第一章1.11.1.1第2課時(shí)共線向量與共面向量

第2課時(shí)

共線向量與共面向量第一章

空間向量及其線性運(yùn)算1.理解向量共線、向量共面的定義.2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會(huì)證明空間三點(diǎn)

共線、四點(diǎn)共面.學(xué)習(xí)目標(biāo)我們知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移動(dòng)，平面內(nèi)兩個(gè)向量若方向相同或相反，就說(shuō)它們是共線的，那么在空間內(nèi)向量共線又是怎么回事呢？今天我們就來(lái)探究一下.導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、空間向量共線的充要條件二、空間向量共面的充要條件內(nèi)容索引一、空間向量共線的充要條件問(wèn)題1

平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？提示對(duì)任意兩個(gè)平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.1.對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.2.如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，可知

＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

，直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示.a＝λb方向向量知識(shí)梳理注意點(diǎn)：(1)直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定.(2)向量a，b共線時(shí)，表示向量a，b的兩條有向線段不一定在同一條直線上.解方法一

∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，方法二∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).(2)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外空間任意一點(diǎn)，若

則m＋n＝____.解析由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，1所以m＋n＝1.(2)如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，

求證：四邊形EFGH是梯形.證明∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形.二、空間向量共面的充要條件問(wèn)題2

空間任意兩個(gè)向量是共面向量，則空間任意三個(gè)向量是否共面？提示不一定，如圖所示，空間中的三個(gè)向量不共面.問(wèn)題3

對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過(guò)來(lái)，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，p＝xa＋yb?提示向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.1.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段

所在的直線OA_______

或

，那么稱向量a平行于平面α.2.共面向量平行于平面α知識(shí)梳理定義平行于同一個(gè)

的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使

__________在平面α內(nèi)平面唯一p＝xa＋yb提示x＋y＋z＝1.證明如下：(1)充分性∴點(diǎn)P與A，B，C共面.(2)必要性∵點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，不共線的三點(diǎn)A，B，C，又∵點(diǎn)O在平面ABC外，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.例2

(1)(多選)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是√√由共面的充要條件知P，A，B，C四點(diǎn)共面，故C選項(xiàng)正確.(2)(鏈接教材P5例1)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面.又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面.反思感悟解決向量共面的策略(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示.跟蹤訓(xùn)練2

已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.證明如圖，連接EG，BG.(2)BD∥平面EFGH.所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1.知識(shí)清單：(1)空間向量共線的充要條件，直線的方向向量.(2)空間向量共面的充要條件.(3)三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的證明方法.2.方法歸納

：轉(zhuǎn)化化歸、類比.3.常見(jiàn)誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點(diǎn)共線.課堂小結(jié)隨堂演練1.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b,2a－b，它們一定是A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量√1234解析由向量共面定理可知，三個(gè)向量a，b,2a－b為共面向量.2.(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是√1234√解析A選項(xiàng)中，3－1－1＝1，四點(diǎn)共面，∴點(diǎn)M，A，B，C共面.且M，A，B，C四點(diǎn)共面，√1234－31234因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，1234即9a＋mb＝λ(－3a＋b).解得m＝λ＝－3.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.下列命題中正確的是A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516D.若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb√解析A中，若b＝0，則a與c不一定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ，使a＝λb.12345678910111213141516A.A，B，D

B.A，B，CC.B，C，D

D.A，C，D√∴A，B，D三點(diǎn)共線.12345678910111213141516A.P∈直線ABB.P?直線ABC.點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D.以上都不對(duì)√12345678910111213141516解析因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，12345678910111213141516所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.A.四點(diǎn)O，A，B，C必共面

B.四點(diǎn)P，A，B，C必共面C.四點(diǎn)O，P，B，C必共面

D.五點(diǎn)O，P，A，B，C必共面√123456789101112131415165.(多選)在以下命題中，不正確的命題是A.已知A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件C.若a與b共線，則a與b所在的直線平行D.對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面√12345678910111213141516√√若a，b同向共線，則|a|－|b|<|a＋b|，故B不正確；由向量平行知C不正確；D中只有x＋y＋z＝1時(shí)，才有P，A，B，C四點(diǎn)共面，故D不正確.12345678910111213141516√12345678910111213141516又∵P是空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，－8∵A，B，D三點(diǎn)共線，12345678910111213141516∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共線，平行解析設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G(圖略)，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件√12345678910111213141516綜合運(yùn)用12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516A.在平面BAD1內(nèi) B.在平面BA1D內(nèi)C.在平面BA1D1內(nèi) D.在平面AB1C1內(nèi)√12345678910111213141516于是M，B，A1，D1四點(diǎn)共面.14.有下列命題：12345678910111213141516④若向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.其中是真命題的序號(hào)是________(把所有真命題的序號(hào)都填上).②③④12345678910111213141516拓廣探究123456789101112131415160解析∵A，B，C三點(diǎn)共線，12345678910111213141516∴①當(dāng)k＝－1時(shí)，比較系數(shù)得m＝0且λ＝－n，∴λ＋m＋n＝0；12345678910111213141516得