人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第09講 平面向量加、減、數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示（原卷版）

第9課平面向量加、減、數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示，掌握平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示.2.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.3.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線．1、通過閱讀課本在平面向量加減運算的基礎(chǔ)上，掌握坐標(biāo)系下的加減與數(shù)乘運算，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2、熟練運用掌握向量的運算性質(zhì)，提升對平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解與掌握，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3、會利用坐標(biāo)法，理解和掌握兩個向量是否共線的判斷.知識精講知識精講知識點01平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，數(shù)學(xué)公式文字語言表述向量加法a＋b＝兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法a－b＝兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝，即任意一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)．【即學(xué)即練1】已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求點D的坐標(biāo)，使這四點為平行四邊形的四個頂點．反思感悟坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用(1)條件：相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等．(2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點的坐標(biāo)．知識點02平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．【即學(xué)即練2】已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c等于()A．(－23，－12) B．(23,12)C．(7,0) D．(－7,0)反思感悟平面向量坐標(biāo)運算的技巧(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進(jìn)行運算．(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算．(3)向量的線性坐標(biāo)運算可完全類比數(shù)的運算進(jìn)行．知識點03平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.則a，b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)時，向量a，b(b≠0)共線．【即學(xué)即練3】(多選)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是()A．a(chǎn)＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a(chǎn)＝(2,3)，b＝(3,2)C．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a(chǎn)＝(－3,2)，b＝(6，－4)反思感悟向量共線的判定應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷，特別是利用向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷時，要注意坐標(biāo)之間的搭配．能力拓展能力拓展考法01向量加減的坐標(biāo)運算【典例1】．平面向量的坐標(biāo)運算已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0_________．結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于_______．【變式訓(xùn)練】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點M的坐標(biāo)為______.考法02向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算【典例2】已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【變式訓(xùn)練】設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向”的充要條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考法03向量共線的坐標(biāo)表示【典例3】已知SKIPIF1<0(1)當(dāng)k為何值時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線？(2)若SKIPIF1<0，且A，B，C三點共線，求m的值．【變式訓(xùn)練】已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0三點共線 B．SKIPIF1<0三點共線C．SKIPIF1<0三點共線 D．SKIPIF1<0三點共線分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（

）A．（0，4，-11） B．（12，16，7）C．（0，16，-7） D．（12，16，-7）2．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則實數(shù)m的值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．45．（多選）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）．A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角C．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值為16．（多選）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（m，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在SKIPIF1<0中，CA＝CB＝1，SKIPIF1<0，若CM與線段AB交于點P，且滿足SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為______．8．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.9．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為_____．11．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0等于___________.12．已知SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為銳角，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.題組B能力提升練1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段AB的中點，則SKIPIF1<0點的坐標(biāo)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多選）下列說法正確的是（

）A．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0C．已知正方形ABCD的邊長為1，若點M滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若O是SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<03．（多選）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0在正方形內(nèi)部及邊上運動，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有（

）A．點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0為定值B．點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0為定值C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0D．使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0點軌跡長度為SKIPIF1<04．已知向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐標(biāo)為SKIPIF1<0為________.5．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.6．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為____________．9．在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形SKIPIF1<0（如圖②）．己知正六邊形的邊長為1，點M滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________________；若點P是線段SKIPIF1<0上的動點（包括端點），則SKIPIF1<0的最小值是________________．

圖①

圖②10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0三點共線，求SKIPIF1<0的值.題組C培優(yōu)拔尖練1．在平面內(nèi)，定點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P，M滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形SKIPIF1<0按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________．5．設(shè)SKIPIF1<0為不共線的向量，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________．6．如圖，在邊長為SKI