2021年中考數(shù)學沖刺訓練：《中考數(shù)學開放題型》測試卷、練習卷（答案及解析）

《中考數(shù)學開放題型》測試卷、練習卷（答案及解析）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.如圖，AB//DE,AC//DF,AC=DF,下列條件中，不能判定△ABC三△DEF的是

()

A.AB=DE

2.如圖，在AABC中，點。、E分別在邊AB、AC上，則在下列

五個條件中:①乙4ED=乙B；②DE〃BC;③與=條@AD'

BC=DE-AC；⑤=能滿足△ADESA4CB的條

件有（）

A.1個B.5C.4個D.3個

3.把一批書按2：3：4或2：4：5兩種方案分給甲、乙、丙三個班，都可以將這批書

正好分完，這批書可能有（）

A.90本B.99本C.110本D.180本

4.若(2x+l)i°=a。+%(久-1)+。2(乂-I)?+…+ciio(x—1)1°,x為實數(shù)，則a?！?/p>

^i—-—+???+—=

+2

3333TT310

A.710B.（|）10c.gi°D,1

5.順次連接平面上A,B,C,。四點得到一個四邊形，從①4D〃BC,@AB=CD,

③41=NC,④48=4。四個條件中任取其中兩個，可以得出“四邊形A2CZ）是

平行四邊形”，這一結論的情況共有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

6.小明訓練上樓梯賽跑.他每步可上2階或3階（不上1階），那么小明上12階樓梯的

不同方法共有（）

（注：兩種上樓梯的方法，只要有1步所踏樓梯階數(shù)不相同，便認為是不同的上法.）

A.15種B.14種C.13種D.12種

7.濰坊新華路汽改水供熱管道上有S、T、W、X、KZ六個閥門開關，使用這些閥門

開關必須滿足下面的條件：

（1）X和W能同時打開，也能同時關閉;

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（2）S和T能同時打開，也能同時關閉;

（3）7和X不能同時打開，也不能同時關閉；

（4）14/和Y能同時打開，也能同時關閉；

（5）丫和z不能同時打開，也不能同時關閉.

如果同時打開S和Z,則以下說法一定正確的是（）

A.X是打開狀態(tài)并且y是關閉狀態(tài)B.W和T都是打開狀態(tài)

c.7和y都是關閉狀態(tài)D.T是打開狀態(tài)并且y是關閉狀態(tài)

8.方程5x+3y=54的正整數(shù)解的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

9.二次函數(shù)丫=32+以+（：對于彳的任何值都恒為負值的條件是（）

A.a>0,4>0B.a>0,21<0C.a<0,4>0D.a<0,4<0

10.如圖，已知NB=4E=90。，BF=EC,要使4c=DF,則

應添加的條件是（）.

A.只能添加乙4=4D

B.只能添力口44。8=NDFE

C.只能添加力B=DE

D.A或B或C

二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

11.如圖，已知/。=30。，點P是射線08上一個動點，若AAP。始終有兩個內角相等,

則乙4Po所有可能值為______________________

12.如圖，己知=要使BE〃DF,還需補充一個條件，你認為這個條件應該

是—.（填一個條件即可）

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A

C

D

13.因式分解:

(l)x4-18x2+81=o

(2)36(a+b)2-4(a-b~)2=。

14.小明同學在上樓梯時發(fā)現(xiàn)：當只有一個臺階時，有一種走法；當有兩個臺階時，可

以一階一階地上，或者一步上兩個臺階，共有兩種走法；如果他一步只能上一個或

者兩個臺階，根據(jù)上述規(guī)律，當有三個臺階時，他有三種走法，那么當有四個臺階

時，共有種走法.

三、解答題(本大題共7小題，共58.0分)

15.有一張邊長為。厘米的正方形桌面，因為實際需要，需將正方形邊長增加。厘米,

木工師傅設計了如圖所示的三種方案:

方軍一方案二力至二

小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗證公式：a2+2ab+爐=(a+b>,對于方案一，小明

是這樣驗證的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+62=(a+b)2

請你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗證過程.

方案二：__________________________________________________________________

方案三：__________________________________________________________________

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16.已知與，乃是關于x的一元二次方程(a-6)%2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根.

(1)是否存在實數(shù)“，使-/+與亞=4十不成立?若存在，求出。的值;若不存在,

請說明理由.

(2)求使(與+1)(外+1)為負整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值.

17.如圖，在矩形ABC。中，M、N分別是邊A。、BC的中點，E、F分別是線段8M、

CM的中點.

(1)求證：AABM^ADCM;

(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論;

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18.如圖，直線y=|x+3與x軸，y軸分別交于點A,B.

備用圖

(1)求點A與點B的坐標;

(2)若直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點。，C,與直線y=|x+3交于點E.4

BCE的面積為1,求&的值；

(3)在y軸上是否存在點P,使AABP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標：若不存在，請說明理由.

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19.如圖，二次函數(shù)y=-/+2x+m的圖象與x軸的一個交點為2(3,0),另一交點為

B,且與y軸交于點C.

(1)求的值及頂點坐標；

(2)若點P在直線AC上，點Q是平面上一點，是否存在點Q,使以點A、點8、點

P、點。為頂點的四邊形為矩形？若存在，請你直接寫出Q點的坐標；若不存在,

請說明理由.

20.如圖，從下列三個條件中：6AB〃CD3AD〃CB(3)/4=NC

任選兩個作為條件，另一個作為結論，編一道數(shù)學題，并說明理由。

已知：_____________________________________________

結論：_______________________________

理由：

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ADE

21.如果一條拋物線與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸

上一點為頂點的四邊形稱為這條拋物線的“拋物四邊形”.如圖，拋物線曠=。/+

bx+c(a<0)與x軸交于A,C兩點，點8為拋物線的頂點，點。在拋物線的對稱

軸上，則四邊形ABC。為''拋物四邊形”，已知4(一1,0),C(3,0).

(1)若圖1中的“拋物四邊形"ABC。為菱形，且乙4BC=60。,則頂點3的坐標為一

⑵若圖2中的“拋物四邊形"ABCD為正方形，邊AB與y軸交于點E,連接CE

交拋物線于點F,.

①求這條拋物線的函數(shù)解析式;

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②點尸為直線CF下方拋物線上的動點，當SMEC=^SABEC時，求尸點坐標.

③如圖3,連接。8,拋物線上是否存在點Q,使ZBCA+4QC4=a,當tana=2

時，請直接寫出點。的橫坐標；若不存在，說明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即A4S、

ASA、SAS、SSS,直角三角形可用雙定理，但414、SSA,無法證明三角形全等.此題

是一道開放性題，實則還是考查學生對三角形全等的判定方法的掌握情況.此處可以運

用排除法進行分析.

【解答】

Z/4+/.AGD=180°,/.AGD+4。=180°,

???Z-A=Z.D,

A.vz/l=Z.D,AC=DF,AB=DE,用SAS判定△ABC三△OEG

乙A=^D,AC=DF,乙B=,用A4S判定△ABC三△DEF；

D如圖，延長EO交8C于點。，

??EF〃BC,

(E=Z.EOC,

:AB“DE,

,,乙B=(EOC,

??乙E=乙B,

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又?：乙4=mAC=DF,

.?.用AAS判定△ABC*DEF.

故選C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵.根據(jù)

相似三角形的判定定理對各條件進行逐一判斷即可.

【解答】

解：?ZB=AAED,乙4=乙4,則可判斷△ADEsZkACB,故①符合題意；

②DE〃BC,則△ADE-AABC,不能判定△力故②不符合題意，

③等=笫且夾角N4=N4能確定故③符合題意；

④由AD-BC=DE-4?？傻?=監(jiān)，此時不確定乙4DE=乙4CB,故不能確定△4DEH

ACB,故④不符合題意，

⑤乙4DE=1,44=乙4,則可判斷4AOESAACB,故⑤符合題意；

所以能滿足AADE~44cB的條件有3個，

故選D.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了最小公倍數(shù)，解答此題時應根據(jù)兩種方案分的總份數(shù)9份和11份，求出9

和11的最小公倍數(shù)即可.解答此題時應根據(jù)按2：3：4或按2：4：5兩種方案分給甲、

乙、丙三個班，可知這批書總分成9份和11份都正好分完，由此可知這批書應該是9

和11的最小公倍數(shù)和公倍數(shù).

【解答】

解：2+3+4=9,

2+4+5=11,

這批書的本數(shù)應該是9和11的最小公倍數(shù)99.

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答：這批書可能有99本.

故選8.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

此題考查了特殊值法.解題時只需令x=|,整體計算可得答案.

【解答】

解：令》=|,可得的—半++…+瑞=G)i。.

故選C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了平行線的判定與性質、全等三角形的判定、平行四邊形的判定等知識；熟練

掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.

根據(jù)平行四邊形的判定定理可得出答案.

【解答】

解：當①/W〃BC,④=時，四邊形ABC。為平行四邊形；理由如下:

連接AC,如圖1所示：

■■■AD//BC,

二Z-ACB=Z.CAD,

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/-ACB=Z.CAD

在△A8C和△COA中，z,B=Z.D,

AC=AC

:△ABC三國COAQ44S),

???AD=BC,

-AD//BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形；

當①AD//BC,③乙4=〃時，四邊形A8CQ為平行四邊形；理由如下：

連接AC,如圖1所示：

-AD//BC,

???Z.ACB=Z.CAD,

vZ.A=4C,

???Z-BAC=LDCA,

:?AB"CD,

-AD//BC.

???四邊形A5C。是平行四邊形；

當③乙4=NC,④=時，四邊形A3CQ為平行四邊形；理由如下:

如圖2所示：

在四邊形A3CQ中，44+乙8+4。+乙。=360。，

vZ-A=乙C,Z,B=Z.D,

???2ZC+2(B=360°

:.乙。+=180°,

:?AB"CD,

同理：AD//BC,

???四邊形A8CD是平行四邊形；

故選既

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6.【答案】D

【解析】解：設小明上〃階樓梯有時種上法，〃是正整數(shù)，則的=0,g=1，。3=1?

由加法原理知an=an_2+an_3，幾24.

遞推可得。4=@2+=1，

@5=03+。2=2，

。6=。4+。3=2,

。7=+。4=3,

。8=。6+@5=%

—。7+。6=5,

。10—CIQ+。7=7,

Q]]=Qg+CLQ=9,

。12=。10+=12.

故選D

如果設小明上〃階樓梯有時種上法，〃是正整數(shù).根據(jù)己知條件，他每步可上2階或3

階樓梯（不上1階），易知的=o,。2=1，g=1.考察冊：把上〃階樓梯的方法分成兩

類，第一類是最后一步邁大步上3階樓梯的上法，第二類是最后一步邁小步上2階樓梯

的上法，由加法原理知Qn等于兩類上樓梯方法數(shù)之和.第一類上法應先到達第（n-3）階,

再一步“登頂”，有0n_3種方法；第二類上法應先到達第5-2）階，再一步“登頂”,

有0n-2種方法，于是得到遞推關系式：期=O-n-2+an-3>n24.據(jù)此求出。修的值.

本題是規(guī)律性題目，主要考查了加法原理的應用，屬于競賽題型，有一定難度.解答此

題的關鍵是能夠根據(jù)所給的條件，分析出上〃階樓梯的方法有兩類，而由加法原理知即

等于兩類上樓梯方法數(shù)之和.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查簡單的合情推理的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意題設中隱含條件

的合理運用.

【解答】

解：根據(jù)已知條件，如果同時打開s和z,可以得到s開、T開、w關、x關、y關、z

開,

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所以選項。符合,

故答案選。.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查的是方程的基本運算技能：移項、合并同類項、系數(shù)化為1等，表示誰就該把

誰放到等號的一邊，其他的項移到另一邊，然后合并同類項、系數(shù)化1就可用含y的式

子表示x的形式,將原方程變形為以），表示x的形式，然后根據(jù)限制性條件“x、y”都是

正整數(shù)來求x、y的值.

【解答】

解：將方程5x+3y=54變形，得、=手，

當％=3時，y=13；

當x=6時，y=8；

當x=9時，y=3.

共有三個正整數(shù)解.

故選B.

9.【答案】D

【解析】略

10.【答案】D

【解析】略

11.【答案】30°或75°或120°.

【解析】

【分析】

本題考查三角形內角和定理，對

Z4PO=NP4O還是N4P。=N。還是NO=NOAP相等分三種情況討論即得，還考

查了分類討論思想，屬中檔題.利用分類討論思想和三角形內角和定理求解

【解答】

解：若乙APO=40,則N4PO=30。;

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若"IPO=Z.PAO,則乙APO=180°-30°=75°；

若N。=Z.OAP,則乙APO=180°-30°-30°=120°

故答案為30°或75°或120。.

12.【答案】NB=4COE(答案不唯一)

【解析】略

13.【答案】(1)0-3)2(%+3)2

(2)16(2a+i))(a+2b)

【解析】

【分析】

此題主要考查因式分解.靈活運用因式分解的方法是解題關鍵.

(1)首先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式進行因式分解即可；

(2)方法一：首先利用平方差公式進行因式分解，然后再利用提取公因式法進行因式分

解即可；

方法二：首先利用提取公因式法進行因式分解，然后再利用平方差公式進行因式分解即

可.

【解答】

解：(l)x4-18x2+81

=(x2-9)2=(x—3)2(x+3)2,

故答案為Q—3)2。+3)2；

(2)方法一：36(a+b)2—4(a—b)2=(6a+6b)2—(2a-2b)2=(6a+6b+2a—

2b)(6a+6b-2a+2b)

=(8a+4b)(4a+8b)

=16(2a+b)(a+2b)；

方法二：36(a+b)2-4(a-Z?)2=4[9(a+b)2-(a-b)2]

=4[(3a+3b尸-(a-b)2]

=4(3a+3b+a—b)(3a+3b—Q+b)

=4(4a+2b)(2a+4b)

=16(2a+b)(a+2b)；

故答案為16(2a+b)(a+2b).

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14.【答案】5

【解析】

【分析】

本題屬規(guī)律性題目，解答此題的關鍵是根據(jù)所給的條件，列舉出可能走的方法解答.根

據(jù)題意可知：當有四個臺階時，可分情況討論：

①逐級上，那么有一種走法；②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有共三種走法

;③-步走兩個臺階，只有一種走法;所以可求得有五種走法.注意分類討論思想的應用.

【解答】

當有四個臺階時，可分情況討論：

①逐級上，那么有一種走法；

②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有：1、1、2;1、2、1;2、1、1;共三種走法；

②一步走兩個臺階，只有一種走法：2、2;

綜上可知：共有五種走法.

15.【答案】解：方案二：a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2-a2+2ab+b2-

(a+b)2,

方案三?a2?[a+(a+T)]b?[a+(a+b)]b

一：22~

,b2b2

=az+ab+—+ab+—

22

=a2+2ab+爐=(a+b')2.

【解析】本題考查完全平方公式得驗證，解題的關鍵是利用同一個圖形兩種不同的面積

表示方法得到等式，進一步驗證完全平方公式.

16.【答案】解：(1)存在.

由題意可知△=4a2—4a(a-6)=24a>0,

即a>0.

又ra—6。0,

二aK6,

a>0且a豐6.

韓哥智慧之窗-精品文檔16

v—%1+%1%2=4+%2，即=4++%2，

???=44-

fl—66—fl

解得a=24.經(jīng)檢驗，符合題意.

二存在實數(shù)a,a的值為24.

(2)(xj+1)(刀2+1)=xj+x+%!%+1=念+六+1=A

22o—uu—bo—a

???擠為負整數(shù)，

6—a

???整數(shù)a的值應取7,8,9,12.

【解析】本題考查的是根的判別式，根與系數(shù)的關系，一元二次方程的概念，結論開放

型問題探討，解分式方程有關知識.

(1)由題意可知AN0且a-6H0,可求a的范圍，然后結合方程的根與系數(shù)關系可求與+

X2'打打.代入可求；

(2)結合(1)可求(%+l)(x2+1)=Xi+X2+X62+1)代入可求.

17.【答案】解：(1)證明：???四邊形A8CD是矩形，

?,?Z,A=乙D=90°,AB=DC,

??,M是AD的中點，

???AM=DM,

AB=DC

在AaBM和ADCM中，\z.A=z￡),

AM=DM

(2)結論：四邊形”硒尸是菱形；

理由如下：

由(1)得：ZkABM三△DCM,

???BM=CM,

?：E、尸分別是線段3M、CM的中點，

.?.ME=BE=-BM,MF=CF=-CM,

22

:.ME=MF,

又???N是BC的中點，

EN、FW是△BCM的中位線，

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???EN=-CM,FN—BM,

22

EN=FN=ME=MF,

四邊形MENF是菱形.

【解析】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、菱形的判定，三角形中位

線定理，結論開放型問題探討.

(1)由矩形的性質得出AB=DC,乙4=4。，再由M是AQ的中點，根據(jù)SAS即可證明

△ABM=l^DCM；

(2)先由(1)得出BM=CM,再由已知條件證出ME=MF,EN、FN是XBCM的中位線，

即可證出EN=FN=ME=MF,得出四邊形例ENF是菱形.

18.【答案】解：(1)直線y=|x+3與x軸，y軸分別交于點A,B.

當x=0時，y=3,

所以8(0,3)

當y=0時，x=-2,

所以4(一2,0)

(2)將％=0代入y=kx+1,

得y=1,

所以C(0,l)

因為B(0,3)

所以BC=2

設點后的坐標為(犯|6+3)

1

?e?Sg)8CE=-BC\TTL\=1

??.m=±1

???E(l$或(f|)

將Ei(1,j代入y=kx+1,得k=(

將E2(—l,|)代入y=kx+l,得北=一：

//或后

(3)由(1)知做一2,0),8(0,3),

???OA—2,OB=3,

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①如圖

0P1=OB+AB=3+V13.

此時點Pi坐標為(0,34-V13);

②如圖

當AB=AP2時，

因為4。1BP2,

所以。P2=OB=3,

此時點P2坐標為(0,-3)；

③如圖

當BA=BP3時,

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BP3=BA=V13，

所以。「3=V13-3，

此時點「3坐標為(0,3-V13);

④如圖

設&B=x,則。&=3-x,

在Rt△取0中，

222

P4A=P4O+AO,

x2=(3—x)2+22,

13

x=Z'

所以外0=3—昔=3

OO

此時點”的坐標為(0於).

O

綜上可得P1(O,3+VH),22(0,-3),P3(0,3-V13).也(0,》

【解析】本題考查一次函數(shù)的綜合.涉及到一次函數(shù)圖像上點的坐標特點，等腰三角形

的性質，三角形的面積，勾股定理，結論開放型問題的討論，分類討論思想.

(1)分別令y=|x+3的x和y等于。即可求得點8與點A的坐標；

(2)先求得C點坐標和BC的長，再設點E的坐標為(ni,|7n+3),利用三角形面積公式

即可求得k的值；

(3)分四種情況求得點P的坐標.

19.【答案】解：(1)把4(3,0)代入二次函數(shù)y=-x2+2x+zn得，

—9+6+m=0,

TTL—3,

二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3,

韓哥智慧之窗-精品文檔20

y——x2+2久+3=—(x—I)2+4,

頂點坐標為(1,4)；

(2)存在，理由：

當％—0時，y=3,

C(0,3),

???OC=3,

當y=0時，-/+2X+3=0,

x2—2x-3=0,

(x+l)(x-3)=0,

:.x=-1或3,

???B(-l,0),

???OB——1,

①當A8是矩形的邊時，此時，對應的矩形為4BP'Q',

■：AO=OC=3,故"4B=45°,

二矩形ABP'Q'為正方形，

故點Q'的坐標為(3,4)；

②當AB是矩形的對角線時，此時，對應的矩形為AP8Q,

同理可得，矩形APB。為正方形，

故點。的坐標為(1,一2),

故點。的坐標為(3,4)或(1,一2)

【解析】本題是二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點坐標、矩形的性

質、分類討論思想，數(shù)形結合思想，結論開放型問題探討.

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（1）直接將點A的坐標代入到二次函數(shù)的解析式即可求出m的值，寫出二次函數(shù)的解析

式，化為頂點式即可得頂點坐標；

（4）分AB是矩形的邊、AB是矩形的對角線兩種情況，通過畫圖，利用數(shù)形結合即可求

解.

20.【答案】解：已知：AD//CB,AB//CD,

結論：Z.A=ZC,

理由：■：AD//CB,

.?.乙4=乙4BF（兩直線平行，內錯角相等），

■-?AB//CD,

??.△C=N4BF（兩直線平行，同位角相等），

???Z.A=Z.C.

故答案為：AD//CB,AB//CD；乙4=H

-AD//CB,

：.3=NABF（兩直線平行，內錯角相等），

?:AB//CD,

二NC=乙48尸（兩直線平行，同位角相等），

Z.A=Z.C.

【解析】此題考查了平行線的判定與性質，解答此類判定兩角相等的問題，需先確定兩

角的位置關系，由平行線的性質求出兩角相等即可.根據(jù)題意可知已知AD〃CB,4B〃CD

求證乙4=/C.欲證乙4=ZC,需證明乙4=/ABF且NC=NABF,根據(jù)兩直線平行，內

錯角相等及兩直線平行，同位角相等可證.

21.【答案】解：（1）（1,2療）；

（2）①4C=4,則點B的坐標為（1,2）,

韓哥智慧之窗-精品文檔22

y

拋物線的表達式為：y=a(x-l)2+2,

將點A的坐標代入上式得：0=a(—2產(chǎn)+2,解得：。=一發(fā)

函數(shù)的表達式為：y=-