū)間內f/（x）>0,那么函數(shù)y=f(x)為這個區(qū)間內的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內f/（x）<0,那么函數(shù)y=f(x)為這個區(qū)間內的減函數(shù).2021/5/932.求函數(shù)單調性的一般步驟①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導數(shù)

f/（x）

;③解不等式

f/（x）>0得f(x)的單調遞增區(qū)間;

解不等式f/（x）<0得f(x)的單調遞減區(qū)間.2021/5/943、已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7，求f(x)的單調區(qū)間,并畫出其圖象;復習回顧：觀察畫出的圖象，回答下面問題：問題1：在點x=0附近的圖象有什么特點？問題2：函數(shù)在x=0處的函數(shù)值和附近函數(shù)值之間有什么關系？問題3：在點x=0附近的導數(shù)符號有何變化規(guī)律？問題4：函數(shù)在x=0處的導數(shù)是多少？2021/5/95x=0x<0x>0單調遞增f’(x)>0單調遞減f’(x)<0f’(0)＝0

x

f’(x)+0-f(x)極大值點f(0)極大值單調遞增單調遞減分析討論：函數(shù)在x=0附近的變化規(guī)律：

你能嘗試給出極大值的定義嗎？f(x)2021/5/96【函數(shù)極大值的定義】

設函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義若x0滿足1.f/(x)=0.2.在x0的兩側的導數(shù)異號,滿足“左正右負”,oax0bxy2021/5/97你能嘗試給出函數(shù)在x=2處的結論嗎？x>2x<2x=2x>2x<2x=2

f’(x)+0-f(x)單調遞增f(2)單調遞減極小值點極小值

你能嘗試給出極大值的定義嗎？2021/5/98【函數(shù)極小值的定義】

設函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義若x0滿足1.f/(x)=0.2.在x0的兩側的導數(shù)異號,滿足“左負右正”,oaX0bxy極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,x0叫做函數(shù)的極值點.2021/5/99思考3、觀察圖1.3.10，回答以下問題：問題1：找出圖中的極值點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點？問題2：極大值一定大于極小值嗎？問題3：函數(shù)在其定義域內的極大值和極小值具有唯一性嗎？問題4：區(qū)間的端點能成為極值點嗎？問題5：極值是相對于函數(shù)的定義域而言的嗎？2021/5/910(1)極值是一個局部概念,反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況;(2)極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(3)函數(shù)的極大(小)值可能不止一個,而且函數(shù)的極大值未必大于極小值;【關于極值概念的幾點說明】(4)函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點。2021/5/911例1.（1）下圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點？（2）如果把函數(shù)圖象改為導函數(shù)的圖象，哪些是極大值點,哪些是極小值點?2021/5/912x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

當f

(x)=0時，x

=0，而x

=0不是該函數(shù)的極值點.f

(x0)

=0x0

是可導函數(shù)f(x)的極值點x0左右側導數(shù)異號x0

是函數(shù)f(x)的極值點f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件思考4：導數(shù)為0的點一定是極值點嗎？能舉例說明嗎？導數(shù)為0是可導函數(shù)在此處取極值點的什么條件？2021/5/913例、求函數(shù)的極值．

例題講解解：當x變化時，的變化情況如下表：+0—0+極大值y2(-2,2)-2x極小值令，解得當時，y有極大值，并且當時，y有極小值，并且2021/5/914（1）求導數(shù)f/(x)；（2）解方程f/(x)=0（3）通過列表檢查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右兩側的符號，進而確定函數(shù)的極值點與極值.【求函數(shù)極值的步驟】2021/5/9152021/5/916例2xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+所以，當x=-1是，函數(shù)的極大值是-2，當x=1時，函數(shù)的極小值是2導函數(shù)的正負是交替出現(xiàn)的嗎？不是極大值極小值2021/5/917求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，