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綜合檢測(cè)(A卷)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=()A.-1 B.0 C.1 D.6答案:B解析:由題意,得a6=2a4-a2=2×2-4=0.2.曲線y=sinx+ex(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為()A.2 B.3 C.13 D.答案:A解析:∵y'=cosx+ex,∴所求斜率k=cos0+e0=2,故選A.3.若函數(shù)f(x)=ax2+lnx的圖象上存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞)答案:A解析:易知f'(x)=2ax+1x(x>0)若函數(shù)f(x)=ax2+lnx的圖象上存在垂直于y軸的切線,則2ax+1x=0存在大于0的實(shí)數(shù)根,于是a=-12x2<0,即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足Sn=2an-3,則S6=()A.192 B.96 C.93 D.189答案:D解析:∵Sn=2an-3,當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2a1-3,解得a1=3,當(dāng)n≥1時(shí),Sn-1=2an-1-3,∴Sn-Sn-1=2an-3-(2an-1-3),∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴anan故{an}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.∴an=3×2n-1.∴S6=3×(15.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且滿足f(x)>-xf'(x),則一定有()A.函數(shù)F(x)=f(x)x在區(qū)間(0,+B.函數(shù)F(x)=f(x)x在區(qū)間(0,+C.函數(shù)G(x)=xf(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增D.函數(shù)G(x)=xf(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減答案:C解析:設(shè)G(x)=xf(x),則G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故G(x)=xf(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.6.已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)y=f'(x)的圖象大致為()答案:C解析:f'(x)=2x-2sinx,顯然f'(x)是奇函數(shù),設(shè)g(x)=2x-2sinx,則g'(x)=2-2cosx≥0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,即f'(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.觀察題中四個(gè)選項(xiàng)可知,只有選項(xiàng)C符合.7.若曲線f(x)=(ax-1)ex-2在點(diǎn)(2,f(2))處的切線過(guò)點(diǎn)(3,3),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,2)答案:A解析:∵f(x)=(ax-1)ex-2,f(2)=(2a-1)e0=2a-1,∴f'(x)=aex-2+(ax-1)ex-2=(ax+a-1)ex-2,∴曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為f'(2)=(3a-1)e0=3a-1,又切線過(guò)點(diǎn)(3,3),∴3-(2a-1)3-∴f(x)=(x-1)ex-2,∴f'(x)=ex-2+(x-1)ex-2=xex-2.∵ex-2>0,∴當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).8.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),設(shè)其導(dǎo)數(shù)為f'(x),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),恒有xf'(x)<f(-x),令F(x)=xf(x),則滿足F(3)>F(2x-1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A.(-1,2) B.-1C.12,2 D.答案:A解析:∵f(x)是奇函數(shù),∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),不等式xf'(x)<f(-x)等價(jià)于xf'(x)<-f(x),即xf'(x)+f(x)<0.∵F(x)=xf(x),∴F'(x)=xf'(x)+f(x),∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),F'(x)<0,∴函數(shù)F(x)單調(diào)遞減.∵f(x)是奇函數(shù),∴F(x)=xf(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)x>0時(shí),F(x)單調(diào)遞增,∴不等式F(3)>F(2x-1)等價(jià)于F(3)>F(|2x-1|),且|2x-1|<3,∴-3<2x-1<3,得-1<x<2.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an+1(n∈N*),則下列說(shuō)法正確的是()A.a5=-16 B.S5=-63C.數(shù)列{an}是等比數(shù)列 D.數(shù)列{Sn+1}是等比數(shù)列答案:AC解析:因?yàn)镾n為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an+1(n∈N*),所以S1=2a1+1,因此a1=-1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以數(shù)列{an}是以-1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,故C正確;因此a5=-1×24=-16,故A正確;又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B錯(cuò)誤;因?yàn)镾1+1=0,所以數(shù)列{Sn+1}不是等比數(shù)列,故D錯(cuò)誤.故選AC.10.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c,下列說(shuō)法中正確的是()A.?x0∈R,f(x0)=0B.若f(x)有極大值M,極小值m,則必有M>mC.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)內(nèi)單調(diào)遞減D.若f'(x0)=0,則x0是f(x)的極值點(diǎn)答案:ABC解析:因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→+∞,由零點(diǎn)存在性定理知?x0∈R,f(x0)=0,故A正確;因?yàn)閒'(x)=-3x2+2ax+b,若f(x)有極大值M,極小值m,則f'(x)=0有兩根x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,易得f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-∞,x1),(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x2)=M>f(x1)=m,故B,C正確;導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選ABC.11.設(shè){an}是無(wú)窮數(shù)列,若存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*,均有an+k>an,則稱{an}是間隔遞增數(shù)列,k是{an}的間隔數(shù),下列說(shuō)法正確的是()A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B.若an=n+4n,則{an}C.若an=2n+(-1)n,則{an}是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D.已知an=n2-tn+2022,若{an}是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則4≤t<5答案:BCD解析:A.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>1),則an+k-an=a1qn+k-1-a1qn-1=a1qn-1(qk-1).因?yàn)閝>1,所以當(dāng)a1<0時(shí),an+k<an,故A錯(cuò)誤.B.an+k-an=n+k+4n+k-n+令f(n)=n2+kn-4,則y=f(n)在n∈N*上單調(diào)遞增.令f(1)=1+k-4>0,解得k>3,故B正確.C.an+k-an=2(n+k)+(-1)n+k-[2n+(-1)n]=2k+(-1)n·[(-1)k-1],當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+k-an=2k-(-1)k+1,存在k≥1,使an+k-an>0成立;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+k-an=2k+(-1)k-1,存在k≥2,使an+k-an>0成立.綜上,{an}是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2,故C正確.D.若{an}是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則an+k-an=(n+k)2-t(n+k)+2022-(n2-tn+2022)=k2+(2n-t)k>0,n∈N*成立,則對(duì)于k2+(2n-t)k≥k2+(2-t)k>0,存在k≥3使之成立,且對(duì)于k2+(2-t)k≤0,存在k≤2使之成立.即對(duì)于k+(2-t)>0,存在k≥3使之成立,且對(duì)于k+(2-t)≤0,存在k≤2使之成立,所以t-2<3,且t-2≥2.解得4≤t<5,故D正確.故選BCD.12.關(guān)于函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1(a是常數(shù),a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),下列說(shuō)法正確的是()A.f(x)恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1B.f(x)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為-1C.若x=-2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的極小值為-1D.若x=-2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的極小值為1答案:AC解析:因?yàn)閑x-1>0,方程x2+ax-1=0,Δ=a2+4>0,所以關(guān)于x的方程x2+ax-1=0一定有兩個(gè)實(shí)根,且兩根之積為-1,所以f(x)=(x2+ax-1)ex-1恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1,即A正確;f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,ex-1>0,對(duì)于x2+(a+2)x+a-1=0,Δ=(a+2)2-4(a-1)=a2+8>0,所以x2+(a+2)x+a-1=0恒有兩個(gè)不等實(shí)根,且導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)實(shí)根附近左右異號(hào),兩根之積為a-1,所以f(x)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為a-1,所以B錯(cuò)誤;若x=-2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則f'(-2)=(4-2a-4+a-1)×e-2-1=0,解得a=-1.f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1,當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(-2,1)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,1),所以函數(shù)的極小值為f(1)=-1,所以C正確,D錯(cuò)誤.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上.13.設(shè)f(n)=1-12+13-14+…+12n-1,則f(k+1)答案:1解析:∵f(n)=1-12+13-∴f(k+1)=1-12+13-f(k)=1-12+13-∴f(k+1)-f(k)=1214.已知函數(shù)f(x)在R上連續(xù)可導(dǎo),f'(x)為其導(dǎo)函數(shù),且f(x)=ex+2xf'(0),則曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為.
答案:y=-x+1解析:由題意,f'(x)=ex+2f'(0),所以f'(0)=e0+2f'(0)=1+2f'(0),因此f'(0)=-1,所以f(x)=ex-2x,所以f(0)=1,所以所求切線方程為y-1=-(x-0),即y=-x+1.15.某漁業(yè)公司今年年初用100萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈,已知第一年捕撈工作需各種費(fèi)用4萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始,每年所需費(fèi)用均比上一年增加2萬(wàn)元.若該漁船預(yù)計(jì)使用n年,則其總花費(fèi)(含購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用)為萬(wàn)元;當(dāng)n=時(shí),該漁船年平均花費(fèi)最低(含購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用).
答案:n2+3n+10010解析:由題意,知該漁船每年所需費(fèi)用是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,則總花費(fèi)S(n)=n×4+n(n-1)2×2+100=n于是年平均花費(fèi)為S(n)n=n+100n+3≥2n·100n+3=23,當(dāng)且僅當(dāng)n=100n,即n=10時(shí),16.牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)給出了一個(gè)數(shù)列{xn}:xn+1=xn-f(xn)f'(xn),我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1和3,數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列,an=lgxn-3xn-1,且a1=答案:3×2n-1解析:由函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1和3,可得f(x)=a(x-1)(x-3)=ax2-4ax+3a(a>0).則f'(x)=2ax-4a(a>0).由題意,得xn+1=xn-a(xn2-則xn+1-3xn+1-1=xn2-32xn-4-3xn2-32xn-4-1=xn2-6xn+92xn-4xn四、解答題:本題共6小題,共70分.解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,S5=20.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列{bn}滿足a4+b4=9,且公比為q,從①q=2;②q=12;③q=-1這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的已知條件,求數(shù)列{an-bn}的前n項(xiàng)和Tn解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)镾n=na1+n(n-1)2d所以S5=10+10d=20,解得d=1,所以an=n+1.(2)由(1)可知,a4=5,又a4+b4=9,所以b4=4.若選擇條件①q=2,可得b1=b4Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=n(a1+an)若選擇條件②q=12,可得b1=b4Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=n(a1+an)若選擇條件③q=-1,可得b1=b4qTn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=n(a1+an)2-18.(12分)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=2an+n-1,bn=an+n.(1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn.(1)證明:由bn=an+n,得bn+1=an+1+n+1,又an+1=2an+n-1,∴bn+1b又b1=a1+1=2,∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(2)解:由(1)可得an+n=2n,則an=2n-n.于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n=(21+22+…+2n)-(1+2+3+…+n)=2n+1-2-n219.(12分)已知函數(shù)f(x)=x4+ax-lnx-32,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解:(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=14-ax2-1x,由曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于直線y=12x,知f'(2)由(1)可知f(x)=x4+54x則f'(x)=x2令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因?yàn)閤=-1不在f(x)的定義域(0,+∞)內(nèi),故舍去.當(dāng)x∈(0,5)時(shí),f'(x)<0,則f(x)在區(qū)間(0,5)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(5,+∞)時(shí),f'(x)>0,則f(x)在區(qū)間(5,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.由此可知,函數(shù)f(x)在x=5處取得極小值,且極小值為f(5)=-ln5,無(wú)極大值,且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,5),單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+∞).20.(12分)已知f(x)=exe-a(x-1)+lnx-1(a∈R),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)g(x)=f'(x(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由題意,得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=exe∴g(x)=f'(x)=exe∴g'(x)=exe-1x2,易知g'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0,∴g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).(2)由(1)知,g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,即f'(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則當(dāng)x≥1時(shí),g(x)≥g(1)=2-a,即f'(x)≥2-a,當(dāng)a≤2時(shí),f'(x)≥0,f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則f(x)≥f(1)=0,符合題意;當(dāng)a>2時(shí),f'(1)=2-a<0,f'(1+lna)=1lna則存在x0∈(1,1+lna),使f'(x0)=0,又f'(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,則f(x0)<f(1)=0,不合題意,舍去.綜上,若當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,則a≤2.21.(12分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1,a2,a3-a1成等差數(shù)列,且a1a3=a4;等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=(n+1)(1)an,bn;(2)數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè){an}的公比為q.因?yàn)閍1,a2,a3-a1成等差數(shù)列,所以2a2=a1+(a3-a1),即2a2=a3.因?yàn)閍2≠0,所以q=a3a2因?yàn)閍1a3=a4,所以a1=a4a3因此an=a1qn-1=2n.所以Sn=(n所以b1=S1=1,b1+b2=S2=3,從而b2=2.所以數(shù)列{bn}的公差d=b2-b1=2-1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.(2)令cn=anbn,則cn=n×2n.因此Tn=c1+c2+…+cn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n.則2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,兩式相減得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2-2n×21-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n所以Tn=(n-1)×2n+1+2.22.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-xa(x>0,a>1).(1)證明:對(duì)任意x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx<x;(2)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求f(x)的極值.(1)證明:令h(x)=lnx-x(x>0),則h'(x)=1x-12x=2-x2x,則當(dāng)x∈(0,4)時(shí),h'(x)>0,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),h'(x
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