非空集合x上模糊子

非空集合x上模糊子

1模糊拓?fù)淇臻g的鄰域和重域1、設(shè)置t與非空集x上的模糊集。如果t滿足以下條件，則設(shè)置t。(1)?r∈,r*∈T,其中r*表示隸屬函數(shù)值為常數(shù)r的模糊子集;(2)對任何U,V∈T,U∩V∈T;(3)對任何Uα∈Τ(α∈Ι),∪α∈ΙUα∈Τ.Uα∈T(α∈I),∪α∈IUα∈T.則稱T為X上的模糊拓?fù)?(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g.定義2設(shè)(X,J)為通常的拓?fù)淇臻g,從(X,J)到的所有下半連續(xù)函數(shù)組成的X上的模糊子集族是X上的模糊拓?fù)?稱為由(X,J)誘導(dǎo)出的模糊拓?fù)?記作ω(J).定義3A為X上模糊子集,滿足:A(x)=λ>0且對?y≠x,A(y)=0,則稱A為以x為支點(diǎn)的模糊點(diǎn),記作xλ.當(dāng)xλ?B,即λ≤B(x)時,稱xλ∈B.將X上所有模糊點(diǎn)的集合記作X*.定義4(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g,A為模糊子集,xλ∈X*.1)若存在開集B∈T,使xλ∈B?A,則稱A為模糊點(diǎn)xλ的鄰域.2)若存在開集B?A,使B(x)+λ>1,則稱A為xλ的重域.3)若存在閉集B(B*∈T),使A?B且B(x)<λ,則稱A為xλ的遠(yuǎn)域.xλ的全體遠(yuǎn)域之集記作η(xλ),全體閉遠(yuǎn)域之集記作η-(xλ).由定義可得鄰域與重域的關(guān)系如下:定理1(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g,對任何固定的λ∈(0,1],A是xλ的鄰域?對?r∈(1-λ,1],A均為xr的重域.重域與遠(yuǎn)域是相互對偶的概念,其關(guān)系如下:定理2在模糊拓?fù)淇臻g中,模糊子集A是模糊點(diǎn)xλ的(開)重域?A1是xλ的(閉)遠(yuǎn)域.定義5在模糊拓?fù)淇臻g(X,T)中,包含模糊子集A的全體閉集之交稱為A的閉包,記作ˉA.Aˉˉˉ.關(guān)于閉包有如下等價刻劃:定理3(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g,A為模糊子集,xλ∈X*,則1)xλ∈ˉA??B∈η(xλ),A?B1)xλ∈Aˉˉˉ??B∈η(xλ),A??B成立.2)xλ∈ˉA?xλ2)xλ∈Aˉˉˉ?xλ的任何重域U與A相重,即存在t∈X,U(t)+A(t)>1.定義6設(shè)(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g,其分離性定義如下:1)若對X*中支點(diǎn)相同的點(diǎn)xλ,xμ,當(dāng)μ<λ時,存在A∈η(xλ)使xμ∈A,則稱(X,T)為T-1空間.2)若對X*中二不同模糊點(diǎn)xλ,yμ,存在A∈η(xλ)使yμ∈A,或者存在B∈η(yμ)使xλ∈B,則稱(X,T)為T0空間.3)若對?x,y∈X,x≠y,存在λ∈(0,1],使有A∈η(xλ),yλ∈A或者有B∈η(yμ)xλ∈B,則稱(X,T)為次T0空間.4)若對?xλ,yμ∈X*,當(dāng)xλ?yμ時,存在A∈η(xλ),使yμ∈A,則稱(X,T)為T1空間.5)若對X*中二支點(diǎn)不同的模糊點(diǎn)xλ,yμ,存在A∈η(xλ),B∈η(yμ),使A∪B=X,則稱(X,T)為T2空間.定義7由定向集(D,≤)到X*的映射S={sn;n∈D},稱為模糊點(diǎn)網(wǎng).若對xλ的任何重域A,?N∈D,當(dāng)n≥N時,有Sn重于A,則稱網(wǎng)S按T收斂于xλ.2ya其aa而aa在以下定理中,設(shè)(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g.定理4(X,T)是T-1空間?當(dāng)0<μ<λ≤1時,對?x∈X,存在開集A使xμ∈A,xλ?A.定理51)(X,T)是T0空間?對X*中任二不同的點(diǎn)xλ,yμ,η(xλ)≠η(yμ).2)(X,T)是T0空間?對X*中任二不同的點(diǎn)xλ,yμ,有xλ?ˉyμxλ?yμˉˉˉˉ或yμ?ˉxλ.yμ?xλˉˉˉˉ.證明1)?由T0空間定義,對X*中任二不同的點(diǎn)xλ,yμ,或者存在A∈η(xλ)使yμ∈A從而A?η(yμ);或者存在B∈η(yμ),xλ∈B從而B?η(xλ),總之η(xλ)≠η(yμ).?若(X,T)不是T0空間,則存在xλ,yμ∈X*,xλ≠yμ滿足:一方面?A∈η-(xλ)恒有yμ?A從而A∈η-(yμ);另一方面對?B∈η-(yμ)有xλ?B從而B∈η-(xλ),所以η-(xλ)=η-(yμ),由此可得η(xλ)=η(yμ).2)?(X,T)是T0空間,由1)對X*中任二不同的點(diǎn)xλ,yμ,η-(xλ)≠η-(yμ),不妨設(shè)存在A∈η-(xλ),A?η-(yμ),此時yμ∈A?ˉyμ?A,所以xλ?ˉyμ.?若(X,T)不是T0空間,則由1)存在xλ,yμ∈X*,xλ≠yμ使η-(xλ)=η-(yμ),則有xλ∈ˉyμ且yμ∈ˉxλ成立,因?yàn)?若它不成立,則ˉyμ∈η-(xλ)=η-(yμ)或ˉxλ∈η-(yμ),這是矛盾的.定理61)(X,T)是次T0空間??x,y∈X,x≠y,存在λ∈(0,1]使η(xλ)≠η(yμ).2)(X,T)是次T0空間??x,y∈X,x≠y,存在λ∈(0,1]使xλ?ˉyλ或yλ?ˉxλ.定理7(X,T)是T1空間??xλ∈X*,xλ是閉集.證明?對于?xλ∈X*,若yμ∈ˉxλ,由定理3?A∈η(yμ),使xλ?A.假設(shè)yμ?xλ,由(X,T)是T1空間,存在A∈η(yμ),使xλ∈A,產(chǎn)生矛盾.于是yμ∈xλ,則ˉxλ?xλ故ˉxλ=xλ,所以xλ是閉集.?設(shè)(X,T)不是T1空間,則存在xλ,yμ∈X*,當(dāng)xλ?yμ時,?A∈η(xλ)有yμ?A,由定理3有xλ∈ˉyμ,故yμ≠ˉyμ,所以yμ不是閉集.定理8(X,T)是T2空間?對X*中任二支點(diǎn)不同的模糊點(diǎn)xλ,yμ,存在xλ的重域C,yμ的重域D使C∩D=?.證明?對X*中任二支點(diǎn)不同的模糊點(diǎn)xλ,yμ,由(X,T)是T2空間,存在A∈η(xλ),B∈η(yμ),使A∪B=X,取C=A′,D=B′,則C∩D=(A∪B)′=?,由重域與遠(yuǎn)域的對偶性,C,D分別為xλ,yμ的重域.?設(shè)xλ,yμ是X*中支點(diǎn)不同的點(diǎn),由已知條件,存在xλ的重域C及yμ的重域D,使C∩D=?,取A=C′,B=D′,則A∈η(xλ),B∈η(yμ),A∪B=X.定理91)(X,T)是T2空間?對X*中任二支點(diǎn)不同的模糊點(diǎn)xλ,yμ,當(dāng)λ<1,μ<1時,xλ,yμ存在不相交的開鄰域.2)(X,T)是T2空間?任何網(wǎng)都不會收斂于兩個承點(diǎn)不同的模糊點(diǎn).3x,y,設(shè)(X,T)為模糊拓?fù)淇臻g,由分離性定義可得如下結(jié)論:定理101)若(X,T)是T0空間,則它是T-1空間,也是次T0空間.2)若(X,T)是T1空間,則它是T0空間.定理11若(X,T)是T2空間,則它是次T0空間.證明對于?x,y∈X,x≠y,?λ∈(0,1],由(X,T)是T2的,則存在A∈η(xλ),B∈η(yλ),A∪B=X.由xλ∈A∪B,xλ?A有xλ∈B,故(X,T)是次T0空間.(注:T2空間未必是T-1空間,從而不必是T0空間,更不必是T1空間.)定理12若(X,T)是T0的T2空間,則它是T1空間.證明?xλ,yμ∈X*,當(dāng)xλ?yμ時,若x=y,則μ<λ,由(X,T)是T0的,存在A∈η(xλ),使xμ=yμ∈A;若x≠y,由(X,T)是T2的,存在A∈η(xλ),B∈η(yμ),A∪B=X,此時yμ?B,yμ∈A.所以(X,T)是T1空間.總之,拓?fù)淇臻g各種分離性關(guān)系如下:T0+