2021年中考一輪復(fù)習(xí)九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)《切線的判定與性質(zhì)》訓(xùn)練（附答案）

2021年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)《切線的判定與性質(zhì)》專(zhuān)題訓(xùn)練（附答案）

1.如圖，在△ABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，以。為圓心的半圓分別與A8,4c相切于點(diǎn)

M,N.已知NBAC=120°,A8+AC=16,,的長(zhǎng)為T(mén)T,則圖中陰影部分的面積為.

2.如圖，已知AB是。。的直徑，8c與。。相切于點(diǎn)8,連接AC,OC.若sinNBAC=」,

3

則tan/BOC=.

3.如圖，將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板的一直角邊與量角器的零

刻度線所在直線重合，斜邊與半圓相切，源對(duì)應(yīng)的圓心角（NAOB）為120°,OC長(zhǎng)為3,

則圖中扇形AOB的面積是.

4.已知A8為OO的直徑且長(zhǎng)為2r,C為。0上異于4,8的點(diǎn)，若AO與過(guò)點(diǎn)C的。。的

切線互相垂直，垂足為。.①若等腰三角形AOC的頂角為120度，則CC=4r,②若

△AOC為正三角形，則CD=哼r,③若等腰三角形AOC的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則CO=

r,④無(wú)論點(diǎn)C在何處，將△ADC沿AC折疊，點(diǎn)。一定落在直徑A8上，其中正確結(jié)論

的序號(hào)為.

5.如圖，在RtZ\AOB中，OA=OB=4?.。。的半徑為2,點(diǎn)尸是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)P作。。的一條切線P。（點(diǎn)。為切點(diǎn)），則線段PQ長(zhǎng)的最小值為.

6.如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,以C。為直徑作。0.將矩形ABCQ繞點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)，使所得矩形4'B'CD'的邊A'B'與。。相切，切點(diǎn)為E,邊C。'與。。相

交于點(diǎn)

F,則CF的長(zhǎng)為.

7.如圖，PA.尸8為圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,PO交AB于點(diǎn)C,尸0的延長(zhǎng)線交圓

。于點(diǎn)。，下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.NBPD=NAPDC.ABVPDD.A8平分P。

8.如圖，PA.PB分別與。0相切于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，連接AC、BC,若N

P=50°,則NACB的度數(shù)為（）

A.60°B.75°C.70°D.65°

9.已知，如圖，ZVIBC中，AB=\Q,2C=6,AC=8,半徑為1的。0與三角形的邊A3、

AC都相切，點(diǎn)尸為。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為8c邊上一動(dòng)點(diǎn)，則尸。的最大值與最小值的

和為（）

A.11B.5我+4C.5料+5D.12

10.我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱(chēng)為“整圓如圖，直線/：），=

入+4?與》軸、y軸分別交于A、B,/。48=30°,點(diǎn)P在x軸上，0P與/相切，當(dāng)

尸在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得成為整圓的點(diǎn)尸個(gè)數(shù)是（）

A.6B.8C.10D.12

11.如圖，PA,P8切。。于A、B兩點(diǎn),CO切。。于點(diǎn)E,交融，PB于C,D.若。0

的半徑為r,△PC。的周長(zhǎng)等于3r,則tan/AP8的值是（）

A.2萬(wàn)B.聆C.1萬(wàn)D.^-713

12.如圖，G為△ABC的重心.若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交于兩點(diǎn)，則關(guān)

于△ABC三邊長(zhǎng)的大小關(guān)系，下列何者正確？（)

A.BC<ACB.BC>ACC.AB<ACD.AB>AC

13.如圖，AB是。。的直徑，。。交BC的中點(diǎn)于。，DEJ_4C于點(diǎn)E,連接AC,則下列

結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

?ZEDA^ZB；③OA=1AC；④。E是。。的切線.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

14.矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為2.5和5,若以較長(zhǎng)一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相

切的線段最多有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

15.如圖，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABA.BC,AD=\,BC=3,CD=4.梯形的高

?！芭c中位線EF交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中：

①△OG尸絲△E8H；②四邊形EHCF是菱形；③以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E.

正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

16.如圖，OO的內(nèi)接△A8C的外角/ACE的平分線交。。于點(diǎn)DDF±AC,垂足為凡

DELBC,垂足為E.給出下列4個(gè)結(jié)論：(T)CE=CF；②/ACB=/E￡?尸；③DE是。O

的切線；④俞=俞.其中一定成立的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

17.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)D在。0上，AD的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的切線交于點(diǎn)C,E

為線段AD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的弦FGLAB于點(diǎn)H.

(1)求證：NC=/AG。：

(2)己知BC=6,CD=4,且CE=2AE,求EF的長(zhǎng).

18.如圖，AB是00的直徑，C為。。上一點(diǎn)，A。和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為Z).

(1)求證：NC4O=/C4B；

(2)若旭=2,AC=2巫,求CD的長(zhǎng).

AB3

D

19.如圖，在Rt^ABC中，NA8C=90°,以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)。，AE與過(guò)點(diǎn)。

的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證：4。平分N8AE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

20.如圖，△ABC的外角NBAM的平分線與它的外接圓相交于點(diǎn)E,連接BE,CE,過(guò)點(diǎn)E

作EF〃BC,交CM于點(diǎn)D

求證：(1)BE=CE；

(2)EF為。。的切線.

21.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,以AB的中點(diǎn)。為圓心，04為半徑的圓交4c于

點(diǎn)O,E是8c的中點(diǎn)，連結(jié)DE、0E.

(1)判斷。E與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)求證：B*=2CD,0E.

A

RE

22.如圖，AN是(DM的直徑，NB〃x軸，48交OM于點(diǎn)C.

(1)若點(diǎn)A(0,6),N(0,2),/ABN=30°,求點(diǎn)8的坐標(biāo);

(2)若O為線段NB的中點(diǎn)，求證：直線C。是OM的切線.

23.如圖，已知A8是。。的直徑，。。經(jīng)過(guò)RtZ\AC￡＞的直角邊。C上的點(diǎn)F,交AC邊于

點(diǎn)E,點(diǎn)尸是弧EB的中點(diǎn)，ZC=90°,連接AF.

(1)求證：直線C。是。。切線.

(2)若BD=2,0B=4,求tan/AFC的值.

D

24.如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ND48=90°,4B是。。的直徑，C。平分/

BCD.

(1)求證：直線CQ與00相切；

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,尸為優(yōu)弧第上一點(diǎn)，AD=1,BC=2.求tan/APE

的值.

圖1圖2

參考答案

??,半圓分別與A3,AC相切于點(diǎn)M,M

AOM±ABfON_LAC,

VZBAC=120°,

:?/MON=60°,

??.NMOB+NNOC=120°,

???誦的長(zhǎng)為IT,

?.6?0兀r―TT?

180

**?v—3,

：.OM=ON=r=3,

連接OA,

在RtZXAON中，NAON=30°,ON=3,

:.AN=yI"^,

:.AM=AN=M，

：.8M+CN=A8+AC-(4M+AN)=16-2^3，

?*?5陰影=SzkO6M+SaOCN■(S扇形MOE+S扇形NO”)

—X3X(BM+CN)-(120KX32)

2360

=-1(16-273)-3n

=24-3^3~3K.

故答案為：24-373-37T.

2.解：???AB是OO的直徑，8。與。。相切于點(diǎn)8,

AZABC=90°,

'：sinZBAC=—=—,

AC3

設(shè)BC=x,AC=3x,

/MB=VAC2-BC2=V(3X)2-X2=2揚(yáng)'

BCx_V2

；.tan/BOC=

OB-5/2x2

故答案為：返.

2

3.解：VZA<9B=120°,ZACB=90°,

NOBC=ZAOB-ZACB=30°,

；OC=3,

OB=2OC=6,

VZAOB=120°,

圖中扇形408的面積是12°九X6)=1271,

360

故答案為：12TT.

4.解：①如圖1,

40c=120°,

，NC4O=NACO=30°,

\'CD和圓。相切，ADLCD,

：.ZOCD=90°,AD//CO,

：.ZACD=60°,ZCAD=30°,

：.CD=^AC,

2

：C為。O上異于A,8的點(diǎn)，

：.AC<AB,

：.CD^lr,故①錯(cuò)誤；

②如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AELOC,垂足為E,

若△40C為正三角形，

ZAOC=ZOAC=60°,AC=OC=OA=r,

：.ZOAE=30°,

.?.OE=」A。，AE=^-AO=^-r,

222

?.?四邊形AEC￡＞為矩形，

.,.CD=AE=^^-r,故②正確；

③若等腰三角形AOC的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，如圖3,

：.AD=CD,而NAQC=90°,

：.ZDAC^ZDCA=45°,又/OCO=90°,

NACO=NC4O=45°

...NQAO=90°,

...四邊形AOC￡）為矩形，

：.CD=AO^r,故③正確；

圖3

④如圖4,過(guò)點(diǎn)C作CEJ_4。，垂足為反連接OE,

VOCA.CD,ADA.CD,

：.OC//AD,

：.ZCAD=ZACOf

'：OC=OA,

：.NACO=NCAO,

：.ZCAD=ZCAO,

：.CD=CEf

在△A。。和△AEC中，

ZADC=ZAEC=90°,CD=CE,AC=AC,

：./\ADC^/\AEC(HL),

：.AD=AE,

?,?AC垂直平分OE,則點(diǎn)。和點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，

即點(diǎn)。一定落在直徑上，故④正確.

故正確的序號(hào)為：②③④,

故答案為：②③④.

5.解：連接0Q.

是。。的切線，

：.OQ±PQ；

根據(jù)勾股定理知P^=OP2-0。2,

...當(dāng)時(shí)，線段PQ最短，

；在RtZ\AOB中，OA=OB=4夜,

.?.A8=&OA=8,

...8=如00=%

AB

PQ=Yop2_0Q2=2?.

故答案為2?.

6.解：連接OE,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G,作C于點(diǎn)H,

則NOEB'=NOHB'=90°,

?..矩形ABC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所得矩形為A'B'CD',

：.ZB'=NB'CD'=90°,AB=C￡)=5、BC=B'C=4,

四邊形OEB'”和四邊形EB'CG都是矩形，0E=0O=0C=2.5,

：.B'H=OE=2.5,

：.CH=B'C-B'H=1.5,

22=2

：.CG=B'E=OH=^QQ2_CH2=^2.5-l.5>

：四邊形CG是矩形，

AZOGC=90°,BPOGICD1,

：.CF=2CG=4,

故答案為：4.

7.解：；附，PB是OO的切線，

J.PA^PB,所以A成立；

4BPD=/APD,所以B成立；

：.AB±PD,所以C成立；

'：PA,尸8是00的切線，

：.ABLPD,且AC=BC,

只有當(dāng)AO〃PB,〃用時(shí)，A8平分PO,所以。不一定成立.

故選：D.

8.解：連接。4、OB,

；以、PB分別與。。相切于4、8兩點(diǎn)，

J.OAVPA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

...NAOB=180°-/P=180°-50°=130°,

AZACB=^ZAOB=^X130°=65°.

22

故選：D.

9.解:9△ABC中,98=10,9c=6,9c=8,

r.AB1=AC2+BC1,

：.ZACB=90",

設(shè)。。與AC相切于點(diǎn)。，與AB相切于點(diǎn)E,連接。。，OE,過(guò)點(diǎn)O,作OPi，8c垂

足為Q1交00于P1，連接A。，延長(zhǎng)A。與3c相交于點(diǎn)F,過(guò)產(chǎn)作FGLA8于點(diǎn)G,

如圖1,此時(shí)垂線段。。|最短，PiQi最小值為OQi-OPi，

則四邊形ODC?為矩形，AO平分NB4C,

：.CF=FG,

設(shè)CF=FG=x,則8/=6-x,4C=AG=8,8G=A8-AG=10-8=2,

由勾股定理得，(6-x)2-X2=22,

解得，x=B,

3

；.GF=—,

3

"."OE//GF,

：.△AOEs/MFG,

...墮望,即回喈,

FGAG18

3

：.AE=3,

：.AF=AE=3,

：.OQ\=CD=i-3=5,

???P@=OQ「OP|=5-1=4,

如圖2,當(dāng)。2與B重合時(shí)，連接80延長(zhǎng)80與交于點(diǎn)22,

此時(shí)22。2為最大值P2Q2=OQ2+OP24OE2+BE2+1=Vj+ao-s）2+1=56+1，

：.PQ的最大值與最小值的和為：修。1+。2。2=4+5圾+1=572+5.

故選：C.

10.解：：直線/：y=Jlr+4F與x軸、y軸分別交于A、B,

：.B（0,4近）,

二。8=4退，

在Rt^AOB中，ZOAB=30°,

：.OA=MOB=MX4^3=12.

：。尸與/相切，設(shè)切點(diǎn)為例，連接PM,則PM_LAB,

：.PM^—PA,

2

設(shè)P(x,0),

.,.以=12-x,

。尸的半徑PM^—PA=6-—x,

22

為整數(shù)，PM為整數(shù)，

.?.X可以取0,2,4,6,8,10,6個(gè)數(shù)，

???使得。2成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是6.

故選：A.

11.解：連接OA、OB、OP,延長(zhǎng)3。交雨的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

'：PA,PB切。。于A、B兩點(diǎn)，CD切O。于點(diǎn)E

...NOAF=/P8F=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

APCD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

：.PA^PB=^-r.

2

在Rt/\PBF和RtAOAF中，

fZFAO=ZFBP,

IZOFA=ZPFB

：.Rt^PBF^Rt/\OAF.

?幽應(yīng)二「=2

"FBBP2y

2「

9

：.AF=—FB,

3

在RtZsFB尸中，

產(chǎn)-PB2=FB2

：.(PA+AF)2-PET=FET

：.(3r+28F)2-(-1)2=B?,

232

解得BF^^-r,

5

18

~^~r

：.tanZAPB=^-=——=衛(wèi)，

PBlr5

2

故選：B.

12.解：YG為△ABC的重心,

???△A8G面積=/\8。6面積=Z\ACG面積,

又?：GHa=GHb>GHc，

：.BC=AC<AB.

故選：。.

13.解：???A8是直徑，

???NADB=90°,

：.ADLBC,故①正確;

連接DO,

??,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

；.CD=BD,

??.△ACDdABO(SAS),

：.AC=AB,/C=/B,

■:OD=OB,

:,/B=/ODB,

：?/ODB=NC,OD//AC,

：.ZODE=ZCED,

是圓。的切線，故④正確;

由弦切角定理知，/EDA=NB,故②正確;

:點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，故③正確,

故選：D.

14.解：以較長(zhǎng)的邊為直徑作圓，半徑正好與另一邊相等，所以如上圖可知，與半圓相切的

線段有3條.

故選O.

15.解：?.,直角梯形ABCQ中，AD//BC,ABVBC,

四邊形是矩形，

：.CH=BC-BH=2.

是△￡>"(7的中位線，

；.FG=CH+2=1=BH,NDGF=NDHC=NB=90°,

??AB-DH=yj2_2-2yf2，

:.BE=M，

?,?￡//=VBE2+BH2=2,

：.4DGF94EBH(HL).(1)成立

'：EF//HC,EF=HC,

：.四邊形E，C尸是平行四邊形，

,:EH=HC=2,

...四邊形EHC尸是菱形(2)成立.

"：EF±AE,EF=2,

.?.點(diǎn)F到AB的距離等于半徑2,

，以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E.(3)成立

故選：C.

16.解：①；NDCE=NDCF,NDEC=NDFC,DC=DC,

：./\CDE^/\CDF,得CE=CF.故成立；

②NAC8+NACE=180°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得NACE+NE￡)F=180°,所以/ACB

=NEDF,故成立；

③連接。力、0C.則/ODC=NOCD.假如OE是切線，則ODJ_OE,因BE_LDE,所

以O(shè)D〃BE,NDCE=NODC=NOCD,而N￡>CE=NOCA,ZOCD^ZDCA,故DE

不是切線；

④根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角得NOCE=ND4B,所以ND4B=NDCA,根據(jù)

圓周角定理判斷弧4。=弧8￡>.故成立.

故選：D.

17.(1)證明：如圖1,連接BO,

是。。的直徑，

AZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA^90Q,

是。。的切線，

AZABC=90°,

AZC+ZCAB=90°,

AZC=ZABD,

'：ZAGD^ZABD,

：.NAGO=NC；

(2)解：ZBDC=ZABC=90°,ZC=ZC,

：.XABCSMBDC,

.BCCD

??,二....,

ACBC

-6_4

??'…―"，

AC6

：.AC=9,

???AS=：VAC2-BC2=3加1

"：CE=2AE,

，AE=3,CE=6,

".'FH1.AB,

：.FH//BC,

:.XAHEsXABC,

.AHEHAE

*'AB=BC=AC'

.AH_EH_3

??赤―b

：.AH=yJs>EH=2,

如圖2,連接2凡BF,

?.SB是OO的直徑，

AZAFB=90a,

AZAFH+ZBFH=ZAFH+ZFAH=90°,

二乙FAH=ZBFH,

：.△AFHs^FBH,

.FH_BH

'*AH麗’

.FH_2y

.礪一而

.\FH=4IQ,

：.EF=yflQ-2.

圖2

18.(1)證明：如圖1,連接OC,

是切線,

C.OCLCD.

J.AD//OC,

AZ1=Z4.

?：OA=OC,

AZ2=Z4,

.*.Z1=Z2,

即NCA￡>=/C4B.

(2)解:如圖2,

連接BC,

??AD=2

*AB3"

.?.設(shè)AD=2x,AB=3x,

；AB是。。的直徑，

AZACB=ZADC=90a,

/.ZACB=90°,\'AD±DC,

.?.乙4￡>C=90°,

ZDAC=ZCAB,

：./XACD^^ABC,

.AD=AC

,*ACAB）

.2x_2^/6

--37'

解得，xl=2,x2=-2（舍去）,

"0=4,

CZ)=22=2

：?VAC-AD^2-

19.(1)證明：連接。。，如圖，

TOE為切線，

:.0D1.DE,

'：DE.LAE,

：.OD//AE,

：.Zl=ZODA,

U：OA=OD,

：.Z2=Z0DA,

AZ1=Z2,

???AD平分/BAE；

(2)解：連接BD如圖，

TAB為直徑，

AZADB=90°,

?.?/2+/48。=90°,N3+NA8O=90°,

???N2=N3,

DE.八DC

*/sinZ1=sinZ3=——

ADBC

rfnDE=DC,

：.AD=BC,

設(shè)CD=x,BC=AO=y,

?：NDCB=NBCA,Z3=Z2,

：./\CDB^/\CBA,

:.CD：CB=CB：CA,即x：尸y：(x+y),

整理得/+盯-『=0,解得尸二1：醫(yī)），或LT；匹y（舍去）,

?M3噂號(hào)

即sinZBAC的值為直二1

2

20.證明：（1）??,四邊形ACBE是圓內(nèi)接四邊形,

：.ZEAM=ZEBC,

TAE平分N8AM,

：?/BAE=NEAM,

?：NBAE=NBCE,

:?/BCE=NEAM,

???NBCE=NEBC,

:?BE=CE；

(2)如圖，連接￡0并延長(zhǎng)交BC于4連接。3,OC,

?：OB=OC,EB=EC,

，直線E。垂直平分BC,

J.EHLBC,

：.EHLEF,

是。0的半徑,

為。。的切線.

21.(1)證明：連接0￡>,

VAB為圓0的直徑，

AZADB=90°,

在RtZ\BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn),

:.CE=DE=BE=LBC,

2

：.2C=NCDE,

"：OA=OD,

：.NA=/A￡>0,

VZABC=90°,即NC+/4=90°,

AZADO+ZCDE=90°,即NOCE=90°,

J.DELOD,又0。為圓的半徑,

.?.OE為圓。的切線；

(2)證明：連接OE,

是8c的中點(diǎn)，。點(diǎn)是AB的中點(diǎn),

.?.0E是aABC的中位線，

；.AC=2OE,

VZC=ZC,ZABC=ZBDC=90°,

AABCS^BDC,

.?圖=￡,g[JBC1=AC'CD.

CDBC

:.Bd=2CD，OE；

22.解：(1)的坐標(biāo)為(0,6),N(0,2),

；.4N=4,

:NABN=30°,NANB=9Q°,

.\AB=2AN=Sf

；?由勾股定理可知：NB=22=4^31

：.B(4>/3，2).

(2)連接MC,NC

TAN是OM的直徑，

；.N